スピントロニクス理論の基礎/8-8

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8-8 相互作用の摂動論的扱い

時間発展の分割

H=H_0+V

に対して、

(8.96), (8.97)

U=(U_0U_0^\dagger) U=U_0(U_0^\dagger U)\equiv U_0 U_V

として、 U U_0 U_V に分けて書く。

(8.98), (8.99)

U U_0 の時間微分は (8.3) から得ることができて、

i\hbar\frac{\PD}{\PD t}U_V&=i\hbar\frac{\PD U_0^\dagger}{\PD t} U+i\hbar U_0^\dagger\frac{\PD U}{\PD t}\\ &=i\hbar\left(\frac{H_0 U_0}{i\hbar}\right)^\dagger U+i\hbar U_0^\dagger \left(\frac{H U}{i\hbar}\right)\\ &=-U_0^\dagger H_0 U + U_0^\dagger H U\\ &=U_0^\dagger (H-H_0) U\\ &=U_0^\dagger V U\\ &=U_0^\dagger V (U_0 U_0^\dagger) U\\ &=V_{H_0}U_V

したがって (8.7) と同様にして、

(8.100)

U_V(t,t_0)=Te^{-\frac{i}{\hbar}\int_{t_0}^tdt'V_{H_0}(t')}

経路積分を H0 と V で表す

これと O_\mathrm H=U^\dagger O U=U_V^\dagger U_0^\dagger O U_0 U_V=U_V^\dagger O_{\mathrm H_0}U_V を用いて、

(8.101)

\overline O(t)&= \frac{1}{Z_0}\trace[U(-i\beta\textcolor{red}{\hbar}+t_0,t_0)U_V^\dagger(t,t_0)O_{\mathrm H_0}(t)U_V(t,t_0)]\\ &\,\textcolor{red}{\stackrel{?}{=}}\,\frac{1}{Z_0}\trace[U_V(-i\beta\textcolor{red}{\hbar}+t_0,t_0)U_V^\dagger(t,t_0)O_{\mathrm H_0}(t)U_V(t,t_0)]\\ &=\frac{1}{Z_0}\trace[T_C\,e^{-\frac{i}{\textcolor{red}{\hbar}}\int_Cd\tau'V_{\mathrm H_0}(\tau')}O_{\mathrm H_0}(\tau)]\\ &=\big\langle T_C\,e^{-\frac{i}{\textcolor{red}{\hbar}}\int_Cd\tau'V_{\mathrm H_0}(\tau')}O_{\mathrm H_0}(\tau)\big\rangle

※ (2011.9.5 追記)

この部分について、非常に重要な指摘が佐野先生からあった。

1行目の U(-i\beta\hbar+t_0,t_0)=e^{-\beta H(t_0)} が、
2行目では U_V(-i\beta\hbar+t_0,t_0)=e^{-\beta V(t_0)} になってしまっている。

これは t=t_0 の初期状態で統計平均を取る際のエネルギーを間違えて評価していることを意味し、以降の計算に妥当性が無くなってしまいそうです。

統計平均の重み付けにおいて V(t_0) の寄与ではなく、 H_0(t_0) の寄与を忘れているので、 時刻 t_0 で外場がなければ良いという話ではなく、 また今考えているのはフェルミオンなので t_0 で温度が T=0 ならば良いという話でもなく、 かなり困りそうな予感がします。

※ ここまで追記

・・・第2刷では、 T_C の部分が T_C\red{U_{C_\beta}} となっていて、 上記の差異を \red{U_{C_\beta}} で吸収していた。 (8.102) は以降の議論には使われないので、上記の問題も結果に影響しない。(2012.06.01 追記)

G を g0 で表す

同様にして、

(8.102)

G(\bm r,\tau,\bm r',\tau') &=-i\big\langle T_C\,e^{-\frac{i}{\textcolor{red}{\hbar}}\int_Cd\tau''V_{\mathrm H_0}(\tau'')} c_{\mathrm H_0}(\bm r,\tau)c_{\mathrm H_0}^\dagger(\bm r',\tau')\big\rangle

・・・ここも、 T_C の部分は T_C\red{U_{C_\beta}} であるべき(2012.06.01 追記)

(8.63) の H H_0+V に置き換え、(8.24A), (8.30A) を用いれば、

(8.103)

&i\hbar\frac{\PD}{\PD \tau}G(\bm r,\tau,\bm r',\tau') =\red 1\delta(\tau-\tau')\delta^3(\bm r-\bm r') +\frac{i}{\red \hbar}\big\langle T_C\,e^{-\frac{i}{\textcolor{red}{\hbar}}\int_Cd\tau''H(\tau'')} [H_0(\tau)+V(\tau),c(\bm r,\tau)]c^\dagger(\bm r',\tau')\big\rangle\\ &=\red 1\delta(\tau-\tau')\delta^3(\bm r-\bm r') +\frac{i}{\red \hbar}\big\langle T_C\,e^{-\frac{i}{\textcolor{red}{\hbar}}\int_Cd\tau''H(\tau'')} \left\{\left(\frac{\hbar^2}{2m}\bm\nabla^2_{\bm r}+\varepsilon_F\right)c(\bm r,\tau)\right\}c^\dagger(\bm r',\tau')\big\rangle\\ &\hspace{4.1cm}+\frac{i}{\red \hbar}\big\langle T_C\,e^{-\frac{i}{\textcolor{red}{\hbar}}\int_Cd\tau''H(\tau'')} [V(\tau),c(\bm r,\tau)]c^\dagger(\bm r',\tau')\big\rangle\\ &=\red 1\delta(\tau-\tau')\delta^3(\bm r-\bm r') -\left(\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2_{\bm r}+\varepsilon_F\right)G +\frac{i}{\red \hbar}\big\langle T_C\,e^{-\frac{i}{\textcolor{red}{\hbar}}\int_Cd\tau''H(\tau'')} [V(\tau),c(\bm r,\tau)]c^\dagger(\bm r',\tau')\big\rangle\\

教科書でこの途中経過に \red{U_{C_\beta}} が一瞬現れる意味が分からない。

&\left(i\hbar\frac{\PD}{\PD \textcolor{red}{\tau}}+\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2_{\red{\bm r}}+\varepsilon_F\right)G(\bm r,\tau,\bm r',\tau') =\red 1\delta(\tau-\tau')\delta^{\red 3}(\bm r-\bm r') +\frac{i}{\red \hbar}\big\langle T_C\,e^{-\frac{i}{\red\hbar}\int_Cd\tau''H(\tau'')} [V(\tau),c(\bm r,\tau)]c^\dagger(\bm r',\tau')\big\rangle\\

(8.36) より \delta 関数を g_0 で書き換えられることを利用すると、

(8.104)

&\left(i\hbar\frac{\PD}{\PD \textcolor{red}{\tau}}+\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2_{\textcolor{red}{\bm r}}+\varepsilon_F\right)G(\bm r,\tau,\bm r',\tau')\\ &= \left(i\hbar\frac{\PD}{\PD \textcolor{red}{\tau}}+\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2_{\textcolor{red}{\bm r}}+\varepsilon_F\right)g_0(\bm r,\tau,\bm r',\tau')\\ &+\int_Cd\tau_1\int d^3r_1\hbar\delta(\tau-\tau_1)\delta^3(\bm r-\bm r_1)\times \frac{i}{\textcolor{red}{\hbar}}\big\langle T_C\,e^{-\frac{i}{\hbar}\int_Cd\tau''H(\tau'')} [V(\tau_1),c(\bm r_1,\tau_1)]c^\dagger(\bm r',\tau')\big\rangle\\ &= \left(i\hbar\frac{\PD}{\PD \textcolor{red}{\tau}}+\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2_{\textcolor{red}{\bm r}}+\varepsilon_F\right)g_0(\bm r,\tau,\bm r',\tau')\\ &+\left(i\hbar\frac{\PD}{\PD \textcolor{red}{\tau}}+\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2_{\textcolor{red}{\bm r}}+\varepsilon_F\right) \int_Cd\tau_1\int d^3r_1g_0(\bm r,\tau,\bm r_1,\tau_1)\times \frac{i}{\textcolor{red}{\hbar}}\big\langle T_C\,e^{-\frac{i}{\hbar}\int_Cd\tau''H(\tau'')} [V(\tau_1),c(\bm r_1,\tau_1)]c^\dagger(\bm r',\tau')\big\rangle\\

2項目に \left(i\hbar\frac{\PD}{\PD \tau}+\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2_{\bm r}+\varepsilon_F\right) を無理矢理出現させるため、 一旦δ関数をかけて積分する形を作っておいて、そのδ関数を g_0 で置き換えた。

τ1 の積分区間に対する注意

\tau は実時間に投影されるべき値で、 \tau\in C_\leftarrow + C_\rightarrow \equiv C_\rightleftarrows であるから、 \tau_1 の積分範囲も C 全体ではなく、 C_\rightleftarrows=C - C_\beta の範囲で取ればよい。

\int_Cd\tau_1\ \ \ \rightarrow\ \ \ \int_{C_\rightleftarrows}d\tau_1

この違いは \tau 上で考える限り意味をなさず、 実際どちらでも結果は同じになるが、 (8.110) あたりで実時間へ射影するときにこの点が効いてくる。

G を g0 と V で表した式

(8.105)

&G(\bm r,\tau,\bm r',\tau')=g_0(\bm r,\tau,\bm r',\tau')\\ &+ \int_{C_\rightleftarrows}d\tau_1\int d^3r_1g_0(\bm r,\tau,\bm r_1,\tau_1)\times \frac{i}{\textcolor{red}{\hbar}}\big\langle T_C\,e^{-\frac{i}{\hbar}\int_Cd\tau''H(\tau'')} [V(\tau_1),c(\bm r_1,\tau_1)]c^\dagger(\bm r',\tau')\big\rangle\\

この式は g_0 V(t) から G を得るための式になっていて、 現段階では近似は入っていないため、 V(t) が大きいときにも正確な式である。

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