スピントロニクス理論の基礎/5-5

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5-5 磁場中での磁壁の運動

ピン止めポテンシャル (5.36) と困難軸磁気異方性 (5.38) を含めた磁壁のラグランジアンは、

(5.39)

L_w& \equiv L_w^B-H_{K_\perp}-V_\mathrm{pin}\\ &= N_wS \left[ \hbar\frac{\dot X}{\lambda}\phi_0 -\frac{K_\perp S}{2}\sin^2\phi_0 -\frac{V_0}{S}\left(\frac{X^2}{\xi^2}-1\right)\theta(\xi-|X|) +\hbar\gamma B\frac{X}{\lambda} \right]

緩和入りの運動方程式は、

(5.40)

&\frac{\PD}{\PD X}L_w-\frac{d}{dt}\frac{\PD}{\PD \dot X}=-\frac{\PD}{\PD\dot X}W_s\\ &N_wS \left[ -\frac{V_0}{S}\frac{2X}{\xi^2}\theta(\xi-|X|) +\hbar\gamma B\frac{1}{\lambda} \right] -N_wS \hbar\frac{1}{\lambda}\dot\phi_0 =\frac{\alpha N_w\hbar S}{2}\frac{2\dot X}{\lambda^2}\\ &-\frac{V_0}{\hbar S}\frac{2\lambda X}{\xi^2}\theta(\xi-|X|) +\gamma B -\dot\phi_0 =\alpha\frac{\dot X}{\lambda}

および、

(5.41)

&\frac{\PD}{\PD \phi_0}L_w-\frac{d}{dt}\frac{\PD}{\PD \dot \phi_0}=-\frac{\PD}{\PD\dot \phi_0}W_s\\ &N_wS \left[ \hbar\frac{\dot X}{\lambda} -\frac{K_\perp S}{2}2\sin\phi_0\cos\phi_0 \right]= \frac{\alpha N_w\hbar S}{2}2\dot\phi_0\\ &\frac{\dot X}{\lambda} -\frac{K_\perp S}{2\hbar}\sin 2\phi_0 =\alpha \dot\phi_0\\

となる。

この運動には困難軸磁気異方性が大きく影響する。

ピン止めポテンシャルを無視した際の運動

まずピン止めポテンシャルを無視した ( V_0=0 ) 磁壁の運動を見る。

磁場が弱いとき、 \phi_0 が定数となる解 ( \dot\phi_0=0 ) が存在する。

(5.42)

\gamma B=\alpha\frac{\dot X}{\lambda}

\frac{\dot X}{\lambda}-\frac{K_\perp S}{2\hbar}\sin 2\phi_0=0

より、

\frac{\gamma B}{\alpha}=\frac{K_\perp S}{2\hbar}\sin 2\phi_0

(5.43)

\sin 2\phi_0=\frac{2\hbar\gamma B}{\alpha K_\perp S}

すなわち、この右辺が1以下となるとき解が存在して、その条件は

(5.44)

B \leq \frac{\alpha K_\perp S}{2\hbar\gamma} \equiv B_w

B_w は Walker breakdown field と呼ばれる。

この解は、 \theta\neq n\pi であるすべての部分で \phi=\phi_0 を満たし、 磁壁位置が速度 \frac{1}{\alpha}\lambda\gamma B で等速直線運動するというものである。

困難軸異方性を入れていない (5.33) では \alpha が分母にあったが、
困難軸異方性を入れたために (5.42) では \alpha が分子に来ている。

散逸が強くなると速度が遅くなるという、 比較的理解しやすいように感じられる結果だ。

5-3 の解と磁壁の性質が大きく異なるのは、 困難軸異方性のためにスピンが「引っかかって」自由に回転できないことなのだと思う。

磁場が強いとき

付録 スピントロニクス理論の基礎/A-2? はちょっとおかしい?
なにより振動数であるべき (5.46) に次元が無いのがありえない。

ここでは普通に解いてみる。

(5.40) と (5.41) から、

\gamma B &=\alpha\left(\frac{K_\perp S}{2\hbar}\sin 2\phi_0+\alpha \dot\phi_0\right)+\dot\phi_0\\ &=\frac{\alpha K_\perp S}{2\hbar}\sin 2\phi_0+(\alpha^2+1) \dot\phi_0\\ &=\gamma B_w\sin 2\phi_0+(\alpha^2+1) \dot\phi_0\\ &1=\frac{B_w}{B}\sin 2\phi_0+\frac{\alpha^2+1}{\gamma B} \dot\phi_0\\ &\dot\phi_0=\frac{\gamma B}{\alpha^2+1}\left[1-\frac{B_w}{B}\sin 2\phi_0\right]\\ &\dot\phi_0=\frac{\gamma B}{\alpha^2+1}\left[1-2\frac{B_w}{B}\sin \phi_0\cos \phi_0\right]\\ &\frac{\dot\phi_0}{\cos^2\phi_0}=\frac{\gamma B}{\alpha^2+1}\left[\frac{1}{\cos^2\phi_0}-2\frac{B_w}{B}\tan \phi_0\right]\\ &\frac{\dot\phi_0}{\cos^2\phi_0}=\frac{d}{dt}\big(\tan\phi_0\big)=\frac{\gamma B}{\alpha^2+1}\left[\tan^2\phi_0-2\frac{B_w}{B}\tan \phi_0+1\right]\\ &\int dt\frac{\gamma B}{\alpha^2+1}=\int \frac{d\big(\tan\phi_0\big)}{\tan^2\phi_0-2\frac{B_w}{B}\tan \phi_0+1}\\ &=\int \frac{d\big(\tan\phi_0\big)}{\left(\tan\phi_0-\frac{B_w}{B}\right)^2+1-\left(\frac{B_w}{B}\right)^2}\\ &\frac{\gamma B}{\alpha^2+1}(t-t_0)=\frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{B_w}{B}\right)^2} }\arctan\frac{\tan\phi_0-\frac{B_w}{B} }{\sqrt{1-\left(\frac{B_w}{B}\right)^2} }\\ &\tan\left[\left\{ \frac{\gamma B_w}{\alpha^2+1}\sqrt{\left(\frac{B}{B_w}\right)^2-1}\right\}(t-t_0)\right]\equiv\tan\omega(t-t_0)=\frac{\tan\phi_0-\frac{B_w}{B} }{\sqrt{1-\left(\frac{B_w}{B}\right)^2 } } &\sqrt{1-\left(\frac{B_w}{B}\right)^2}\tan\omega(t-t_0)=\tan\phi_0-\frac{B_w}{B}\\ &\left[1-\left(\frac{B_w}{B}\right)^2\right]\tan^2\omega(t-t_0)=\tan^2\phi_0-2\frac{B_w}{B}\tan\phi_0+\left(\frac{B_w}{B}\right)^2\\ &\left[1-\left(\frac{B_w}{B}\right)^2\right]\tan^2\omega(t-t_0)\cos^2\phi_0=\sin^2\phi_0-\frac{B_w}{B}\sin 2\phi_0+\left(\frac{B_w}{B}\right)^2\cos^2\phi_0\\ &\frac{B_w}{B}\sin 2\phi_0=\sin^2\phi_0+\left(\frac{B_w}{B}\right)^2\cos^2\phi_0-\left[1-\left(\frac{B_w}{B}\right)^2\right]\tan^2\omega(t-t_0)\cos^2\phi_0\\ &=1-\left\{\left[1-\left(\frac{B_w}{B}\right)^2\right]\tan^2\omega(t-t_0)+1-\left(\frac{B_w}{B}\right)^2\right\}\cos^2\phi_0\\ &=1-\frac{1-\left(\frac{B_w}{B}\right)^2}{\cos^2\omega(t-t_0)}\frac{1}{1+\tan^2\phi_0}\\ &=1-\frac{1-\left(\frac{B_w}{B}\right)^2}{\cos^2\omega(t-t_0)} \frac{1}{1+\left\{\left[1-\left(\frac{B_w}{B}\right)^2\right]\tan^2\omega(t-t_0)+2\frac{B_w}{B}\sqrt{1-\left(\frac{B_w}{B}\right)^2}\tan\omega(t-t_0)+\left(\frac{B_w}{B}\right)^2\right\} }\\ &=1-\frac{1-\left(\frac{B_w}{B}\right)^2} {\left[1+\left(\frac{B_w}{B}\right)^2\right]\cos^2\omega(t-t_0)+\left[1-\left(\frac{B_w}{B}\right)^2\right]\sin^2\omega(t-t_0)+\frac{B_w}{B}\sqrt{1-\left(\frac{B_w}{B}\right)^2}\sin 2\omega(t-t_0)}\\ &=1-\frac{1-\left(\frac{B_w}{B}\right)^2} {1+\left(\frac{B_w}{B}\right)^2\cos 2\omega(t-t_0)+\frac{B_w}{B}\sqrt{1-\left(\frac{B_w}{B}\right)^2}\sin 2\omega(t-t_0)}\\ &=1-\frac{1-\left(\frac{B_w}{B}\right)^2}{1+\frac{B_w}{B}\sin 2\omega(t-t_0')}\\ &=1-\frac{B}{B_w}\frac{1-\left(\frac{B_w}{B}\right)^2}{\frac{B}{B_w}+\sin 2\omega(t-t_0')}\\

(5.45)

&\sin 2\phi_0=\frac{B}{B_w}-\frac{\left(\frac{B}{B_w}\right)^2-1}{\frac{B}{B_w}+\sin 2\omega(t-t_0')}\\

ただし、 \omega は途中で出てきた値で、

(5.46)

\omega=\frac{\red{\gamma B_w}}{\alpha^2+1}\sqrt{\left(\frac{B}{B_w}\right)^2-1}

これを、

&\dot X-\alpha\lambda\left(-\alpha\frac{\dot X}{\lambda}+\gamma B\right)=\frac{K_\perp\lambda}{2\hbar}S\sin 2\phi_0\\ &(1+\alpha^2)\dot X=\alpha\lambda\gamma B+\frac{K_\perp S}{2\hbar}\lambda\sin 2\phi_0\\ &(1+\alpha^2)\frac{\dot X}{\lambda}=\alpha\gamma B+\frac{\gamma B_w}{\alpha}\sin 2\phi_0\\

へ代入して、

(5.47)

&(1+\alpha^2)\frac{\dot X}{\lambda}=\alpha\gamma B+\frac{\gamma B_w}{\alpha}\left[ \frac{B}{B_w}-\frac{\left(\frac{B}{B_w}\right)^2-1}{\frac{B}{B_w}+\sin 2\omega(t-t_0')}\right]\\ &(1+\alpha^2)\frac{\dot X}{\lambda}=\frac{\gamma B_w}{\alpha}\left[\left(\alpha^2 +1\right)\frac{B}{B_w} -\frac{\left(\frac{B}{B_w}\right)^2-1}{\frac{B}{B_w}+\sin 2\omega(t-t_0')}\right]\\ &\frac{\dot X}{\lambda}=\frac{\gamma B_w}{\alpha}\left[\frac{B}{B_w} -\red{\frac{1}{1+\alpha^2} }\frac{\left(\frac{B}{B_w}\right)^2-1}{\frac{B}{B_w}+\sin 2\omega(t-t_0')}\right]\\

を得る。

速さの時間平均は、

(5.48)

\left<\dot X\right> &=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}d\theta\frac{\gamma B_w}{\alpha}\left[\frac{B}{B_w} -{\frac{1}{1+\alpha^2} }\frac{\left(\frac{B}{B_w}\right)^2-1}{\frac{B}{B_w}+\sin\theta}\right]\\ &=\frac{\gamma B_w}{\alpha}\left[\frac{B}{B_w} -{\frac{1}{1+\alpha^2} }\sqrt{\left(\frac{B}{B_w}\right)^2-1}\right]\\

ただし、

\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}d\theta\frac{1}{A+\sin\theta} &=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}d\theta\frac{1}{A+2\sin\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2} }\\ &=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}d\theta\frac{1}{A+2\tan\frac{\theta}{2}\cos^2\frac{\theta}{2} }\\ &=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}d\theta\frac{1}{A+2\frac{\tan\frac{\theta}{2} }{1+\tan^2\frac{\theta}{2} } }\\ &=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dt}{A+2\frac{t}{1+t^2} }\frac{2}{t^2+1}\\ &=\frac{1}{\pi A}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dt}{t^2+\frac{2}{A}t+1}\\ &=\frac{1}{\pi A}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dt}{\left(t+\frac{1}{A}\right)^2+1-\frac{1}{A^2} }\\ &=\frac{1}{\pi A}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dt'}{t'^2+1-\frac{1}{A^2} }\\ &=\frac{1}{\pi A}\frac{1}{\sqrt{1-\frac{1}{A^2} } }\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dt''}{t''^2+1}\\ &=\frac{1}{\pi }\frac{1}{\sqrt{A^2-1} }\Big[\arctan t''\Big]_{-\infty}^{\infty}\\ &=\frac{1}{\sqrt{A^2-1} }\\

を使った。

この解は、 \phi_0,\dot X とも角振動数 \omega で振動しながら運動し、 平均速度は B の増加と共に遅くなる。

B\gg B_w では、

\lim_{B/B_w\rightarrow\infty} \dot X &=\frac{\lambda \gamma B_w}{\alpha}\left[\frac{B}{B_w} -{\frac{1}{1+\alpha^2} }\frac{\left(\frac{B}{B_w}\right)^2}{\frac{B}{B_w} }\right]\\ &=\frac{\lambda \gamma B}{\alpha}\left[1-{\frac{1}{1+\alpha^2} }\right]\\ &=\lambda \gamma B\frac{\alpha}{1+\alpha^2}\\

となって、困難軸異方性のない時の解に漸近する。

ここでも等速運動が唯一の解となっている

ここでも等速運動が唯一の解となる運動方程式が得られている。

すなわち、磁壁に質量は定義されないということだ。

磁壁移動速度の磁場依存性

図5.1 のように、磁壁の(平均)移動速度は B=B_w で最大値を取る。

  • それより小さければ B と共に線形に増加し
  • それより大きければ急速に困難軸異方性のない時の値に漸近する

すなわち、磁壁の移動速度は困難軸異方性により増大している。

理由は、 \phi_0 の回転が困難軸の存在により阻害されているためと思われる。

\phi_0 が回転すると、その分エネルギーが散逸し失われるが、 困難軸に「引っかかって」 \phi_0 が回らなければ、 外部磁場ポテンシャルから得られるエネルギーで、より速い速度を保てる。

固い磁壁の条件

ピン止めポテンシャルや困難軸異方性がないときには、 磁壁解は素性の良い励起モードを持っていた。

すなわち、1つのモードは時間が過ぎてもその形を保つようなモードであった。
(ハミルトニアンの固有関数だし)

しかし、ピン止めポテンシャルと困難軸異方性を入れた結果、 もはやゼロモードは厳密には集団座標と見なすことができない。

すなわち、磁壁は時間と共に形を崩すようなダイナミクスが生じてしまう。

ゼロモードを近似的に集団座標と見なすことができるのは、 磁壁の構造を崩す、すなわち (5.24) に表されるような、 より高次の項を励起するエネルギーに比べて、 ピン止めポテンシャルや困難軸異方性のエネルギーが小さい時に限る。

(5.49)

V_0\ll K , K_\perp\ll K

実際には、スピントロニクス理論の基礎/5-3#v15323b2 でも述べたとおり、 教科書の (5.19) で落ちていた \lambda のために、 K だけではなく J も磁壁構造を保つには重要であり、

(5.49)'

V_0\ll \lambda K=\sqrt{JK} , K_\perp\ll \lambda K=\sqrt{JK}

くらいで考えてた方が良いのではないかと思うのだが、どうなのだろう?

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