スピントロニクス理論の基礎/9-1B

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9-1 スカラー場により誘起される電荷密度 (2)

不純物散乱の効果を正しく取り込む : vertex 補正の必要性

(9.28)

&\rho_\phi^{(1)}(\bm r,t)= -i \textcolor{red}{\frac{e^{2}\hbar}{a^3}\frac{1}{N}} \sum_{\bm k,\bm q} \int \frac{d\omega}{2\pi} \int \frac{d\Omega}{2\pi} e^{-i\bm q\cdot \bm r}e^{i\Omega t} \times \\ &\hspace{1.5cm} \phi(\bm q,\Omega)n_iv_i^2 \sum_{\bm k_1}\left[ g_{\bm k-\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2}} \, g_{\bm k_1-\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2}} \, g_{\bm k_1+\frac{\bm q}{2},\omega+\frac{\Omega}{2}} \, g_{\bm k+\frac{\bm q}{2},\omega+\frac{\Omega}{2}} \right]^<

この補正が出てくる理由が分からない。

(8.118) および (9.4J) を完全に評価する限り 近似は入っていないと思っていたのだけれど・・・

ここまで、近似というか、多少なりともごまかしが入ったのは

  • (8.101), (8.101') で初期条件がおかしくなったこと
  • (8.119) の不純物平均
  • (8.123) の実部は無視できるのか

くらい?

  1. (9.28) の項は (9.4) 式の高次項ではない
  2. (9.5) 式の g g_0 で展開した形に似ている
  3. それならなぜ (9.28) 式の g g_0 でないのか?
  4. この項は (8.118) や (9.4J) の導出中に行われた近似で落とされていたのに 気付かなかった?

あたりが疑問。

(9.4) 式の高次項ではない

(9.4) 式は \phi で展開しているので、高次項には \phi の2次以上が含まれるはずだが、 (9.28) に \phi は1つしか入っていない。

(9.5) 式の g を g0 で展開した形に似ている

(8.121) より、

g^\alpha_{\bm k,\omega} = g^\alpha_{0\bm k,\omega} + n_iv_i^2\frac{1}{N} \sum_{\bm q'} g^\alpha_{0\bm k,\omega} g^\alpha_{0\bm k+q',\omega} g^\alpha_{0\bm k,\omega} + \dots

この1項目と2項目とを掛け合わせると、 n_iv_i^2\frac{1}{N}\sum gggg の項が出る。

\left[ g^\alpha_{\bm k+\frac{q}{2},\omega+\frac{\Omega}{2}} \, g^\alpha_{\bm k-\frac{q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2}} \right]^<

にこれらをそのまま入れると、かなり似た項は出るが、(9.28) そのものは出ない。

そもそも、こういう項は g^rg^rg^rg^a g^rg^ag^ag^a の形になるから、どうも話が違う。

これらの過程は (9.27) の \rho_\phi^{(0)} に含まれている、上下どちらかに1つ耳の生えたタイプということで、 改めて組み込む必要は無いということだと思う。

なぜ (9.28) 式の g g_0 でないのか

上下に耳が生える過程を組み込むため?

これまでの近似で落とされていたのに気付かなかった?

たぶんそう。

どこから出てくるのだろう?

・・・不純物平均のところしかなさそうだ。

上で見たとおり、(9.28) の項は v_i の2次の項とゼロ次の項を掛けた物ではなく、 1次の項を2つ掛けた物になっている。

8-10 では1次の項は不純物平均により消えるとされたけど、 ポテンシャルがあると残る物が出てくるのかも。

不純物平均の前に戻ってみる

H=H_0+V_i+V_\phi=(H_0+V_i)+V_\phi=H_i+V_\phi と考えるのをやめて、
H=H_0+V_i+V_\phi=H_0+(V_i+V_\phi)=H_0+V として、8-10、8-11 を見直してみる。

V_\phi が入っているため不純物平均を取る直前の式に戻ろう。

v(\bm q,\bm \Omega)\equiv v_i(\bm q)+v_\phi(\bm q,\bm \Omega) と置けば、

(8.117) は

&g_{\bm k,\bm k',\omega,\omega'}^a= 2\pi\delta(\omega-\omega')\delta_{\bm k,\bm k'}g_{0\bm k,\omega}^a+ \int \frac{\Omega}{2\pi} \sum_{\bm q} g_{0\bm k,\omega}^a v(\bm q,\Omega) g_{\bm k+\bm q,\bm k',\omega+\Omega,\omega'}^a

(8.145) は

&g_{\bm k,\bm k',\omega,\omega'}^<=2\pi\delta(\omega-\omega')\delta_{\bm k,\bm k'}g_{0\bm k,\omega}^< +\int \frac{d\Omega}{2\pi}\sum_{\bm q}\big[ g_{0\bm k,\bm k',\omega,\omega'}^rv(\bm q,\Omega)g_{\bm k+\bm q,\bm k',\omega+\Omega,\omega'}^< +g_{0\bm k,\bm k',\omega,\omega'}^<v(\bm q)g_{\bm k+\bm q,\bm k',\omega+\Omega,\omega'}^a \big]

となる。

ポテンシャルを3回含む項を評価する

この2つの式を使ってポテンシャルを3回含む項を取り出してみる。

→ (9.28) が \phi v_i^2 の3つのポテンシャル成分を含んでいることに注意。

それ以外の項は下線を引いて、どんどん消していく。

g_{\bm k,\bm k',\omega,\omega'}^< = \underline{2\pi\delta(\omega-\omega')\delta_{\bm k,\bm k'}g_{0\bm k,\omega}^<} +\int \frac{d\Omega}{2\pi} \sum_{\bm q}\Big[ &g_{0\bm k,\omega}^rv(\bm q,\Omega)g_{\bm k+\bm q,\bm k',\omega+\Omega,\omega'}^<\\ +&g_{0\bm k,\omega}^<v(\bm q,\Omega)g_{\bm k+\bm q,\bm k',\omega+\Omega,\omega'}^a\\ &\Big] \cdot 2\pi\delta(\omega+\Omega-\omega')\delta_{\bm k+\bm q,\bm k'}

= \int \frac{d\Omega}{2\pi}\sum_{\bm q}\Big[ &g_{0\bm k,\omega}^rv(\bm q,\Omega) \Big( \underline{2\pi\delta(\omega+\Omega-\omega')\delta_{\bm k+\bm q,\bm k'}g_{0\bm k+\bm q,\omega}^<} +\int \frac{d\Omega'}{2\pi}\sum_{\bm q'}\Big[ g_{0\bm k+\bm q,\omega+\Omega}^rv(\bm q',\Omega')g_{\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega+\Omega+\Omega',\omega'}^<\\ &\hspace{9.8cm} +g_{0\bm k+\bm q,\omega+\Omega}^<v(\bm q',\Omega')g_{\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega+\Omega+\Omega',\omega'}^a \Big]\\ &\hspace{10cm}\cdot 2\pi\delta(\omega+\Omega+\Omega'-\omega')\delta_{\bm k+\bm q+\bm q',\bm k'} \Big)\\ +&g_{0\bm k,\omega}^<v(\bm q,\Omega) \Big( \underline{2\pi\delta(\omega+\Omega-\omega')\delta_{\bm k+\bm q,\bm k'}g_{0\bm k+\bm q,\omega}^a} +\int \frac{\Omega'}{2\pi} \sum_{\bm q'}\ \ \, g_{0\bm k+\bm q,\omega+\Omega}^a v(\bm q',\Omega') g_{\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega+\Omega+\Omega',\omega'}^a \\&\hspace{10cm} \cdot 2\pi\delta(\omega+\Omega+\Omega'-\omega')\delta_{\bm k+\bm q+\bm q',\bm k'} \Big) \Big]

= \int \frac{d\Omega}{2\pi}\int \frac{d\Omega'}{2\pi}\sum_{\bm q,\bm q'}\Big[ &g_{0\bm k,\omega}^r v(\bm q,\Omega) g_{0\bm k+\bm q,\omega+\Omega}^r v(\bm q',\Omega') g_{\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega+\Omega+\Omega',\omega'}^<\\ +&g_{0\bm k,\omega}^r v(\bm q,\Omega) g_{0\bm k+\bm q,\omega+\Omega}^< v(\bm q',\Omega') g_{\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega+\Omega+\Omega',\omega'}^a\\ +&g_{0\bm k,\omega}^< v(\bm q,\Omega) g_{0\bm k+\bm q,\omega+\Omega}^a v(\bm q',\Omega') g_{\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega+\Omega+\Omega',\omega'}^a\\ &\Big] \cdot 2\pi\delta(\omega+\Omega+\Omega'-\omega')\delta_{\bm k+\bm q+\bm q',\bm k'}

同様にして、

= \int \frac{d\Omega}{2\pi} \int \frac{d\Omega'}{2\pi} \int \frac{d\Omega''}{2\pi}\sum_{\bm q,\bm q',\bm q''} \Big[ &g_{0\bm k,\omega}^r v(\bm q,\Omega) g_{0\bm k+\bm q,\omega+\Omega}^r v(\bm q',\Omega') g_{\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega+\Omega+\Omega',\omega'}^r v(\bm q'',\Omega'') g_{\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega+\Omega+\Omega'+\Omega'',\omega'}^<\\ +&g_{0\bm k,\omega}^r v(\bm q,\Omega) g_{0\bm k+\bm q,\omega+\Omega}^r v(\bm q',\Omega') g_{\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega+\Omega+\Omega',\omega'}^< v(\bm q'',\Omega'') g_{\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega+\Omega+\Omega'+\Omega'',\omega'}^a\\ +&g_{0\bm k,\omega}^r v(\bm q,\Omega) g_{0\bm k+\bm q,\omega+\Omega}^< v(\bm q',\Omega') g_{\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega+\Omega+\Omega',\omega'}^a v(\bm q'',\Omega'') g_{\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega+\Omega+\Omega'+\Omega'',\omega'}^a\\ +&g_{0\bm k,\omega}^< v(\bm q,\Omega) g_{0\bm k+\bm q,\omega+\Omega}^a v(\bm q',\Omega') g_{\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega+\Omega+\Omega',\omega'}^a v(\bm q'',\Omega'') g_{\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega+\Omega+\Omega'+\Omega'',\omega'}^a \\ & \Big] \cdot 2\pi\delta(\omega+\Omega+\Omega'+\Omega''-\omega')\delta_{\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k'}

したがって、

0次:

g_{\bm k,\bm k',\omega,\omega'}^<{}^{(0)} = \, & 2\pi\delta(\omega-\omega')\delta_{\bm k,\bm k'}g_{0\bm k,\omega}^<\\ = & 2\pi\delta(\omega-\omega')\delta_{\bm k,\bm k'} f(\omega) (g_{\bm k,\omega}^a-g_{\bm k,\omega}^r)\\

1次:

g_{\bm k,\bm k',\omega,\omega'}^<{}^{(1)} = \, &[g_{0\bm k,\omega}^rv(\bm k'-\bm k,\omega'-\omega)g_{0\bm k',\omega'}^< \\ +&g_{0\bm k,\omega}^<v(\bm k'-\bm k,\omega'-\omega)g_{0\bm k',\omega'}^a] \\ =\, &g_{0\bm k,\omega}^r v(\bm k'-\bm k,\omega'-\omega) f(\omega') (g_{\bm k',\omega'}^a-g_{\bm k',\omega'}^r) \\ +&f(\omega) (g_{\bm k,\omega}^a-g_{\bm k,\omega}^r) v(\bm k'-\bm k,\omega'-\omega) g_{0\bm k',\omega'}^a \\ =\,& v(\bm k'-\bm k,\omega'-\omega) \Big[ g_{0\bm k,\omega}^r f(\omega') (g_{\bm k',\omega'}^a-g_{\bm k',\omega'}^r) +f(\omega) (g_{\bm k,\omega}^a-g_{\bm k,\omega}^r) g_{0\bm k',\omega'}^a \Big]

2次:

g_{\bm k,\bm k',\omega,\omega'}^<{}^{(2)} = \int \frac{d\Omega}{2\pi} \sum_{\bm q}\Big[ &g_{0\bm k,\omega}^r v(\bm q,\Omega) g_{0\bm k+\bm q,\omega+\Omega}^r v(\bm k'-\bm k-\bm q,\omega'-\omega-\Omega) g_{0\bm k',\omega'}^<\\ +&g_{0\bm k,\omega}^r v(\bm q,\Omega) g_{0\bm k+\bm q,\omega+\Omega}^< v(\bm k'-\bm k-\bm q,\omega'-\omega-\Omega) g_{0\bm k',\omega'}^a\\ +&g_{0\bm k,\omega}^< v(\bm q,\Omega) g_{0\bm k+\bm q,\omega+\Omega}^a v(\bm k'-\bm k-\bm q,\omega'-\omega-\Omega) g_{0\bm k',\omega'}^a \Big]

3次:

g_{\bm k,\bm k',\omega,\omega'}^<{}^{(3)} =

\int \frac{d\Omega}{2\pi} \int \frac{d\Omega'}{2\pi} \sum_{\bm q,\bm q'} \Big[ &g_{0\bm k,\omega}^r v(\bm q,\Omega) g_{0\bm k+\bm q,\omega+\Omega}^r v(\bm q',\Omega') g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\omega+\Omega+\Omega'}^r v(\bm k'-\bm k-\bm q-\bm q',\omega'-\omega-\Omega-\Omega') g_{0\bm k',\omega'}^<\\ +&g_{0\bm k,\omega}^r v(\bm q,\Omega) g_{0\bm k+\bm q,\omega+\Omega}^r v(\bm q',\Omega') g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\omega+\Omega+\Omega'}^< v(\bm k'-\bm k-\bm q-\bm q',\omega'-\omega-\Omega-\Omega') g_{0\bm k',\omega'}^a\\ +&g_{0\bm k,\omega}^r v(\bm q,\Omega) g_{0\bm k+\bm q,\omega+\Omega}^< v(\bm q',\Omega') g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\omega+\Omega+\Omega'}^a v(\bm k'-\bm k-\bm q-\bm q',\omega'-\omega-\Omega-\Omega') g_{0\bm k',\omega'}^a\\ +&g_{0\bm k,\omega}^< v(\bm q,\Omega) g_{0\bm k+\bm q,\omega+\Omega}^a v(\bm q',\Omega') g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\omega+\Omega+\Omega'}^a v(\bm k'-\bm k-\bm q-\bm q',\omega'-\omega-\Omega-\Omega') g_{0\bm k',\omega'}^a \Big]

これらの展開式は g^r でいうところの (8.118) の各項に相当するもので、 [\ \ ] 内部から v を除き、 g のみの式とした成分を略して、 v の1次であれば [gg]^< 、 2次であれば [ggg]^< 、3次であれば [gggg]^< のように 教科書では表されている。

これが (9.5), (9.28) などの表記である。

目的の項はどれか?

3次の項は、

gvgvgvg=g(v_i+v_\phi)g(v_i+v_\phi)g(v_i+v_\phi)g

の形になる。

3回出てくる v=v_i+v_\phi を展開する際、 v_i v_\phi のどちらを取るかで様々な項が出るが、 複数の v_i を含む場合、それらの \bm q は互いに打ち消し合うように 取らないと不純物平均によりゼロになる。

そのように考えると、 v_\phi v_i が両方出てくる項は3次が最低次になる。 すなわち、2つの v_i が打ち消し合い、さらに v_\phi を1つ含む形である。

(v_i+v_\phi)(v_i+v_\phi)(v_i+v_\phi) から v_i を2つ、 v_\phi を1つ取るような積を作ると、

  1. v_i\cdot v_i\cdot v_\phi
  2. v_i\cdot v_\phi\cdot v_i
  3. v_\phi\cdot v_i\cdot v_i

の3つが考えられる。

このうち1番目と3番目は上の (9.5) 式の g を g0 で展開した形に似ている で見たように (9.26) に含まれている。 実際、(9.26) には v_\phi をまたがずに完結する v_i の寄与は全て取り入れられている。(図の「耳」に相当する)

すなわち取り入れ忘れているのは2番目の形で、 v_\phi をまたぐような v_i の項である。 \rho_\phi^{(1)} はその最も単純な項である。

rho(1).png

g_{\bm k,\bm k',\omega,\omega'}^<{}^{(v_i\cdot v_\phi\cdot v_i)} =

\int \frac{d\Omega}{2\pi} \int \frac{d\Omega'}{2\pi} \sum_{\bm q,\bm q'} \Big[ &g_{0\bm k,\omega}^r v_i(\bm q) g_{0\bm k+\bm q,\omega}^r v_\phi(\bm q',\omega'-\omega) g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\omega'}^r v_i(\bm k'-\bm k-\bm q-\bm q') g_{0\bm k',\omega'}^<\\ +&g_{0\bm k,\omega}^r v_i(\bm q) g_{0\bm k+\bm q,\omega}^r v_\phi(\bm q',\omega'-\omega) g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\omega'}^< v_i(\bm k'-\bm k-\bm q-\bm q') g_{0\bm k',\omega'}^a\\ +&g_{0\bm k,\omega}^r v_i(\bm q) g_{0\bm k+\bm q,\omega}^< v_\phi(\bm q',\omega'-\omega) g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\omega'}^a v_i(\bm k'-\bm k-\bm q-\bm q') g_{0\bm k',\omega'}^a\\ +&g_{0\bm k,\omega}^< v_i(\bm q) g_{0\bm k+\bm q,\omega}^a v_\phi(\bm q',\omega'-\omega) g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\omega'}^a v_i(\bm k'-\bm k-\bm q-\bm q') g_{0\bm k',\omega'}^a \Big]

である。

不純物平均を入れる

不純物平均により \bm q+(\bm k'-\bm k-\bm q-\bm q')=\bm 0 が要求されるため、

g_{\bm k,\bm k',\omega,\omega'}^<{}^{(v_i\cdot v_\phi\cdot v_i)} =

\frac{n_iv_i^2}{N} \sum_{\bm q} \Big[ &g_{0\bm k,\omega}^r g_{0\bm k+\bm q,\omega}^r v_\phi(\bm k'-\bm k,\omega'-\omega) g_{0\bm k'+\bm q,\omega'}^r g_{0\bm k',\omega'}^<\\ +&g_{0\bm k,\omega}^r g_{0\bm k+\bm q,\omega}^r v_\phi(\bm k'-\bm k,\omega'-\omega) g_{0\bm k'+\bm q,\omega'}^< g_{0\bm k',\omega'}^a\\ +&g_{0\bm k,\omega}^r g_{0\bm k+\bm q,\omega}^< v_\phi(\bm k'-\bm k,\omega'-\omega) g_{0\bm k'+\bm q,\omega'}^a g_{0\bm k',\omega'}^a\\ +&g_{0\bm k,\omega}^< g_{0\bm k+\bm q,\omega}^a v_\phi(\bm k'-\bm k,\omega'-\omega) g_{0\bm k'+\bm q,\omega'}^a g_{0\bm k',\omega'}^a \Big] =

\frac{n_iv_i^2}{N} \sum_{\bm q} \Big[ &g_{0\bm k,\omega}^r g_{0\bm k+\bm q,\omega}^r v_\phi(\bm k'-\bm k,\omega'-\omega) g_{0\bm k'+\bm q,\omega'}^r f(\omega') \big( \underline{g_{0\bm k',\omega'}^a} - g_{0\bm k',\omega'}^r \big)\\ +&g_{0\bm k,\omega}^r g_{0\bm k+\bm q,\omega}^r v_\phi(\bm k'-\bm k,\omega'-\omega) f(\omega')\big( g_{0\bm k'+\bm q,\omega'}^a - \underline{g_{0\bm k'+\bm q,\omega'}^r} \big) g_{0\bm k',\omega'}^a\\ +&g_{0\bm k,\omega}^r f(\omega) \big( \underline{g_{0\bm k+\bm q,\omega}^a} - g_{0\bm k+\bm q,\omega}^r \big) v_\phi(\bm k'-\bm k,\omega'-\omega) g_{0\bm k'+\bm q,\omega'}^a g_{0\bm k',\omega'}^a\\ +&f(\omega)\big( g_{0\bm k,\omega}^a - \underline{g_{0\bm k,\omega}^r} \big) g_{0\bm k+\bm q,\omega}^a v_\phi(\bm k'-\bm k,\omega'-\omega) g_{0\bm k'+\bm q,\omega'}^a g_{0\bm k',\omega'}^a \Big] =

下線部は打ち消し合うため、

g_{\bm k,\bm k',\omega,\omega'}^<{}^{(v_i\cdot v_\phi\cdot v_i)} =

\frac{n_iv_i^2}{\textcolor{red}{N}} \sum_{\bm q} \Big[ -&g_{0\bm k,\omega}^r g_{0\bm k+\bm q,\omega}^r v_\phi(\bm k'-\bm k,\omega'-\omega) g_{0\bm k'+\bm q,\omega'}^r f(\omega') g_{0\bm k',\omega'}^r \\ +&g_{0\bm k,\omega}^r g_{0\bm k+\bm q,\omega}^r v_\phi(\bm k'-\bm k,\omega'-\omega) f(\omega') g_{0\bm k'+\bm q,\omega'}^a g_{0\bm k',\omega'}^a\\ -&g_{0\bm k,\omega}^r f(\omega) g_{0\bm k+\bm q,\omega}^r v_\phi(\bm k'-\bm k,\omega'-\omega) g_{0\bm k'+\bm q,\omega'}^a g_{0\bm k',\omega'}^a\\ +&f(\omega) g_{0\bm k,\omega}^a g_{0\bm k+\bm q,\omega}^a v_\phi(\bm k'-\bm k,\omega'-\omega) g_{0\bm k'+\bm q,\omega'}^a g_{0\bm k',\omega'}^a \Big]

この式の変数を適当に書き換えると (9.29) の g g_0 に書き換えた式が出てくる。

g0 を g に書き換える

その g_0 g に書き換えると (9.29) になる。

g_0 g に変えるのは、 g_0 の部分が g_0 v_i の積になるような高次項を取り入れるためである。

(9.5) 式の g を g0 で展開した形に似ている で見た内容が参考になる。

すなわち、

g_0\ \underline{v_i(\bm q)}\ g_0\ \underline{v_\phi}\ g_0\ \underline{v_i(-\bm q)}\ g_0

という部分を、

g\ \underline{v_i(\bm q)}\ g\ \underline{v_\phi}\ g\ \underline{v_i(-\bm q)}\ g

と書き換えることにより、(8.118) のように

g=g_0+g_0v_ig_0+g_0v_ig_0v_ig_0+g_0v_ig_0v_ig_0v_ig_0+\dots

であることから、

g_0v_ig_0\ \underline{v_i(\bm q)}\ g_0v_ig_0v_ig_0v_ig_0\ \underline{v_\phi}\ g_0\ \underline{v_i(-\bm q)}\ g_0v_ig_0v_ig_0v_ig_0v_ig_0

のような高次項をすべて考慮に入れられる、ということである。

ただし、教科書の式では上記の 1/\textcolor{red}{N} の因子が抜けている。

ファインマン図の意味

上と下は v_\phi と相互作用する前後の、ωの異なる部分で、 その間に打ち消し合う2つの q があることを表す図になっている わけですね。

輪になっている部分を開くと、

rho(1).png

となる。

×のところが v_\phi で、そこで \omega が変化する。

その前後の v_i が互いに打ち消し合う。

思うこと

なんか・・・始めから上記の手順 ( v=v_i+v_\phi とする) でやってくれた方が分かりやすいと思うのだけれど、 どうして教科書はああいう書き方になっているのだろう???

→ (9.60) の後に解説があって、 摂動計算に於いて展開パラメータを明らかにしておく上で便利なため、 他の多くの文献でも不純物散乱の寿命を取り込んだ Green 関数を基本に考え、 必要に応じて vertex 補正を行うのだそうだ。

上のように1から展開した方が「すっきりする」とも書いてあった。

補正項を評価する

ようやく教科書を読み進められる(汗

(9.29)

\rho_\phi^{(1)}(\bm r,t)\,&= -i\textcolor{red}{\frac{e^{2}\hbar}{a^3}\frac{1}{N}} \sum_{\bm k,\bm q} \int\frac{d\omega}{2\pi} \int\frac{d\Omega}{2\pi} e^{-i\bm q\cdot\bm r} e^{i\Omega t} \phi(\bm q,\Omega) n_iv_i^2 \\ & \times \frac{1}{\textcolor{red}{N}} \textstyle \sum_{\bm k_1} \Big[ \Big( f(\omega+\frac{\Omega}{2})-f(\omega-\frac{\Omega}{2}) \Big) g_{\bm k -\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2}}^r\, g_{\bm k_1-\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2}}^r\, g_{\bm k_1+\frac{\bm q}{2},\omega+\frac{\Omega}{2}}^a\, g_{\bm k +\frac{\bm q}{2},\omega+\frac{\Omega}{2}}^a \\ & \hspace{3cm} + f(\omega+\frac{\Omega}{2}) \hspace{1.2cm} g_{\bm k -\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2}}^a\, g_{\bm k_1-\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2}}^a\, g_{\bm k_1+\frac{\bm q}{2},\omega+\frac{\Omega}{2}}^a\, g_{\bm k +\frac{\bm q}{2},\omega+\frac{\Omega}{2}}^a \\ & \hspace{3cm} - f(\omega-\frac{\Omega}{2}) \hspace{1.2cm} g_{\bm k -\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2}}^r\, g_{\bm k_1-\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2}}^r\, g_{\bm k_1+\frac{\bm q}{2},\omega+\frac{\Omega}{2}}^r\, g_{\bm k +\frac{\bm q}{2},\omega+\frac{\Omega}{2}}^r \Big]

和の部分を略記すると、

\frac{1}{\textcolor{red}{N}} \textstyle \sum_{\bm k_1} \Big[ \Big( f(\omega+\frac{\Omega}{2})-f(\omega-\frac{\Omega}{2}) \Big) & g_{\bm k -}^r\, g_{\bm k_1-}^r\, g_{\bm k_1+}^a\, g_{\bm k +}^a \\ + f(\omega+\frac{\Omega}{2}) \hspace{1.2cm} & g_{\bm k -}^a\, g_{\bm k_1-}^a\, g_{\bm k_1+}^a\, g_{\bm k +}^a \\ - f(\omega-\frac{\Omega}{2}) \hspace{1.2cm} & g_{\bm k -}^r\, g_{\bm k_1-}^r\, g_{\bm k_1+}^r\, g_{\bm k +}^r \Big]

括弧内は g^rg^rg^ag^a の項が支配的で、 g^ag^ag^ag^a g^rg^rg^rg^r の項は小さいと書かれているが、 まだ納得はいっていない。

恐らく (9.8-1) と (9.8-2) との比較と同様の話になるのだと思うけれど、後で見直す。

支配的と言われる項は、

(9.30)

&\frac{1}{\textcolor{red}{N}} \int\frac{d\omega}{2\pi} \sum_{\bm k_1} \textstyle \Big( f(\omega+\frac{\Omega}{2})-f(\omega-\frac{\Omega}{2}) \Big) g_{\bm k -}^r\, g_{\bm k_1-}^r\, g_{\bm k_1+}^a\, g_{\bm k +}^a \\ & = \frac{1}{\textcolor{red}{N}} \int\frac{d\omega}{2\pi} \sum_{\bm k_1} \textstyle \Big( f(\omega)+\frac{\Omega}{2}f'(\omega)-f(\omega)+\frac{\Omega}{2}f'(\omega)) \Big) g_{\bm k -}^r\, g_{\bm k_1-}^r\, g_{\bm k_1+}^a\, g_{\bm k +}^a \\ & = \frac{1}{\textcolor{red}{N}} \int\frac{d\omega}{2\pi} \sum_{\bm k_1} \Omega f'(\omega) \, g_{\bm k -}^r\, g_{\bm k_1-}^r\, g_{\bm k_1+}^a\, g_{\bm k +}^a \\ & = -\frac{1}{\textcolor{red}{N}} \sum_{\bm k_1} \Omega \, g_{\bm k -,0-}^r\, g_{\bm k_1-,0-}^r\, g_{\bm k_1+,0+}^a\, g_{\bm k +,0+}^a \\ & = -\Omega g_{\bm k -,0-}^r\, g_{\bm k +,0+}^a \frac{1}{\textcolor{red}{N}} \sum_{\bm k_1} g_{\bm k_1-,0-}^r\, g_{\bm k_1+,0+}^a\ \\ & = -\Omega g_{\bm k -,0-}^r\, g_{\bm k +,0+}^a I_{\bm q,\Omega}

となって、これは (9.8) に I_{\bm q,\Omega} の掛かった項となる。

したがって、

(9.32)

&\rho_\phi^{(0)}(\bm r,t)+\rho_\phi^{(1)}(\bm r,t)= - \textcolor{red}{\frac{e^{2}}{a^3}} \nu(0) \sum_{\bm q} \int\frac{d\Omega}{2\pi} e^{-i\bm q\cdot \bm r}e^{i\Omega t} \ \phi(\bm q,\Omega)\Big(1-i\Omega\tau(1+n_iv_i^2I_{\bm q,\Omega})\Big)

Iq,Ω を評価する

すでに (9.8-1) で見たように I_{\bm q,\Omega} のゼロ次成分は、

n_iv_i^2I_{\bm 0,0}=n_iv_i^2\cdot2\pi\nu(0)\frac{\tau}{\hbar}=n_iv_i^2\cdot2\pi\nu(0)\left(2\pi n_iv_i^2\nu(0)\right)^{-1}=1

と評価され、ポテンシャルをまたがない項のみを評価した (9.8-1) とまったく同じ寄与を与え、なおかつ符号も同じである。

さらに高次の項(例えば図 9.4 の \rho^{(2)} など)からの寄与も、 すべて同じ寄与を持つため、全体の和が発散してしまう。

取りこぼされている項について

図 9.4 の \rho^{(2)} v_i(q_1)\cdot v_i(q_2)\cdot v_\phi(q,\Omega)\cdot v_i(-q_2)\cdot v_i(-q_1) という5次の項を表しており、これを開いた図で示せば

rho(2).png

のように、入れ子の山の中央に×が来る形になっている。

同様に、 n>2 のとき図 9.4 のすべての \rho^{(n)} は、 上のような入れ子の山しか数えていない。

例えば \rho^{(2)} の前に 4次の v_i(q_1)\cdot v_\phi(q,\Omega)\cdot v_i(q_2)\cdot v_i(-q_1-q_2) なども一定の寄与を与えるはずであるし、

rho(1-5).png

それによく似た v_i(q_1)\cdot v_i(q_2)\cdot v_\phi(q,\Omega)\cdot v_i(-q_1-q_2) 等も出てくる。

より高次の項には他にも様々な形が考えられるが、それらはすべて無視されている。

これらを無視できる理由を考えるには 8-10 でやったような項同士の比較が必要になるはず。

8-10 の流儀で行けば、

  • 複雑な連山は最単純山より寄与が小さい

の一言で片付けられてしまうのだけれど、 果たしてそれでよいのかどうか・・・

8-10 で見たのとまったく同様に、 高次には比較的「小さい」項であっても非常に「多くの」項が出るので、 かなり気になる。

高次の項が同じ寄与を与えることの確認

\rho^{(n)} を与える項は、 n 個の山が入れ子になって、 中央に×を含む項なので、

&\left(\frac{n_iv_i^2}{N}\right)^n \int\frac{d\omega}{2\pi} \sum_{\bm k_1,\bm k_2,\dots,\bm k_n} {\textstyle \Big( f(\omega+\frac{\Omega}{2})-f(\omega-\frac{\Omega}{2}) \Big) } g_{\bm k -}^r\, g_{\bm k_1-}^r\, g_{\bm k_2-}^r\,\dots g_{\bm k_n-}^r\, g_{\bm k_n+}^a\,\dots g_{\bm k_2+}^a\, g_{\bm k_1+}^a\, g_{\bm k +}^a\\ &=\left(\frac{n_iv_i^2}{N}\right)^n \int\frac{d\omega}{2\pi} {\textstyle \Big( f(\omega+\frac{\Omega}{2})-f(\omega-\frac{\Omega}{2}) \Big) } g_{\bm k -}^r\,g_{\bm k +}^a \sum_{\bm k_1} g_{\bm k_1-}^r\,g_{\bm k_1+}^a \sum_{\bm k_2} g_{\bm k_2-}^r\,g_{\bm k_2+}^a \dots \sum_{\bm k_n} g_{\bm k_n-}^r\,g_{\bm k_n+}^a \\ &=\int\frac{d\omega}{2\pi} {\textstyle \Big( f(\omega+\frac{\Omega}{2})-f(\omega-\frac{\Omega}{2}) \Big) } g_{\bm k -}^r\,g_{\bm k +}^a \left[\frac{n_iv_i^2}{N}\sum_{\bm k'} g_{\bm k'-}^r\,g_{\bm k'+}^a\right]^n\\ &=\int\frac{d\omega}{2\pi} {\textstyle \Big( f(\omega+\frac{\Omega}{2})-f(\omega-\frac{\Omega}{2}) \Big) } g_{\bm k -}^r\,g_{\bm k +}^a \Big[n_iv_i^2 I_{\bm q,\Omega}\Big]^n

したがって、すべての項を足し合わせれば、

\sum_{n=1}^\infty \rho^{(n)} \propto \sum_{n=1}^\infty \Big[n_iv_i^2 I_{\bm q,\Omega}\Big]^n = \Big[n_iv_i^2 I_{\bm q,\Omega}\Big] \sum_{n=0}^\infty \Big[n_iv_i^2 I_{\bm q,\Omega}\Big]^n

となって、

  • n_iv_i^2 I_{\bm q,\Omega}=1 ならば \sum^\infty 1 となり発散するが、
  • n_iv_i^2 I_{\bm q,\Omega}<1 ならば以下の値に収束する。

\sum_{n=1}^\infty \rho^{(n)} \propto \frac{n_iv_i^2 I_{\bm q,\Omega}}{1-n_iv_i^2 I_{\bm q,\Omega}}

\bm q=\bm 0 \Omega=0 の時に問題が起きないのは この和に \Omega=0 が掛かっており、 結果的に積が有限に収まるためと考えられる。

→ 空間的・時間的に一様な成分は \phi から除いておくべきと言うこともあるのかも

q, Ω の低次の項を組み込むことで発散が押さえられる

\bm q,\Omega の低次の項を取り入れると発散しないらしい。

つまり、上記の値の実部が必ず1より小さくなるのだと思う。

Iq,Ω への q, Ω の寄与を「小さい」と見なせる条件

以下では I_{\bm q,\Omega} への \bm q,\Omega の寄与が小さいと仮定して、(9.33)〜(9.37) のように級数展開する。

実はこの内容は (9.8) のところで既にやった。
というか、まるっきり天下りで与えられていた結果の説明がこんなところに出てきたか、という感じ。

\varepsilon_{\bm k+\frac{\bm q}{2}}=\varepsilon_{\bm k}+\left[2\cdot\frac{\hbar^2}{2m}\bm k\cdot\frac{\bm q}{2}+ \frac{\hbar^2}{2m}\left(\frac{q}{2}\right)^2\right]\equiv \varepsilon_{\bm k}+\Delta\varepsilon_{\frac{\bm q}{2}}

を使うと、

(9.33)

g_{\bm k+\frac{\bm q}{2},\omega+\frac{\Omega}{2}}^r =g_+^r &=\frac{1}{\hbar(\omega+\Omega/2)-\varepsilon_{\bm k+\frac{\bm q}{2}}+i\delta_\varepsilon}\\ &=\frac{1}{\hbar\omega+\hbar\Omega/2-\varepsilon_{\bm k}-\Delta\varepsilon_{\frac{\bm q}{2}}+i\delta_\varepsilon}\\ &=\frac{1}{1/g_+^r-\Delta\varepsilon_{\frac{\bm q}{2}}+\hbar\Omega/2}\\ &=g_+^r\frac{1}{1+g_+^r(-\Delta\varepsilon_{\frac{\bm q}{2}}+\hbar\Omega/2)}\\

  • [Math Conversion Error]

    は Fermi エネルギーに鋭いピークを持ち、 その時の値は \tau/\hbar 程度となる
  • 輸送現象にはこのピークを与える k=k_F の電子が重要である

→ これらは 8-10 でみたのと同じ条件

したがって、 |g_{\bm k}^r|=\frac{\tau}{\hbar} と置けば、

&g_{\bm k+\frac{\bm q}{2},\omega+\frac{\Omega}{2}}^r =g^r\frac{1}{1+g^r(-\Delta\varepsilon_{\frac{\bm q}{2}}+\hbar\Omega/2)} \\ &= \frac{\tau}{\hbar}\frac{1}{1+\frac{\tau}{\hbar}(-\Delta\varepsilon_{\frac{\bm q}{2}}+\hbar\Omega/2)}

したがって、

&\frac{\tau}{\hbar}\Delta\varepsilon_{\frac{\bm q}{2}} \ll 1

(9.34-2)

\tau\Omega/2 \ll 1

が、 \bm q,\Omega による級数展開が許される条件となる。

前者は \bm k\cdot\bm q の積が最も大きくなる \bm k\parallel\bm q の時に k=k_F を与えれば、

(9.34-1)

&\frac{\tau}{\hbar}\frac{\hbar^2}{2m}\left(\bm k\cdot\bm q+\left(\frac{q}{2}\right)^2\right)\\ &=\tau\frac{\hbar\bm k}{m} \cdot\frac{\bm q}{2}\\ &<\tau\frac{\hbar k}{m} \cdot\frac{q}{2}\\ &\sim\tau\frac{\hbar k_F}{m} \cdot\frac{q}{2}\\ &=\tau v_F \cdot\frac{q}{2}\\ &=\ell \cdot\frac{q}{2} \ll 1

が条件となる。

ただし、 v_F はフェルミ速度、 \ell は平均自由行程である。

q の2次、Ωの1次までを取り込んで評価する

9-1A で私が自分で \Delta_{\bm q,\Omega} を評価した際には、どちらも1次で打ち切ってしまったが、 どうやら q については2次まで必要になるらしい?

(9.33) を \frac{1}{1+x} に見立てて展開すると、

(9.36)

g_{\bm k-\frac{q}{2},0-\frac{\Omega}{2}}^r= g_{\bm k,0}^r +g_{\bm k,0}^r{}^2 \Bigg[\frac{\hbar^2}{m}\Big(-\bm k\cdot\frac{\bm q}{2}+\left(\frac{q}{2}\right)^2\Big)+\frac{\textcolor{red}{\hbar}\Omega}{2}\Bigg] +g_{\bm k,0}^r{}^3\Bigg[\frac{\hbar^2}{m}\bm k\cdot\frac{\bm q}{2}\Bigg]^2 +\cdots

g_{\bm k+\frac{q}{2},0+\frac{\Omega}{2}}^a= g_{\bm k,0}^a +g_{\bm k,0}^a{}^2 \Bigg[\frac{\hbar^2}{m}\Big(+\bm k\cdot\frac{\bm q}{2}+\left(\frac{q}{2}\right)^2\Big)-\frac{\textcolor{red}{\hbar}\Omega}{2}\Bigg] +g_{\bm k,0}^a{}^3\Bigg[\frac{\hbar^2}{m}\bm k\cdot\frac{\bm q}{2}\Bigg]^2 +\cdots

を得る。

これらを代入すると、

I_{\bm q,\Omega} = \frac{1}{N}\sum_{\bm k} & \Bigg\{ g_{\bm k}^r g_{\bm k}^a + (g_{\bm k}^r{}^2 g_{\bm k}^a\textcolor{red}{+}g_{\bm k}^r g_{\bm k}^a) \frac{\hbar^2}{m}\left(\frac{q}{2}\right)^2 - (g_{\bm k}^r{}^2 g_{\bm k}^a-g_{\bm k}^r g_{\bm k}^a) \frac{\textcolor{red}{\hbar}\Omega}{2}\\ & + (g_{\bm k}^r{}^3 g_{\bm k}^a - g_{\bm k}^r{}^2 g_{\bm k}^a{}^2 + g_{\bm k}^r g_{\bm k}^a{}^3) \Bigg[\frac{\hbar^2}{m}\bm k\cdot\frac{\bm q}{2}\Bigg]^2 +\cdots \Bigg\}

教科書では g_{\bm k}^r{}^*=g_{\bm k}^a を使って g_{\bm k}^rg_{\bm k}^a=\|g_{\bm k}^r\|^2 と書いている。

教科書では q^2 の項の符号が間違っていると思うのだけれど・・・

q2 の項をまとめる

(9.16) と同様に評価してみる。

& \sum_{\bm k}\left(\frac{\hbar^2}{m} \bm k\cdot\frac{\bm q}{2}\right)^2 \big[ \big( g_{\bm k}^r{}^3 g_{\bm k}^a + g_{\bm k}^r g_{\bm k}^a{}^3 \big) + g_{\bm k}^r{}^2 g_{\bm k}^a{}^2 \big] \\ &= \left(\frac{\hbar^2}{m}\right)^2 \sum_{i=x,y,z} \sum_{j=x,y,z} q_iq_j \sum_{\bm k} k_ik_j \big( g_{\bm k}^r{}^3 g_{\bm k}^a + \frac{1}{2}g_{\bm k}^r{}^2 g_{\bm k}^a{}^2 + \frac{1}{2}g_{\bm k}^r{}^2 g_{\bm k}^a{}^2 + g_{\bm k}^r g_{\bm k}^a{}^3 \big)

\\ &= \frac{\hbar^2}{m} \sum_{i=x,y,z} \sum_{j=x,y,z} q_iq_j \sum_{\bm k} k_j \big( g_{\bm k}^r \frac{\PD g_{\bm k}^r}{\PD k_i} g_{\bm k}^a + \frac{1}{2}g_{\bm k}^r{}^2 \frac{\PD g_{\bm k}^a}{\PD k_i} + \frac{1}{2}\frac{\PD g_{\bm k}^r}{\PD k_i} g_{\bm k}^a{}^2 + + g_{\bm k}^r g_{\bm k}^a \frac{\PD g_{\bm k}^a}{\PD k_i} \big) \\ &= \frac{\hbar^2}{m} \sum_{i=x,y,z} \sum_{j=x,y,z} q_iq_j \sum_{\bm k} k_j \frac{\PD}{\PD k_i} \Big( \frac{1}{2}g_{\bm k}^r{}^2 g_{\bm k}^a+\frac{1}{2}g_{\bm k}^r g_{\bm k}^a{}^2 \Big)

\\ &= - \frac{\hbar^2}{m} \sum_{i=x,y,z} \sum_{j=x,y,z} q_iq_j \delta_{ij} \sum_{\bm k} \frac{1}{2}\big(g_{\bm k}^r{}^2 g_{\bm k}^a+g_{\bm k}^r g_{\bm k}^a{}^2\big) \\ &= - \frac{\hbar^2q^2}{2m} \sum_{\bm k} \big(g_{\bm k}^r{}^2 g_{\bm k}^a+g_{\bm k}^r g_{\bm k}^a{}^2\big)

したがって、教科書では間違っていた q^2 の項と打ち消し合って、

& (g_{\bm k}^r{}^2 g_{\bm k}^a\textcolor{red}{+}g_{\bm k}^r g_{\bm k}^a) \frac{\hbar^2}{m}\left(\frac{q}{2}\right)^2 + (g_{\bm k}^r{}^3 g_{\bm k}^a - g_{\bm k}^r{}^2 g_{\bm k}^a{}^2 + g_{\bm k}^r g_{\bm k}^a{}^3) \Bigg[\frac{\hbar^2}{m}\bm k\cdot\frac{\bm q}{2}\Bigg]^2 \\ &= - 2 g_{\bm k}^r{}^2 g_{\bm k}^a{}^2 \Bigg[\frac{\hbar^2}{m}\bm k\cdot\frac{\bm q}{2}\Bigg]^2 \\ &= - \frac{\hbar^4}{\textcolor{red}{2}m^2}(\bm k\cdot \bm q)^2 g_{\bm k}^r{}^2 g_{\bm k}^a{}^2

となる。

したがって、

(9.39)

I_{\bm q,\Omega}=\frac{1}{N} \sum_{\bm k} \left[ g_{\bm k}^r g_{\bm k}^a +\frac{\textcolor{red}{\hbar}\Omega}{2}\big(g_{\bm k}^r{}^2 g_{\bm k}^a - g_{\bm k}^r g_{\bm k}^a{}^2 \big) -\frac{\hbar^4}{\textcolor{red}{2}m^2}(\bm k\cdot\bm q)^2 g_{\bm k}^r{}^2 g_{\bm k}^a{}^2 \right]

先に見たとおり第一項は1になる。

q^2 の項は、この式は教科書のように 自乗×絶対値 の形に書けば、 詳しい計算をせずとも負になることが分かる。

\Omega の項は虚数になるため、全体として実部は1より小さくなる。

(9.40) の評価

第1式は通常通りで、

&\frac{1}{N}\sum_{\bm k}g_{\bm k}^\alpha{}^2g_{\bm k}^{\alpha'} \\&= \pi i \frac{\PD}{\PD \varepsilon} \left\{ \frac{\nu(\varepsilon)}{-\varepsilon\mp i\delta_\varepsilon} \right\}\bigg|_{\varepsilon=\pm i\delta_\varepsilon} - \pi i \left\{ \frac{\nu(\varepsilon)}{(-\varepsilon\pm i\delta_\varepsilon)^2} \right\}\bigg|_{\varepsilon=\mp i\delta_\varepsilon} \\&= \pi i \left\{ \frac{\nu'(\varepsilon)}{-\varepsilon\mp i\delta_\varepsilon} + \frac{\nu(\varepsilon)}{(-\varepsilon\mp i\delta_\varepsilon)^2} \right\}\bigg|_{\varepsilon=\pm i\delta_\varepsilon} - \pi i \left\{ \frac{\nu(\varepsilon)}{(-\varepsilon\pm i\delta_\varepsilon)^2} \right\}\bigg|_{\varepsilon=\mp i\delta_\varepsilon} \\&= \pi i \left\{ \frac{\nu'(\pm i\delta_\varepsilon)}{\mp 2i\delta_\varepsilon} + \frac{\nu(\pm i\delta_\varepsilon)}{(\mp 2i\delta_\varepsilon)^2} \right\} - \pi i \left\{ \frac{\nu(\mp i\delta_\varepsilon)}{(\pm 2i\delta_\varepsilon)^2} \right\} \\&= \pi i \left\{ -\frac{\nu'(0)}{2i\delta_\varepsilon} \mp \frac{\nu(0)}{(2\delta_\varepsilon)^2} \right\} - \pi i \left\{ \pm \frac{\nu(0)}{(2\delta_\varepsilon)^2} \right\} \\&= - \frac{\pi \nu'(0)}{2 \delta_\varepsilon} \mp \frac{\pi i\nu(0)}{2\delta_\varepsilon^2}

(複号は上が g^r{}^2g^a 下が g^a{}^2g^r ) なので、

(9.40-1)

&\frac{1}{N}\sum_{\bm k} \big( g_{\bm k}^r{}^2g_{\bm k}^a - g_{\bm k}^rg_{\bm k}^a {}^2 \big) = - \frac{\pi i\nu(0)}{\delta_\varepsilon^2} = - \pi i\nu(0) \Big(\frac{2\tau}{\hbar}\Big)^2

第2式は k が入っているのでちょっと大変。

&- \frac{\textcolor{red}{2}}{N}\sum_{\bm k}\left(\frac{\hbar^2}{m} \bm k\cdot\frac{\bm q}{2}\right)^2 g_{\bm k}^r{}^2 g_{\bm k}^a{}^2 \\ &= - \textcolor{red}{2}\left(\frac{\hbar^2}{2m}\right)^2 \sum_{i=x,y,z} \sum_{j=x,y,z} q_iq_j \frac{1}{N}\sum_{\bm k} k_ik_j g_{\bm k}^r{}^2 g_{\bm k}^a{}^2 \\ &= - \textcolor{red}{2}\left(\frac{\hbar^2}{2m}\right)^2 \sum_{i=x,y,z} \sum_{j=x,y,z} q_iq_j\ \frac{a^3}{(2\pi)^3}\iiint dk\,kd\theta\,k\sin\theta d\varphi\, \delta_{ij} (k\cos\theta)^2 \left[\frac{\PD \varepsilon}{\PD k}\nu(\varepsilon_{\bm k})\right] g_{\bm k}^r{}^2 g_{\bm k}^a{}^2

\\ &= - \textcolor{red}{2}\left(\frac{\hbar^2}{2m}\right)^2 \sum_{i=x,y,z} \sum_{j=x,y,z} q_iq_j \delta_{ij}\ \frac{a^3}{(2\pi)^3} \int 2\pi k^2 dk\, k^2 \Big[-\frac{1}{3}(\cos\theta)^3\Big]_0^\pi \frac{\PD \varepsilon}{\PD k}\nu(\varepsilon_{\bm k}) g_{\bm k}^r{}^2 g_{\bm k}^a{}^2 \\ &= - \frac{\textcolor{red}{2}}{3}\left(\frac{\hbar^2}{2m}\right) \sum_{i=x,y,z} \sum_{j=x,y,z} q_iq_j \delta_{ij}\ \frac{a^3}{(2\pi)^3} \int 4\pi k^2 dk\, \varepsilon_{\bm k}\frac{\PD \varepsilon}{\PD k}\nu(\varepsilon_{\bm k}) g_{\bm k}^r{}^2 g_{\bm k}^a{}^2

\\ &= - \frac{\textcolor{red}{2}}{3} \left(\frac{\hbar^2q^2}{2m}\right) \int d\varepsilon\, (\varepsilon+\varepsilon_F) \, \nu(\varepsilon) g_{\bm k}^r{}^2 g_{\bm k}^a{}^2 \\ &= - \frac{\textcolor{red}{2}}{3} \left(\frac{\hbar^2q^2}{2m}\right) \left[ \pi i \frac{\PD}{\PD z} \left\{ \frac{z \nu(z-\varepsilon_F)} {(-z+\varepsilon_F-i\delta_z)^2} \right\} \bigg|_{z=i\delta_z+\varepsilon_F} + \pi i \frac{\PD}{\PD z} \left\{ \frac{z \nu(z-\varepsilon_F)} {(-z+\varepsilon_F+i\delta_z)^2} \right\} \bigg|_{z=-i\delta_z+\varepsilon_F} \right]

\varepsilon=\frac{\hbar k^2}{2m}-\varepsilon_F より、 \frac{\hbar k^2}{2m}=\varepsilon+\varepsilon_F を用いた。

ここで、

&\pi i \frac{\PD}{\PD z} \left\{ \frac{z \nu(z-\varepsilon_F)} {(-z+\varepsilon_F \mp i\delta_\varepsilon )^2} \right\} \bigg|_{z=\pm i\delta_\varepsilon +\varepsilon_F} \\&= \pi i \left\{ \frac{\nu(z-\varepsilon_F)} {(-z+\varepsilon_F \mp i\delta_\varepsilon )^2} + \frac{z \nu'(z-\varepsilon_F)} {(-z+\varepsilon_F\mp i\delta_\varepsilon )^2} + \frac{2 z \nu(z-\varepsilon_F)} {(-z+\varepsilon_F\mp i\delta_\varepsilon )^3} \right\} \bigg|_{z=\pm i\delta_\varepsilon +\varepsilon_F} \\&= \pi i \left\{ \frac{\nu(\pm i\delta_\varepsilon )} {(\mp 2i\delta_\varepsilon )^2} + \frac{(\varepsilon_F \pm i\delta_\varepsilon ) \nu'(\pm i\delta_\varepsilon )} {(\mp 2i\delta_\varepsilon )^2} + \frac{2(\varepsilon_F\pm i\delta_\varepsilon ) \nu(\pm i\delta_\varepsilon )} {(\mp 2i\delta_\varepsilon )^3} \right\} \\&= \frac{\pi i}{4\delta_\varepsilon^2} \left\{ \mp\nu(0) \mp\varepsilon_F \nu'(0) -i\delta_\varepsilon \nu'(0) +\frac{\varepsilon_F \nu(0)} {i\delta_\varepsilon } \pm\nu(0) \right\} \\&= \frac{\pi }{4\delta_\varepsilon^2} \left\{ \mp i\varepsilon_F \nu'(0) +\frac{\delta_\varepsilon \nu(0)}{2\varepsilon_F} +\frac{\varepsilon_F \nu(0)} {\delta_\varepsilon } \right\}

したがって、

(9.40-2)

&- n_iv_i^2\frac{\textcolor{red}{2}}{N}\sum_{\bm k}\left(\frac{\hbar^2}{m} \bm k\cdot\frac{\bm q}{2}\right)^2 g_{\bm k}^r{}^2 g_{\bm k}^a{}^2 \\&= -n_iv_i^2\frac{\textcolor{red}{2}}{3}\left(\frac{\hbar^2q^2}{2m}\right)\frac{\pi }{2\delta_\varepsilon^2} \left\{ +\frac{\delta_\varepsilon \nu(0)}{2\varepsilon_F} -\frac{\varepsilon_F \nu(0)} {\delta_\varepsilon } \right\} \\&= -\frac{1}{3}n_iv_i^2\pi \nu(0)\left(\frac{\hbar^2q^2}{2m}\right)\frac{\varepsilon_F}{\delta_\varepsilon^3} \left\{ \frac{\delta_\varepsilon^2}{2\varepsilon_F^2} +1 \right\} \\&\sim -\frac{1}{3}\left(\frac{\hbar^2q^2}{2m}\right)\varepsilon_F\left(\frac{2\tau}{\hbar}\right)^2\\

教科書に出てくる

Dq^2\tau

という項は、

(9.42)

D\equiv\frac{\hbar^2k_F^2}{3m^2}\tau

を入れると、

Dq^2\tau=\frac{\hbar^2k_F^2}{3m^2}q^2\tau^2=\frac{1}{3}\frac{\hbar^2k_F^2}{2m}\frac{\hbar^2q^2}{2m}\frac{4\tau^2}{\hbar^2} =n_iv_i^2 \frac{\pi\nu(0)}{3}\varepsilon_F\frac{\hbar^2q^2}{2m}\Big(\frac{2\tau}{\hbar}\Big)^3

となって、上記の値と一致する。

教科書は (9.39) と (9.40-2) とで \textcolor{red}{2} 倍の因子を2回間違って、結果的には合っているみたい。

(9.41)

n_iv_i^2I_{\bm q,\Omega}=1-(Dq^2\tau+i\Omega\tau)+\dots

I_{\bm q,\Omega}=\frac{1}{n_iv_i^2}\Big[1-(Dq^2\tau+i\Omega\tau)+\dots\Big] =\frac{2\tau\pi\nu(0)}{\hbar}\Big[1-(Dq^2\tau+i\Omega\tau)+\dots\Big]

(9.43) は (9.30) と見比べると I_{\bm q,\Omega} が2乗で掛かっていたのを見落としている気がするんだけれど、 どうなんだろう?

(9.44) も、

  1. \rho_\phi^{(0)} では I_{\bm q,\Omega}\sim I_{\bm 0,0} を仮定しておいて高次項ではより正確に組み込んでいる不整合
  2. たぶん、0 次と 1 次との間に余計な項が出現している

という点でおかしい。(結果的には微少量しか異ならないけど)

以下でちゃんとやってみたい。

ρ(0) を見直す

すべての項を足し合わせる前に \rho^{(0)} について反省すると、

(9.7)

&\rho_\phi^{(0)}(\bm r,t)= -i\frac{\textcolor{red}{e^2\hbar}}{a^3} \int \frac{d\Omega}{2\pi} \sum_{\bm q} e^{-i\bm q\cdot \bm r} e^{i\Omega t}\ \phi(\bm q,\Omega) \times \\ &\hspace{1cm}\frac{1}{N} \sum_{\bm k}\int \frac{d\omega}{2\pi} \Big[\Omega f'(\omega) \Big( g^r_-g^a_+ - {\textstyle\frac{1}{2}} (g^r_-g^r_+ + g^a_-g^a_+)\Big) +f(\omega)(g^a_-g^a_+ - g^r_-g^r_+) \Big]

(9.8-1)

\Omega \int \frac{d\omega}{2\pi} f'(\omega) \frac{1}{N}\sum_{\bm k} g^r_-g^a_+ = \frac{\Omega}{2\pi}I_{\bm q,\Omega} = -\frac{i\nu(0)}{\hbar} i\Omega\tau \cdot n_iv_i^2I_{\bm q,\Omega}

(9.8-2)

\Omega \int \frac{d\omega}{2\pi} f'(\omega) \frac{1}{N}\sum_{\bm k} \frac{1}{2}\left(g^r_-g^r_++g^a_-g^a_+\right) \sim \frac{\Omega}{2\pi}I_{\bm q,\Omega} \left(\frac{\hbar}{2\tau\varepsilon_F}\right)

(9.23), (9.24)

&\frac{1}{N} \sum_{\bm k}\int \frac{d\omega}{2\pi} f(\omega)\Big( g^a_-g^a_+ -g^r_-g^r_+\Big) = -\frac{i\nu(0)}{\hbar} \left[1 - \frac{1}{6} \Big(\frac{q}{k_F}\Big)^2 + O(\Omega q^2) + \frac{1}{48}\left( \frac{\hbar \Omega}{\varepsilon_F} \right)^2 \right] \sim -\frac{i\nu(0)}{\hbar}

したがって、

(9.26) に I_{\bm q,\Omega} の評価を組み入れれば、

&\rho_\phi^{(0)}(\bm r,t)= -\frac{\textcolor{red}{e^2}}{a^3} \nu(0) \int \frac{d\Omega}{2\pi} \sum_{\bm q} e^{-i\bm q\cdot \bm r} e^{i\Omega t}\ \phi(\bm q,\Omega) \times \left[ 1- \frac{1}{6} \Big(\frac{q}{k_F}\Big)^2 -i\Omega\tau\cdot n_iv_i^2I_{\bm q,\Omega} \right]