スピントロニクス理論の基礎/8-11

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8-11 不純物散乱のもとでの lesser Green 関数

この部分、11/7 のセミナーでの議論を元に見直しました。

(8.111) を波数表示に直すと、

(8.145), (8.114) より

&g_{\bm k,\bm k',\omega}^<=\delta_{\bm k,\bm k'}g_{0\bm k,\bm k',\omega}^< +\sum_{\bm q}\big[ g_{0\bm k,\bm k',\omega}^rv_i(\bm q)g_{\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^< +g_{0\bm k,\bm k',\omega}^<v_i(\bm q)g_{\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^a \big] \\&= \delta_{\bm k,\bm k'}g_{0\bm k,\bm k',\omega}^<+\\ &\sum_{\bm q}\big[ g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r v_i(\bm q) \big( \delta_{\bm k+\bm q,\bm k'}g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^< +\sum_{\bm q'}\big[ g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^rv_i(\bm q')g_{\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^< +g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^<v_i(\bm q')g_{\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^a \big]\big)\\ &\hspace{4mm} +g_{0\bm k,\bm k',\omega}^< v_i(\bm q) \big( \delta_{\bm k+\bm q,\bm k'}g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^a +\sum_{\bm q'} g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^av_i(\bm q')g_{\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^a \big) \big] \\&= \delta_{\bm k,\bm k'}g_{0\bm k,\bm k',\omega}^<+ \sum_{\bm q}\Big[ g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r v_i(\bm q) \delta_{\bm k+\bm q,\bm k'}g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^< +g_{0\bm k,\bm k',\omega}^< v_i(\bm q) \delta_{\bm k+\bm q,\bm k'}g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^a\Big]+\\ &\sum_{\bm q,\bm q'}\Big[ g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r v_i(\bm q) g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^rv_i(\bm q')g_{\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^< + g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r v_i(\bm q) g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^<v_i(\bm q')g_{\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^a\\ &\hspace{4mm} +g_{0\bm k,\bm k',\omega}^< v_i(\bm q) g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^av_i(\bm q')g_{\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^a \Big]

したがって、8-10 の最後に (8-10.8) でやったように近似を用いれば、

\langle g_{\bm k,\bm k',\omega}^< \rangle_i =\,& \delta_{\bm k,\bm k'}g_{0\bm k,\bm k',\omega}^<+ \sum_{\bm q}\langle v_i(\bm q) \rangle_i\delta_{\bm k+\bm q,\bm k'}\Big[ g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^< +g_{0\bm k,\bm k',\omega}^< g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^a\Big]+\\ &\sum_{\bm q,\bm q'}\Big[ g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^r \langle v_i(\bm q)v_i(\bm q') g_{\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^< \rangle_i + g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^< \langle v_i(\bm q)v_i(\bm q') g_{\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^a \rangle_i \\ &\hspace{2cm} +g_{0\bm k,\bm k',\omega}^< g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^a \langle v_i(\bm q)v_i(\bm q') g_{\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^a \rangle_i \Big] \\ \sim \, & \delta_{\bm k,\bm k'}g_{0\bm k,\bm k',\omega}^<+ \sum_{\bm q}0\cdot\delta_{\bm k+\bm q,\bm k'}\Big[ g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^< +g_{0\bm k,\bm k',\omega}^< g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^a\Big]+\\ &\sum_{\bm q,\bm q'}\Big[ g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^r \langle v_i(\bm q)v_i(\bm q') \rangle_i \langle g_{\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^< \rangle_i + g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^< \langle v_i(\bm q)v_i(\bm q') \rangle_i \langle g_{\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^a \rangle_i \\ &\hspace{2cm} +g_{0\bm k,\bm k',\omega}^< g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^a \langle v_i(\bm q)v_i(\bm q') \rangle_i \langle g_{\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^a \rangle_i \Big] \\=\,& \delta_{\bm k,\bm k'}g_{0\bm k,\bm k',\omega}^<+ \\ &\frac{n_iv_i^2}{N}\sum_{\bm q,\bm q'}\delta_{\bm q+\bm q',\bm 0}\Big[ g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^rg_{\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^< + g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^<g_{\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^a +g_{0\bm k,\bm k',\omega}^< g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^ag_{\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^a \Big] \\=\,& \delta_{\bm k,\bm k'}g_{0\bm k,\bm k',\omega}^<+ \frac{n_iv_i^2}{N}\sum_{\bm q}\Big[ g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^rg_{\bm k,\bm k',\omega}^< + g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^<g_{\bm k,\bm k',\omega}^a +g_{0\bm k,\bm k',\omega}^< g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^ag_{\bm k,\bm k',\omega}^a \Big] \\=\,& \delta_{\bm k,\bm k'}g_{0\bm k,\bm k',\omega}^<+ \Big[ g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r \Sigma^r g_{\bm k,\bm k',\omega}^< +g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r \Sigma^< g_{\bm k,\bm k',\omega}^a +g_{0\bm k,\bm k',\omega}^< \Sigma^a g_{\bm k,\bm k',\omega}^a \Big]

右辺に左辺を繰り返し代入すると g_{\bm k,\bm k',\omega}\propto \delta_{\bm k,\bm k'} が得られることから、

(8.124)

&g_{\bm k,\omega}^< = g_{0\bm k,\bm k',\omega}^<+ \Big[ g_{0\bm k,\omega}^r \Sigma^r g_{\bm k,\omega}^< +g_{0\bm k,\omega}^r \Sigma^< g_{\bm k,\omega}^a +g_{0\bm k,\omega}^< \Sigma^a g_{\bm k,\omega}^a \Big]

を得る。

本来であれば 8-10 で行ったのと同様に、 高次に現れる項がここで取り入れた項に比べて十分に小さいことを g^< についても確認しなければならないが・・・

ここでは教科書を信じて先に進むことにする。

念のため

(8-10.11) での失敗で学んだとおり、(8-10.8) では "たまたま" うまく行った上記のような近似は、 何にも考えずに使うと痛い目に遭う。

上で行った近似から得られた

\langle g_{\bm k,\bm k',\omega}^< \rangle_i \sim \, & \delta_{\bm k,\bm k'}g_{0\bm k,\bm k',\omega}^<+ \\ & \sum_{\bm q}\Big[ g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^r \langle v_i(\bm q)v_i(-\bm q) \rangle_i \langle g_{\bm k,\bm k',\omega}^< \rangle_i \\ &\hspace{0.4cm} + g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^< \langle v_i(\bm q)v_i(-\bm q) \rangle_i \langle g_{\bm k,\bm k',\omega}^a \rangle_i \\ &\hspace{0.4cm} + g_{0\bm k,\bm k',\omega}^< g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^a \langle v_i(\bm q)v_i(-\bm q) \rangle_i \langle g_{\bm k,\bm k',\omega}^a \rangle_i \Big]

に含まれる項と、元の

&g_{\bm k,\bm k',\omega}^<=\delta_{\bm k,\bm k'}g_{0\bm k,\bm k',\omega}^< +\sum_{\bm q}\big[ g_{0\bm k,\bm k',\omega}^rv_i(\bm q)g_{\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^< +g_{0\bm k,\bm k',\omega}^<v_i(\bm q)g_{\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^a \big]

に含まれる項とを比べてみる。

元の式の右辺を順次展開していくと、詳しくは (9.1B) で見るように

  • g_0^<
  • g_0^r \,v(\bm q_1)\, g_0^< ← 1次:無視できる
  • g_0^< \,v(\bm q_1)\, g_0^a ← 1次:無視できる
  • g_0^r \,v(\bm q_1)\, g_0^r \,v(\bm q_2)\, g_0^< ← 2次
  • g_0^r \,v(\bm q_1)\, g_0^< \,v(\bm q_2)\, g_0^a ← 2次
  • g_0^< \,v(\bm q_1)\, g_0^a \,v(\bm q_2)\, g_0^a ← 2次
  • g_0^r \,v(\bm q_1)\, g_0^r \,v(\bm q_2)\, g_0^r \,v(\bm q_3)\, g_0^< ← 3次:たぶん無視できる
  • g_0^r \,v(\bm q_1)\, g_0^r \,v(\bm q_2)\, g_0^< \,v(\bm q_3)\, g_0^a ← 3次:たぶん無視できる
  • g_0^r \,v(\bm q_1)\, g_0^< \,v(\bm q_2)\, g_0^a \,v(\bm q_3)\, g_0^a ← 3次:たぶん無視できる
  • g_0^< \,v(\bm q_1)\, g_0^a \,v(\bm q_2)\, g_0^a \,v(\bm q_3)\, g_0^a ← 3次:たぶん無視できる
  • g_0^r \,v(\bm q_1)\, g_0^r \,v(\bm q_2)\, g_0^r \,v(\bm q_3)\, g_0^r \,v(\bm q_4)\, g_0^< ← 4次:2次+2次の項以外無視できる
  • g_0^r \,v(\bm q_1)\, g_0^r \,v(\bm q_2)\, g_0^r \,v(\bm q_3)\, g_0^< \,v(\bm q_4)\, g_0^a ← 4次:2次+2次の項以外無視できる
  • g_0^r \,v(\bm q_1)\, g_0^r \,v(\bm q_2)\, g_0^< \,v(\bm q_3)\, g_0^a \,v(\bm q_4)\, g_0^a ← 4次:2次+2次の項以外無視できる
  • g_0^r \,v(\bm q_1)\, g_0^< \,v(\bm q_2)\, g_0^a \,v(\bm q_3)\, g_0^a \,v(\bm q_4)\, g_0^a ← 4次:2次+2次の項以外無視できる
  • g_0^< \,v(\bm q_1)\, g_0^a \,v(\bm q_2)\, g_0^a \,v(\bm q_3)\, g_0^a \,v(\bm q_4)\, g_0^a ← 4次:2次+2次の項以外無視できる
  • ・・・

といった項が出てくる。

一方で、上記近似式が含む項は

  • g_0^<
  • 1次:無視された
  • 1次:無視された
  • g_0^r \,v(\bm q_1)\, g_0^r \,v(-\bm q_1)\, g_0^< ← 2次
  • g_0^r \,v(\bm q_1)\, g_0^< \,v(-\bm q_1)\, g_0^a ← 2次
  • g_0^< \,v(\bm q_1)\, g_0^a \,v(-\bm q_1)\, g_0^a ← 2次
  • 3次:無視された
  • 3次:無視された
  • 3次:無視された
  • 3次:無視された
  • g_0^r \,v(\bm q_1)\, g_0^r \,v(-\bm q_1)\, g_0^r \,v(\bm q_3)\, g_0^r \,v(-\bm q_3)\, g_0^< ← 4次:2次+2次の項のみ現われる
  • g_0^r \,v(\bm q_1)\, g_0^r \,v(-\bm q_1)\, g_0^r \,v(\bm q_3)\, g_0^< \,v(-\bm q_3)\, g_0^a ← 4次:2次+2次の項のみ現われる
  • g_0^r \,v(\bm q_1)\, g_0^r \,v(-\bm q_1)\, g_0^< \,v(\bm q_3)\, g_0^a \,v(-\bm q_3)\, g_0^a ← 4次:2次+2次の項のみ現われる
  • g_0^r \,v(\bm q_1)\, g_0^< \,v(-\bm q_1)\, g_0^a \,v(\bm q_3)\, g_0^a \,v(-\bm q_3)\, g_0^a ← 4次:2次+2次の項のみ現われる
  • g_0^< \,v(\bm q_1)\, g_0^a \,v(-\bm q_1)\, g_0^a \,v(\bm q_3)\, g_0^a \,v(-\bm q_3)\, g_0^a ← 4次:2次+2次の項のみ現われる
  • ・・・

となって、思った通りの項を含んでいそうなことが確認できる。

高次の項を入れるには?

(8-10.15) でやったように3次や4次の効果を取り入れるにはどうするか。

(8-10.15) の操作をまねすると、 4次までで打ち切った表現に現われる各項の、最後の g_0 \langle g \rangle_i に置き換えれば良いので、

\langle g_{\bm k,\bm k',\omega}^< \rangle_i \sim \, & \delta_{\bm k,\bm k'}g_{0\bm k,\bm k',\omega}^< + \\ &\sum_{\bm q}\langle v(\bm q)\rangle_i \Big[ \\ & \hspace{0.4cm} + g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r \langle g_{\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^< \rangle_i \\ & \hspace{0.4cm} + g_{0\bm k,\bm k',\omega}^< \langle g_{\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^a \rangle_i \Big] + \\ & \sum_{\bm q,\bm q'} \langle v(\bm q) v(\bm q') \rangle_i \Big[ \\ & \hspace{0.4cm} + g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^r \langle g_{\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^< \rangle_i \\ & \hspace{0.4cm} + g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^< \langle g_{\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^a \rangle_i \\ & \hspace{0.4cm} + g_{0\bm k,\bm k',\omega}^< g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^a \langle g_{\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^a \rangle_i \Big] + \\ & \sum_{\bm q,\bm q',\bm q''} \langle v(\bm q) v(\bm q') v(\bm q'')\rangle_i \Big[ \\ & \hspace{0.4cm} + g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^r g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^r \langle g_{\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega}^< \rangle_i \\ & \hspace{0.4cm} + g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^r g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^< \langle g_{\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega}^a \rangle_i \\ & \hspace{0.4cm} + g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^< g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^a \langle g_{\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega}^a \rangle_i \\ & \hspace{0.4cm} + g_{0\bm k,\bm k',\omega}^< g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^a g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^a \langle g_{\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega}^a \rangle_i \Big] + \\ & \sum_{\bm q,\bm q',\bm q'',\bm q'''} \langle v(\bm q) v(\bm q') v(\bm q'') v(\bm q''')\rangle_i (1-\delta_{\bm q+\bm q',\bm o}\delta_{\bm q''+\bm q''',\bm o}) \Big[ \\ & \hspace{0.4cm} + g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^r g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^r g_{0\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega}^r \langle g_{\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q''+\bm q''',\bm k',\omega}^< \rangle_i \\ & \hspace{0.4cm} + g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^r g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^r g_{0\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega}^< \langle g_{\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q''+\bm q''',\bm k',\omega}^a \rangle_i \\ & \hspace{0.4cm} + g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^r g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^< g_{0\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega}^a \langle g_{\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q''+\bm q''',\bm k',\omega}^a \rangle_i \\ & \hspace{0.4cm} + g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^< g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^a g_{0\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega}^a \langle g_{\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q''+\bm q''',\bm k',\omega}^a \rangle_i \\ & \hspace{0.4cm} + g_{0\bm k,\bm k',\omega}^< g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^a g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^a g_{0\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega}^a \langle g_{\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q''+\bm q''',\bm k',\omega}^a \rangle_i \Big]

んー、 (1-\delta_{\bm q+\bm q',\bm o}\delta_{\bm q''+\bm q''',\bm o}) の部分もまったくまねしてみたけどこれでいいのかな???

これで良ければ、

\langle g_{\bm k,\bm k',\omega}^< \rangle_i \sim \, & \delta_{\bm k,\bm k'}g_{0\bm k,\bm k',\omega}^< + \\ & \sum_{\bm q} \langle v(\bm q) v(-\bm q) \rangle_i \Big[ \\ & \hspace{0.4cm} \phantom{+} g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^r \langle g_{\bm k,\bm k',\omega}^< \rangle_i \\ & \hspace{0.4cm} + g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^< \langle g_{\bm k,\bm k',\omega}^a \rangle_i \\ & \hspace{0.4cm} + g_{0\bm k,\bm k',\omega}^< g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^a \langle g_{\bm k,\bm k',\omega}^a \rangle_i \Big] + \\ & \sum_{\bm q,\bm q'} \langle v(\bm q) v(\bm q') v(-\bm q-\bm q')\rangle_i \Big[ \\ & \hspace{0.4cm} \phantom{+} g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^r g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^r \langle g_{\bm k,\bm k',\omega}^< \rangle_i \\ & \hspace{0.4cm} + g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^r g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^< \langle g_{\bm k,\bm k',\omega}^a \rangle_i \\ & \hspace{0.4cm} + g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^< g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^a \langle g_{\bm k,\bm k',\omega}^a \rangle_i \\ & \hspace{0.4cm} + g_{0\bm k,\bm k',\omega}^< g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^a g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^a \langle g_{\bm k,\bm k',\omega}^a \rangle_i \Big] + \\ & \sum_{\bm q,\bm q',\bm q''} \langle v(\bm q) v(\bm q') v(\bm q'') v(-\bm q-\bm q'-\bm q'')\rangle_i (1-\delta_{\bm q+\bm q',\bm o}\delta_{\bm q''+\bm q''',\bm o}) \Big[ \\ & \hspace{0.4cm} \phantom{+} g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^r g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^r g_{0\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega}^r \langle g_{\bm k,\bm k',\omega}^< \rangle_i \\ & \hspace{0.4cm} + g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^r g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^r g_{0\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega}^< \langle g_{\bm k,\bm k',\omega}^a \rangle_i \\ & \hspace{0.4cm} + g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^r g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^< g_{0\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega}^a \langle g_{\bm k,\bm k',\omega}^a \rangle_i \\ & \hspace{0.4cm} + g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^< g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^a g_{0\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega}^a \langle g_{\bm k,\bm k',\omega}^a \rangle_i \\ & \hspace{0.4cm} + g_{0\bm k,\bm k',\omega}^< g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^a g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^a g_{0\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega}^a \langle g_{\bm k,\bm k',\omega}^a \rangle_i \Big] \\ \sim \, & \delta_{\bm k,\bm k'}g_{0\bm k,\bm k',\omega}^< + g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r \Sigma^r{}' \langle g_{\bm k,\bm k',\omega}^< \rangle_i + g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r \Sigma^<{}' \langle g_{\bm k,\bm k',\omega}^a \rangle_i + g_{0\bm k,\bm k',\omega}^< \Sigma^a{}' \langle g_{\bm k,\bm k',\omega}^a \rangle_i

として、2次までの時と非常に似た形に表せる。

ただし、自己エネルギーに3次及び4次から来る補正項が入ってきて、

\Sigma^r{}' & = \overbrace{g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r \sum_{\bm q} \langle v(\bm q) v(-\bm q) \rangle_i g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^r } \\ & + g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r \sum_{\bm q,\bm q'} \langle v(\bm q) v(\bm q') v(-\bm q-\bm q')\rangle_i g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^r g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^r \\ & + g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r \sum_{\bm q,\bm q',\bm q''} \langle v(\bm q) v(\bm q') v(\bm q'') v(-\bm q-\bm q'-\bm q'')\rangle_i g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^r g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^r g_{0\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega}^r (1-\delta_{\bm q+\bm q',\bm o}\delta_{\bm q''+\bm q''',\bm o})

\Sigma^<{}' & = \overbrace{g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r \sum_{\bm q} \langle v(\bm q) v(-\bm q) \rangle_i g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^< } \\ & + g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r \sum_{\bm q,\bm q'} \langle v(\bm q) v(\bm q') v(-\bm q-\bm q')\rangle_i ( g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^r g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^< + g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^< g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^a ) \\ & + g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r \sum_{\bm q,\bm q',\bm q''} \langle v(\bm q) v(\bm q') v(\bm q'') v(-\bm q-\bm q'-\bm q'')\rangle_i \Big \{ g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^r g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^r g_{0\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega}^< \\ & \hspace{1cm}+ g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^r g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^< g_{0\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega}^a + g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^< g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^a g_{0\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega}^a \Big \} (1-\delta_{\bm q+\bm q',\bm o}\delta_{\bm q''+\bm q''',\bm o})

\Sigma^a{}' & = \overbrace{g_{0\bm k,\bm k',\omega}^a \sum_{\bm q} \langle v(\bm q) v(-\bm q) \rangle_i g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^a } \\ & + g_{0\bm k,\bm k',\omega}^a \sum_{\bm q,\bm q'} \langle v(\bm q) v(\bm q') v(-\bm q-\bm q')\rangle_i g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^a g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^a \\ & + g_{0\bm k,\bm k',\omega}^a \sum_{\bm q,\bm q',\bm q''} \langle v(\bm q) v(\bm q') v(\bm q'') v(-\bm q-\bm q'-\bm q'')\rangle_i g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^a g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^a g_{0\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega}^a (1-\delta_{\bm q+\bm q',\bm o}\delta_{\bm q''+\bm q''',\bm o})

である。 \overbrace{\phantom{abcde}} で括った部分が2次の項。

この \Sigma^r{}' および \Sigma^a{}' の定義は 8-10 で見た物と同じになっている。

対照的に、 \Sigma^<{}' は和の部分が少し複雑になっていることに注意が必要。

どちらもちょうど、元の Green 関数の表示を1次や3次で打ち切った形になっている。

閑話休題

以下、再び教科書を追っていく。

上で見たとおり、高次の項をより正確に取り込んだ場合にも \Sigma^\alpha\rightarrow \Sigma^\alpha{}' と置き換えれば、 以下の議論はそのまま成り立つのだと思う。

(8.148)

\Sigma^\alpha(\hbar\omega)\equiv n_iv_i^2\frac{1}{N}\sum_{\bm k}g_{0\bm k,\omega}^\alpha

(8-10.9) より

(8.149)

\frac{g_{\bm k,\omega}^r-g_{0\bm k,\omega}^r}{g_{\bm k,\omega}^r} = \Sigma^r g_{0\bm k,\omega}^r

\frac{g_{\bm k,\omega}^a-g_{0\bm k,\omega}^a}{g_{0\bm k,\omega}^a} = \Sigma^a g_{\bm k,\omega}^a

(8.150)

式を整理すると、

&g_{\bm k,\omega}^< = g_{0\bm k,\omega}^<+ \Big[ g_{0\bm k,\omega}^r \Sigma^r g_{\bm k,\omega}^< +g_{0\bm k,\omega}^r \Sigma^< g_{\bm k,\omega}^a +g_{0\bm k,\omega}^< \Sigma^a g_{\bm k,\omega}^a \Big] \\&= g_{0\bm k,\omega}^<+ \Big[ \frac{g_{\bm k,\omega}^r-g_{0\bm k,\omega}^r}{g_{\bm k,\omega}^r} g_{\bm k,\omega}^< +g_{0\bm k,\omega}^r \Sigma^< g_{\bm k,\omega}^a +\frac{g_{\bm k,\omega}^a-g_{0\bm k,\omega}^a}{g_{0\bm k,\omega}^a} g_{0\bm k,\omega}^< \Big]

\frac{g_{0\bm k,\omega}^r}{g_{\bm k,\omega}^r}g_{\bm k,\omega}^<= g_{0\bm k,\omega}^r \Sigma^< g_{\bm k,\omega}^a +\frac{g_{\bm k,\omega}^a}{g_{0\bm k,\omega}^a} g_{0\bm k,\omega}^<

&g_{\bm k,\omega}^<= g_{\bm k,\omega}^r \Sigma^< g_{\bm k,\omega}^a +\frac{g_{\bm k,\omega}^r}{g_{0\bm k,\omega}^r}\frac{g_{\bm k,\omega}^a}{g_{0\bm k,\omega}^a} g_{0\bm k,\omega}^< \\&= g_{\bm k,\omega}^r \Sigma^< g_{\bm k,\omega}^a +\frac{\hbar\omega-\varepsilon_{\bm k}+i0}{\hbar\omega-\varepsilon_{\bm k}-\Sigma^r} \frac{\hbar\omega-\varepsilon_{\bm k}-i0}{\hbar\omega-\varepsilon_{\bm k}-\Sigma^a} 2\pi i f(\hbar\omega)\delta(\hbar\omega-\varepsilon_{\bm k}) \\&= g_{\bm k,\omega}^r \Sigma^< g_{\bm k,\omega}^a +2\pi i f(\hbar\omega) \frac{(\hbar\omega-\varepsilon_{\bm k})^2\delta(\hbar\omega-\varepsilon_{\bm k})} {(\hbar\omega-\varepsilon_{\bm k}-\Sigma^r)(\hbar\omega-\varepsilon_{\bm k}-\Sigma^a)} \\&= g_{\bm k,\omega}^r \Sigma^< g_{\bm k,\omega}^a = \frac{\Sigma^<} {(\hbar\omega-\varepsilon_{\bm k}-\Sigma^r)(\hbar\omega-\varepsilon_{\bm k}-\Sigma^a)}

ここで、(8.148), (8.91) より

&\Sigma^< = \frac{n_iv_i^2}{N}\sum_{\bm k} f_{\bm k}(\hbar\omega)(g_{0\bm k,\omega}^a-g_{0\bm k,\omega}^r) \\&= f_{\bm k}(\hbar\omega) (\Sigma^a-\Sigma^r) \\&= f_{\bm k}(\hbar\omega) \left( \frac{i\hbar}{\tau} \right)

したがって、

&g_{\bm k,\omega}^<= \frac{f_{\bm k}(\hbar\omega)(\Sigma^a-\Sigma^r)} {(\hbar\omega-\varepsilon_{\bm k}-\Sigma^r)(\hbar\omega-\varepsilon_{\bm k}-\Sigma^a)} \\&=f_{\bm k}(\hbar\omega)\left[ \frac{1}{\hbar\omega-\varepsilon_{\bm k}-\Sigma^a} -\frac{1}{\hbar\omega-\varepsilon_{\bm k}-\Sigma^r} \right] \\&=f_{\bm k}(\hbar\omega)\left[g_{\bm k,\omega}^a-g_{\bm k,\omega}^r\right] \\&=2\pi i f_{\bm k}(\hbar\omega)\delta_\Sigma(\hbar\omega-\varepsilon_{\bm k})

\delta_\Sigma(\ ) はフェルミレベルのぼけによりなまったδ関数である。

疑問点

上で見たように lesser Green 関数が

  • rrrr<
  • rrr<a
  • rr<aa
  • r<aaa
  • <aaaa

のような規則的な項からなっている意味はどこにあるのだろう?

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