スピントロニクス理論の基礎/8-9

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8-9 不純物による電子散乱

不純物散乱ポテンシャル項

不純物による電子散乱が次のような性質を持つとする。

  • 散乱により運動量が変化する
  • 弾性的つまりエネルギーを変化させない
  • 空間上の同じ点のみで作用するδ関数型である

これを表すポテンシャルは、

(8.106)

V_i=\int d^3rv_i(\bm r,t)\hat n(\bm r,t)

(8.106A)

v_i(\bm r)=\sum_k^{N_i}v_ia^3\delta^{\textcolor{red}{3}}(\bm r-\bm R_k)

として、位置 \bm R_k に体積 a^3 高さ v_i のポテンシャルピークを作る不純物が存在して、 その場所の電子密度に比例するエネルギーを与えるものとする。

N_i は不純物の数であり、個々の不純物は k=1,2,\dots,N_i のラベルで区別する。 (教科書では impurity の頭文字は立体の \mathrm i で、 ラベル付けは斜体の i で書かれているのだけれど、 紛らわしいので k にした・・・ その結果、波数と紛らわしいという話も。)

ポテンシャルの値からエネルギーの平均値をあらかじめ引いておくことで そのフーリエ成分の \bm k=\bm 0 の成分をゼロにしておくと、 後に便利である。(この性質は後で多用される)

(8.107)

v_i(\bm r)=\sum_k^{N_i}v_ka^3\left(\delta^{\textcolor{red}{3}}(\bm r-\bm R_k)-\frac{1}{V}\right)

\int_V d^3r\delta^3(\bm r-\bm R_k)=\int_V d^3r / V = 1 に注意せよ。

交換関係

(8.24) あたりで行ったのと同様にして交換子を計算できる。

(8.108)

[V_i(t),c(\bm r,t)]=-v_i(\bm r)c(\bm r,t)

不純物散乱を考慮した経路表示 Green 関数

この H_i=H_0+V_i に対する Green 関数 g は (8.105) より、

(8.109)

&g(\bm r,\tau,\bm r',\tau')=g_0(\bm r,\tau,\bm r',\tau')\\ &+\int_Cd\tau_1\int d^3r_1g_0(\bm r,\tau,\bm r_1,\tau_1)\times \frac{i}{\textcolor{red}{\hbar}}\big\langle T_C\,e^{-\frac{i}{\hbar}\int_Cd\tau''H(\tau'')} [V_i(\tau_1),c(\bm r_1,\tau_1)]c^\dagger(\bm r',\tau')\big\rangle\\ &=g_0(\bm r,\tau,\bm r',\tau')\\ &+\int_Cd\tau_1\int d^3r_1g_0(\bm r,\tau,\bm r_1,\tau_1)\times v_i(\tau_1) \frac{1}{\textcolor{red}{\hbar}} \left[-i\big\langle T_C\,e^{-\frac{i}{\hbar}\int_Cd\tau''H(\tau'')} c(\bm r_1,\tau_1)c^\dagger(\bm r',\tau')\big\rangle\right] \\ &=g_0(\bm r,\tau,\bm r',\tau') +\int_Cd\tau_1\int d^3r_1g_0(\bm r,\tau,\bm r_1,\tau_1)v_i(\bm r_1)g(\bm r_1,\tau_1,\bm r',\tau') \\ &=g_0(\bm r,\tau,\bm r',\tau') +\int_{C_\rightleftarrows} d\tau_1\int d^3r_1g_0(\bm r,\tau,\bm r_1,\tau_1)v_i(\bm r_1)g(\bm r_1,\tau_1,\bm r',\tau')

最後の行は (8.105) で指摘したとおり、 \tau_1 C_\beta 上にある場合を考える必要がないという点を反映している。

次元について:

  • Green 関数は元々 \hat n/\hbar すなわち電子数密度 = (1/体積) と (1/角運動量) の積の次元を持つ。
  • したがって d\tau_1 d^3r_1 g_0 は (エネルギーの逆数) の次元
  • v_i は (エネルギー) の次元
  • したがって、 d\tau_1 d^3r_1 v_i g_0 で無次元
  • それらを除くと左辺・右辺共に Green 関数の次元となり、正しい

lesser Green 関数 G<

(8.66) および (8.105) より、

(8.110)

&g^<(\bm r,t,\bm r',t')=g(\bm r,\tau \in C_\rightarrow,\bm r',\tau'\in C_\leftarrow)\\ &= g_0(\bm r,\tau \in C_\rightarrow,\bm r',\tau'\in C_\leftarrow)\\ &\hspace{4mm}+\int_{C_\rightarrow}d\tau_1\int d^3r_1 g_0(\bm r,\tau\in C_\rightarrow,\bm r_1,\tau_1\in C_\rightarrow)v_i(\bm r_1) g(\bm r_1,\tau_1\in C_\rightarrow,\bm r',\tau'\in C_\leftarrow)\\ &\hspace{4mm}+\int_{C_\leftarrow}d\tau_1\int d^3r_1 g_0(\bm r,\tau\in C_\rightarrow,\bm r_1,\tau_1\in C_\leftarrow)v_i(\bm r_1) g(\bm r_1,\tau_1\in C_\leftarrow,\bm r',\tau'\in C_\leftarrow)\\ &= g_0^<(\bm r,t,\bm r',t')\\ &\hspace{4mm}+\int_{t_0}^{t_\infty} dt_1\int d^3r_1 g_0^t(\bm r,t,\bm r_1,t_1)v_i(\bm r_1)g^<(\bm r_1,t_1,\bm r',t')\\ &\hspace{4mm}+\int_{t_\infty}^{t_0}dt_1\int d^3r_1 g_0^<(\bm r,t,\bm r_1,t_1)v_i(\bm r_1)g^{\overline t}(\bm r_1,t_1,\bm r',t')\\ &= g_0^<(\bm r,t,\bm r',t')\\ &\hspace{4mm}+\int dt_1\int d^3r_1\big[ g_0^t(\bm r,t,\bm r_1,t_1)v_i(\bm r_1)g^<(\bm r_1,t_1,\bm r',t') -g_0^<(\bm r,t,\bm r_1,t_1)v_i(\bm r_1)g^{\overline t}(\bm r_1,t_1,\bm r',t')\big]

となる。

2行目は \tau_1 に関する積分範囲を、 C 全体ではなく C_\rightarrow+C_\leftarrow と考えられることを利用した。 ( C_\beta を除いてある)

ここで、(8.70)〜(8.73) を用いて、

g_0^t\,g^<-g_0^<\,g^{\overline t}=(g_0^r+g_0^<)g^<-g_0^<(-g^a+g^<)=g_0^r\,g^<+g_0^<\,g^a

より、

(8.111)

&g^<(\bm r,t,\bm r',t')=g_0^<(\bm r,t,\bm r',t')\\ &\hspace{4mm}+\int dt_1\int d^3r_1\big[ g_0^r(\bm r,t,\bm r_1,t_1)v_i(\bm r_1)g^<(\bm r_1,t_1,\bm r',t') +g_0^<(\bm r,t,\bm r_1,t_1)v_i(\bm r_1)g^a(\bm r_1,t_1,\bm r',t')\big]

greater Green 関数 G>

同様にして、

(8.112)

&g^>(\bm r,t,\bm r',t') = g_0^>(\bm r,t,\bm r',t')\\ &\hspace{4mm}+\int dt_1\int d^3r_1\big[ g_0^r(\bm r,t,\bm r_1,t_1)v_i(\bm r_1)g^>(\bm r_1,t_1,\bm r',t') +g_0^>(\bm r,t,\bm r_1,t_1)v_i(\bm r_1)g^a(\bm r_1,t_1,\bm r',t')\big]

retarded Green 関数 Gr

(8.113)

&g^r(\bm r,t,\bm r',t') = g_0^r(\bm r,t,\bm r',t')\\ &\hspace{4mm}+\int dt_1\int d^3r_1\theta(t-t')\big[ g_0^r(\bm r,t,\bm r_1,t_1)v_i(\bm r_1)g^r(\bm r_1,t_1,\bm r',t') -g_0^a(\bm r,t,\bm r_1,t_1)v_i(\bm r_1)g^a(\bm r_1,t_1,\bm r',t')\big]\\ &= g_0^r(\bm r,t,\bm r',t') +\int dt_1\int d^3r_1 g_0^r(\bm r,t,\bm r_1,t_1)v_i(\bm r_1)g^r(\bm r_1,t_1,\bm r',t')

advanced Green 関数 Ga

&g^a(\bm r,t,\bm r',t')\\ &= g_0^a(\bm r,t,\bm r',t') +\int dt_1\int d^3r_1 g_0^a(\bm r,t,\bm r_1,t_1)v_i(\bm r_1)g^a(\bm r_1,t_1,\bm r',t')

ここで (8.38) より g_?^a(t,t')\propto \theta(t'-t) および g_?^r(t,t')\propto \theta(t-t') なので、

  • \theta(t-t')g_{\textcolor{red}{0}}^a(t,t_1)g^a(t_1,t')\propto\theta(t-t')\theta(\textcolor{red}{t_1-t})\theta(\textcolor{red}{t'-t_1})=0
  • \theta(t'-1)g_{\textcolor{red}{0}}^r(t,t_1)g^r(t_1,t')\propto\theta(t'-t)\theta(\textcolor{red}{t-t_1})\theta(\textcolor{red}{t_1-t'})=0
  • \theta(t-t')g_?^r(t,t')=g_?^r(t,t')
  • \theta(t'-t)g_?^a(t,t')=g_?^a(t,t')

を用いた。

g^a および g^r がそれぞれ閉じた方程式を満たすことはよく知られた事実。

省略形

以上を省略形にまとめると、

  • G^<=g_0^<+(g_0^rVG^<+g_0^<VG^a)
  • G^>=g_0^<+(g_0^rVG^>+g_0^>VG^a)
  • G^r=g_0^r+g_0^rVG^r
  • G^a=g_0^a+g_0^aVG^a

G+- のような記法について

(9/12 追記) 以下は細かい部分で間違ってるかも。なんとなく概念だけ。

セミナーで G^{+-} のような記法を教わった。

C_\rightarrow=C^+ C_\leftarrow=C^- と考えると、

(8.56), (8.57), (8.68) は、

  • G^t=G(\tau\in C^+,\tau'\in C^+)=G^{++}
  • G^{\overline t}=G(\tau\in C^-,\tau'\in C^-)=G^{--}
  • G^<=G(\tau\in C^+,\tau'\in C^-)=G^{+-}
  • G^>=G(\tau\in C^-,\tau'\in C^+)=G^{-+}

と書くのが直感的である。

これを使うと、(8.110) は

G^{+-}=G^{+-}_0+\iint \big( G^{++}_0VG^{+-}-G^{+-}_0VG^{--} \big)

となって、積分の部分をうまく評価できれば、

G^{+-}=G^{+-}_0+ \big( G^{++}_0\Sigma^{++}G^{+-}-G^{+-}_0\Sigma^{--}G^{--} \big)

となる。

同様に他の G についても式を作ると、(8.115) に相当する式を

\bm G=\begin{pmatrix}G^{++}&G^{+-}\\G^{-+}&G^{--}\end{pmatrix}

なる行列に対する1つの方程式として分かりやすく書けるとのことであった。

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