スピントロニクス理論の基礎/8-5

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8-5 経路順序 Green 関数 (Gt : time ordered)

(8.58), (8.61)

&G(\bm r,\tau,\bm r',\tau')\\ &=-\frac{i}{\red\hbar}\Big\langle T_C\,e^{-\frac{i}{\textcolor{red}\hbar}\int_C d\textcolor{red}{\tau''}H(\textcolor{red}{\tau''})}c(\bm r,\tau)c^\dagger(\bm r',\tau') \Big\rangle\\ &=-\frac{i}{\red\hbar}\Big\langle T_CU_{C_\beta}c_\mathrm H(\bm r,\tau)c_\mathrm H^\dagger(\bm r',\tau') \Big\rangle\\

これを経路順序(path ordered) Green 関数、あるいは非平衡 Green 関数、あるいは Keldysh Green 関数と呼ぶ。

以下に見るように、

  • G^t(\bm r,t,\bm r',t') および G^{\overline t}(\bm r,t,\bm r',t') G(\bm r,\tau,\bm r',\tau') を用いて表せる
  • G^r(\bm r,t,\bm r',t') および G^a(\bm r,t,\bm r',t') は直接 G(\bm r,\tau,\bm r',\tau') を用いて表せない
    • 新たに導入される G^<(\bm r,t,\bm r',t') および G^>(\bm r,t,\bm r',t') を経由して 間接的に G(\bm r,\tau,\bm r',\tau') で表せる

τ表示から t 表示への変換:time ordered

(8.56)

&G^t(\bm r,t,\bm r',t')\\ &=-\frac{i}{\red\hbar}\left[ \theta(t-t')\bigl\langle U_{C_\beta}c_\mathrm H(\bm r,t)c_\mathrm H^\dagger(\bm r',t')\bigr\rangle -\theta(t'-t)\bigl\langle U_{C_\beta}c_\mathrm H^\dagger(\bm r',t')c_\mathrm H(\bm r,t)\bigr\rangle \right]\\ &=-\frac{i}{\red\hbar}\Big[ \theta(t-t')\bigl\langle U_{C_\beta}\overline U(t_0,t)c(\bm r,t)U(t,t_0)\overline U(t_0,t')c^\dagger(\bm r',t')U(t',t_0)\bigr\rangle\\ &\phantom{=i[}-\theta(t'-t)\bigl\langle U_{C_\beta}\overline U(t_0,t')c^\dagger(\bm r',t')U(t',t_0)\overline U(t_0,t)c(\bm r,t)U(t,t_0)\bigr\rangle \Big]\\ &=-\frac{i}{\red\hbar}\Big[ \theta(t-t')\bigl\langle U_{C_\beta}\overline U(t_0,t_\infty)U(t_\infty,t)c(\bm r,t)U(t,t')c^\dagger(\bm r',t')U(t',t_0)\bigr\rangle\\ &\phantom{=\frac{i}{\red\hbar}[}-\theta(t'-t)\bigl\langle U_{C_\beta}\overline U(t_0,t_\infty)U(t_\infty,t')c^\dagger(\bm r',t')U(t',t)c(\bm r,t)U(t,t_0)\bigr\rangle \Big]\\ &= G(\bm r,\tau\in C_\rightarrow,\bm r',\tau'\in C_\rightarrow)

ここで、 t_1 < t_2 < t_3 のとき、

\overline U(t_1,t_2)=\overline U(t_1,t_3) U(t_3,t_2)

U(t_3,t_1) \overline U(t_1,t_2) = U(t_3,t_2)

を用いた。これらは (8.7A), (8.8A), (8.42) により明らかに成り立つ。

τ表示から t 表示への変換:anti time ordered

(8.57)

&G^{\overline t}(\bm r,t,\bm r',t')\\ &=\frac{i}{\red\hbar}\left[ \theta(t-t')\bigl\langle U_{C_\beta}c_\mathrm H^\dagger(\bm r',t')c_\mathrm H(\bm r,t)\bigr\rangle -\theta(t'-t)\bigl\langle U_{C_\beta}c_\mathrm H(\bm r,t)c_\mathrm H^\dagger(\bm r',t')\bigr\rangle \right]\\ &=\frac{i}{\red\hbar}\Big[ \theta(t-t')\bigl\langle U_{C_\beta}\overline U(t_0,t')c^\dagger(\bm r',t')U(t',t_0)\overline U(t_0,t)c(\bm r,t)U(t,t_0)\bigr\rangle\\ &\phantom{=\frac{i}{\red\hbar}[}-\theta(t'-t)\bigl\langle U_{C_\beta}\overline U(t_0,t)c(\bm r,t)U(t,t_0)\overline U(t_0,t')c^\dagger(\bm r',t')U(t',t_0)\bigr\rangle \Big]\\ &=\frac{i}{\red\hbar}\Big[ \theta(t-t')\bigl\langle U_{C_\beta}\overline U(t_0,t')c^\dagger(\bm r',t')\overline U(t',t)c(\bm r,t)\overline U(t,t_\infty)U(t_\infty,t_0)\bigr\rangle\\ &\phantom{=\frac{i}{\red\hbar}[}-\theta(t'-t)\bigl\langle U_{C_\beta}\overline U(t_0,t)c(\bm r,t)\overline U(t,t')c^\dagger(\bm r',t')\overline U(t',t_\infty)U(t_\infty,t_0)\bigr\rangle \Big]\\ &= G(\bm r,\tau\in C_\leftarrow,\bm r',\tau'\in C_\leftarrow)

G^a G^r についてはこのように一筋縄では表せず、 後に出てくる G^< および G^> 経由で表すことになる。

経路に沿った時間発展

(8.62) は、(8.7A) や (8.8A) のような表式を用いれば、 以下のように非常に直感的に理解することが可能である。

&i\hbar\frac{\PD}{\PD \tau}U_C(\tau, \tau')\\ =&i\hbar\frac{\PD}{\PD \tau}\Big[e^{-\frac{i}{\hbar}H(\tau_1)(\tau-\tau_1)}e^{-\frac{i}{\hbar}H(\tau_2)(\tau_1-\tau_2)}\dots\Big]\\ =&i\hbar\Big(-\frac{i}{\hbar}H(\tau)\Big)\Big[e^{-\frac{i}{\hbar}H(\tau_1)(\tau-\tau_1)}e^{-\frac{i}{\hbar}H(\tau_2)(\tau_1-\tau_2)}\dots\Big]\\ =&H(\tau)U_C(\tau,\tau')

&i\hbar\frac{\PD}{\PD \tau}U_C(\tau', \tau)\\ =&i\hbar\frac{\PD}{\PD \tau}\Big[\dots e^{-\frac{i}{\hbar}H(\tau_n)(\tau_{n-1}-\tau_n)}e^{-\frac{i}{\hbar}H(\tau)(\tau_n-\tau)}\Big]\\ =&i\hbar\Big[\dots e^{-\frac{i}{\hbar}H(\tau_n)(\tau_{n-1}-\tau_n)}e^{-\frac{i}{\hbar}H(\tau)(\tau_n-\tau)}\Big]\Big(\frac{i}{\hbar}H(\tau)\Big)\\ =&-U_C(\tau',\tau)H(\tau)

経路順序グリーン関数の時間発展

(8.63)

&i\hbar\frac{\PD}{\PD \tau}G(\bm r,t,\bm r',t')\\ &=\delta(\tau-\tau')\big\langle U_{C_\beta}U_C(\tau_0',\tau)\{c(\bm r,\tau),c^\dagger(\bm r',\textcolor{red}{\tau})\}U_C(\tau,\tau_0)\big\rangle\\ &\ \ \ +\frac{i}{\red\hbar}\Bigg[\theta(\tau-\tau')\big\langle U_{C_\beta}U_C(\tau_0',\tau)[H(\tau),c(\bm r,\tau)]U_C(\tau,\tau')c^\dagger(\bm r',\tau')U_C(\tau',\tau_0)\big\rangle\\ &\ \ \ \phantom{\frac{i}{\red\hbar}[}-\theta(\tau'-\tau)\big\langle U_{C_\beta}U_C(\tau_0',\tau')c^\dagger(\bm r',\tau')U_C(\tau',\tau)[H(\tau),c(\bm r,\tau)]U_C(\tau,\tau_0)\big\rangle\Bigg]\\ &=\delta(\tau-\tau')\delta^3(\bm r-\bm r')\\ &\ \ \ +\frac{i}{\red\hbar}\big\langle T_C\,e^{-\frac{i}{\textcolor{red}{\hbar}}\int_C d{\red{\tau''}}H({\red{\tau''}})}[H(\tau),c(\bm r,\tau)]c^\dagger(\bm r',\tau') \big\rangle

この式は (8.33) に合わせて交換関係の中のハミルトニアンを先に出して、符号を反転してある。

(8.64)

(8.30) と同様の手順で

\left(i\hbar\frac{\PD}{\PD \tau}+\frac{\hbar^2}{2m}\nabla_{\textcolor{red}{\bm r}}^2+\varepsilon_F\right)g_0^t(\bm r,\tau,\bm r',\tau')=\delta(\tau-\tau') \delta^{\textcolor{red}{3}}(\bm r-\bm r')

質問・コメント




(8.62)式の疑問

池田文昭? ()

時間をさかのぼる経路の場合この式の符号が変わると思われます。
この場合(8.53)の微分になりますが、時間tの微分ならこの式は成立しますが、τでの微分は符号が逆になってしまいます。従って(8.63)は成立しなくなります。この場合ハミルトニアン内の生成消滅演算子などが変化して(8.64)式がみたされるようなことになるのでしょうか。


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