スピントロニクス理論の基礎/8-3

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8-3 数学的に便利な微分方程式を満たす関数

自由電子のハミルトニアン(フェルミエネルギー分をシフト済み)

ポテンシャル成分を含まない自由な電子のハミルトニアン(波数表示)

(8.29)

H_0=\sum_{\bm k,\sigma}\left(\frac{\hbar^2k^2}{2m}-\varepsilon_F \right)c^\dagger_{\bm k,\sigma}c_{\bm k,\sigma}

これは実空間で言えば、

(8.29A)

H_0(t)&=\int d^3r\left(\frac{\hbar^2}{2m}|\nabla c(\bm r,t)|^2-\varepsilon_F|c(\bm r,t)|^2 \right)\\ &=K-\int d^3r\,\varepsilon_F|c(\bm r,t)|^2\\

ということ。実⇔波数 の変換は (8.74) あたりでちゃんと出てくる。

Green 関数導出の試行(失敗)

電子密度 n(\bm r,t)=\llangle c_\mathrm H^\dagger(\bm r,t) c_\mathrm H(\bm r,t) \rrangle_0 の括弧の中の2つの c_\mathrm H の位置と時刻をずらしてみる。( \llangle\ \ \ \rrangle_0 H_0 で記述される系における期待値を表す。 本当なら c_H c_{H_0} のように書いた方が分かりやすいと思うのだが、ここでは教科書に沿って進めることとする コメント欄でご指摘の通り c_H の H はハイゼンベルク表示の H なので、 c_H で正しいですね)

(8.30)

\hbar\frac{\PD}{\PD t}\llangle c_\mathrm H^\dagger(\bm r',t')c_\mathrm H(\bm r,t) \rrangle_0 = \llangle c_\mathrm H^\dagger(\bm r',t')\hbar\frac{\PD c_\mathrm H(\bm r,t)}{\PD t} \rrangle_0 = i\llangle c_\mathrm H^\dagger(\bm r',t')\big[H_0, c_\mathrm H(\bm r,t)\big] \rrangle_0

ここで、 H_0 に含まれる \varepsilon_F の項の交換関係を調べると、

(8.30A)

&\left[-\int d^3r''\varepsilon_F c_\mathrm H^\dagger(\bm r'',t) c_\mathrm H(\bm r'',t), c_\mathrm H(\bm r,t)\right]\\ &=-\varepsilon_F\int d^3r''\left[c_\mathrm H^\dagger(\bm r'',t) c_\mathrm H(\bm r'',t), c_\mathrm H(\bm r,t)\right]\\ &=-\varepsilon_F\int d^3r''\left(c_\mathrm H^\dagger(\bm r'',t)\{ c_\mathrm H(\bm r'',t), c_\mathrm H(\bm r,t)\}-\{c_\mathrm H^\dagger(\bm r'',t), c_\mathrm H(\bm r,t)\}c_\mathrm H(\bm r'',t)\right)\\ &=+\varepsilon_F\int d^3r''\delta^3(\bm r'-\bm r)c_\mathrm H(\bm r'',t)\\ &=+\varepsilon_Fc_\mathrm H(\bm r,t)

したがって (8.24) と合わせれば、

\hbar\frac{\PD}{\PD t}\llangle c_\mathrm H^\dagger(\bm r',t')c_\mathrm H(\bm r,t) \rrangle_0 = i\left(\frac{\hbar^2}{2m}\nabla_{\textcolor{red}{\bm r}}^2\textcolor{red}{+\varepsilon_F}\right)\llangle c_\mathrm H^\dagger(\bm r',t')c_\mathrm H(\bm r,t) \rrangle_0

H_0 では \varepsilon_F の符号は負であったが、 ここでは交換関係により正になっている。

しかしこれは Green 関数として利用可能な形(右辺にδ関数が現われる)になっていない。

時間順序を使って Green 関数を導く

(8.31)

そこで「時間順序」を導入する。

\llangle Tc_\mathrm H(\bm r,t)c_\mathrm H^\dagger(\bm r',t') \rrangle_0\equiv

\phantom{+}\theta(t-t')\llangle c_\mathrm H(\bm r,t)c_\mathrm H^\dagger(\bm r',t') \rrangle_0

+\theta(t'-t)\llangle c_\mathrm H^\dagger(\bm r',t')c_\mathrm H(\bm r,t) \rrangle_0

ここで、

\theta(t)\equiv\begin{cases} 0&(t<0)\\ 1&(0<t)\\ \end{cases}

すなわち、 c_\mathrm H(\bm r,t) c_\mathrm H^\dagger(\bm r',t') の時刻の早いほうを右側に来るように並べた形になっている。

(8.32)

\hbar\frac{\PD}{\PD t}\llangle Tc_\mathrm H^\dagger(\bm r',t')c_\mathrm H(\bm r,t) \rrangle_0

=\hbar\frac{\PD\theta(t-t')}{\PD t} \llangle c_\mathrm H^\dagger(\bm r',t')c_\mathrm H(\bm r,t) \rrangle_0 + \hbar\theta(t-t') \llangle c_\mathrm H^\dagger(\bm r',t') \frac{\PD c_\mathrm H(\bm r,t)}{\PD t} \rrangle_0

-\hbar\frac{\PD\theta(t'-t)}{\PD t} \llangle c_\mathrm H(\bm r,t) c_\mathrm H^\dagger(\bm r',t')\rrangle_0 + \hbar\theta(t-t') \llangle \frac{\PD c_\mathrm H(\bm r,t)}{\PD t}c_\mathrm H^\dagger(\bm r',t') \rrangle_0

=\textcolor{red}{\hbar}\delta(t-t') \llangle c_\mathrm H^\dagger(\bm r',t')c_\mathrm H(\bm r,t) \rrangle_0 + i \theta(t-t') \llangle c_\mathrm H^\dagger(\bm r',t') [H_0, c_\mathrm H(\bm r,t)] \rrangle_0

-\textcolor{red}{\hbar}\delta(t'-t) \llangle c_\mathrm H(\bm r,t) c_\mathrm H^\dagger(\bm r',t')\rrangle_0 + i\theta(t-t') \llangle [H_0, c_\mathrm H(\bm r,t)]c_\mathrm H^\dagger(\bm r',t') \rrangle_0

=\textcolor{red}{\hbar}\delta(t-t') \llangle \big\{c_\mathrm H^\dagger(\bm r',t'),c_\mathrm H(\bm r,t)\big\} \rrangle_0 + i\llangle T[H_0, c_\mathrm H(\bm r,t)]c_\mathrm H^\dagger(\bm r',t') \rrangle_0

=\textcolor{red}{\hbar}\delta(t-t') \delta^{\textcolor{red}{3}}(\bm r-\bm r') + i\left(\frac{\hbar^2}{2m}\nabla_{\textcolor{red}{\bm r}}^2+\varepsilon_F\right) \llangle Tc_\mathrm H(\bm r,t)c_\mathrm H^\dagger(\bm r',t') \rrangle_0

途中で d\theta(t)/dt=\delta(t) \delta(-t)=\delta(t) および \theta(t)+\theta(-t)=1 を使った。

次元について:

  • \delta(t-t') は 1/(時間) の次元
  • \hbar\delta(t-t') は (エネルギー) の次元
  • n c_\mathrm Hc_\mathrm H^\dagger は 1/(体積) の次元
  • \delta^3(\bm r-\bm r') も 1/(体積) の次元

ということで、右辺のδ関数には \hbar が必須。

(8.34)

\left(\hbar\frac{\PD}{\PD t}-i\left(\frac{\hbar^2}{2m}\nabla_{\textcolor{red}{\bm r}}^2+\varepsilon_F\right)\right)\llangle Tc_\mathrm H(\bm r,t)c_\mathrm H^\dagger(\bm r',t') \rrangle_0=\textcolor{red}{\hbar}\delta(t-t') \delta^{\textcolor{red}{3}}(\bm r-\bm r')

i\left(\hbar\frac{\PD}{\PD t}-i\left(\frac{\hbar^2}{2m}\nabla_{\textcolor{red}{\bm r}}^2+\varepsilon_F\right)\right) (-i)\llangle Tc_\mathrm H(\bm r,t)c_\mathrm H^\dagger(\bm r',t') \rrangle_0=\textcolor{red}{\hbar}\delta(t-t') \delta^{\textcolor{red}{3}}(\bm r-\bm r')

この期待値に -\frac{i}{\red\hbar} を掛けた物が時間順序 Green 関数:

(8.35)

g_0^t(\bm r,t,\bm r',t')\equiv-\frac{i}{\red \hbar}\llangle Tc_\mathrm H(\bm r,t)c_\mathrm H^\dagger(\bm r',t')\rrangle_0

=-\frac{i}{\red \hbar}\theta(t-t')\llangle c_\mathrm H(\bm r,t)c_\mathrm H^\dagger(\bm r',t')\rrangle_0 +\frac{i}{\red \hbar}\theta(t'-t)\llangle c_\mathrm H^\dagger(\bm r',t')c_\mathrm H(\bm r,t)\rrangle_0

(8.36)

\left(i\hbar\frac{\PD}{\PD t}+\frac{\hbar^2}{2m}\nabla_{\textcolor{red}{\bm r}}^2+\varepsilon_F\right)g_0^t(\bm r,t,\bm r',t')=\delta(t-t') \delta^{\textcolor{red}{3}}(\bm r-\bm r')

(ここまでに現われた c_H,c^\dagger_H c_{H_0},c^\dagger_{H_0} のことであった)

自由でない場合

自由でない場合も含めて、以下の様に G^\alpha を定義する。( \alpha=t,\overline t,r,a

(8.37)

G^t(\bm r,t,\bm r',t')\equiv-\frac{i}{\red\hbar}\llangle Tc_\mathrm H(\bm r,t)c_\mathrm H^\dagger(\bm r',t')\rrangle

=-\frac{i}{\red\hbar}\theta(t-t')\llangle c_\mathrm H(\bm r,t)c_\mathrm H^\dagger(\bm r',t')\rrangle +\frac{i}{\red\hbar}\theta(t'-t)\llangle c_\mathrm H^\dagger(\bm r',t')c_\mathrm H(\bm r,t)\rrangle

(8.38A)

G^{\overline t}(\bm r,t,\bm r',t')\equiv \textcolor{red}{+}\frac{i}{\red\hbar}\llangle \overline Tc_\mathrm H(\bm r,t)c_\mathrm H^\dagger(\bm r',t')\rrangle

= \textcolor{red}{+}\frac{i}{\red\hbar}\theta(t'-t )\llangle c_\mathrm H(\bm r,t)c_\mathrm H^\dagger(\bm r',t')\rrangle \textcolor{red}{-}\frac{i}{\red\hbar}\theta(t -t')\llangle c_\mathrm H^\dagger(\bm r',t')c_\mathrm H(\bm r,t)\rrangle

(8.38B)

G^r(\bm r,t,\bm r',t')\equiv-\frac{i}{\red\hbar}\theta(t-t')\llangle \textcolor{red}{\{}c_\mathrm H(\bm r,t),c_\mathrm H^\dagger(\bm r',t')\}\rrangle

(8.38C)

G^a(\bm r,t,\bm r',t')\equiv \frac{i}{\red\hbar}\theta(t'-t)\llangle \textcolor{red}{\{}c_\mathrm H(\bm r,t),c_\mathrm H^\dagger(\bm r',t')\}\rrangle

(8.32) と同様にして g_0^t,g_0^{\overline t},g_0^a,g_0^r のすべてが (8.36) の形の方程式を満たすことが確認できる。

有限の V を持つ場合の G_0^t,G_0^{\overline t},G_0^a,G_0^r では右辺に V に起因した項が現われる → (8.103)

すぐ分かるように、

(8.38D)

G^t-G^{\overline t}=G^a+G^r

の関係が成り立っている。

  • G^t : 時間順序(time order)
  • G^{\overline t} : 逆時間順序(anti time order)
  • G^r : 遅延(retarded)
  • G^a : 先進(advanced)

Green 関数を用いて電子数密度を表す

(8.39)

n(\bm r, t)=-i{\red\hbar}G^t(\bm r,t,\bm r,t'=t+0)

=-\theta(t-t')\llangle c_\mathrm H(\bm r,t)c_\mathrm H^\dagger(\bm r,t')\rrangle +\theta(t'-t)\llangle c_\mathrm H^\dagger(\bm r,t')c_\mathrm H(\bm r,t)\rrangle

=-0\cdot\llangle c_\mathrm H(\bm r,t)c_\mathrm H^\dagger(\bm r,t')\rrangle +1\cdot\llangle c_\mathrm H^\dagger(\bm r,t')c_\mathrm H(\bm r,t)\rrangle

=\llangle c_\mathrm H^\dagger(\bm r,t')c_\mathrm H(\bm r,t)\rrangle

=\llangle c_\mathrm H^\dagger(\bm r,t)c_\mathrm H(\bm r,t)\rrangle

t'>t の条件により \theta(t'-t) の項のみを残しておいて、 最終的に t' t に近づける。

質問・コメント




PS

東北大CMPT M2? ()

続けて失礼します。

c_Hはc_H0と書いた方が分かりやすいとのコメントですが、c_HのHはハミルトニアンではなくハイゼンベルグ描像を表すHなので、H_0ではなく、Hが適当かと思います。

  • おっしゃるとおりでした。ご指摘ありがとうございます。 -- 武内(管理人)?

(8.30)についてのコメント

東北大CMPT M2? ()

とても参考になりますありがとうございます。

(8.30)について質問です。

多々良さんの本には「時間と位置をずらす」とあります。これは、時間をずらした、つまり tを t-t_s のように時間軸を平行移動したと思うより、「時間を固定した」と表現する方が正しいのではないでしょうか。つまり、「時間をずらす」という表現だと、時刻を計る基準を変えただけであって、微分演算子∂_tはt'にもtにも作用してしまいます。一方で時刻を固定したと思えば、t'は定数なので微分演算子∂_tは作用させなくてすみます。

私の主張は、「C_Hの位置と時刻をずらしてみる」ではなく、「C_Hの位置と時刻を固定する」が適切ではないかということです。

  • ここでの「ずらす」は「2つの c_H に異なる位置と時刻を入れてみた」というニュアンスと理解しているのですが、そういうことではないのでしょうか?私としては「軸を平行移動」の意識はまったくありませんでした。 -- 武内(管理人)?

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