スピントロニクス理論の基礎/X-2

(2535d) 更新

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X-2 コーシーの主値

関数 f(x) x=m で発散するとして、

\int_a^m f(x)dx = \pm \infty

かつ

\int_m^b f(x)dx = \mp \infty

ではあるけれど、

\lim_{\delta\rightarrow 0}\left[ \int_a^{m-\delta} f(x)dx + \int_{m+\delta}^b f(x)dx \right] = \mathcal P \int_a^b f(x)dx

が定義できるとき、これをコーシーの主値、と呼びます。

発散する点 m=\pm\infty のときは、

\lim_{\alpha\rightarrow \infty}\left[ \int_{-\alpha}^0 f(x)dx + \int_0^\alpha f(x)dx \right] = \mathcal P \int_{-\infty}^\infty f(x)dx

とします。

コーシーの主値が定義される場合でも、 それぞれの方向に近づける速度が異なると異なる値に収束する場合があることに注意が必要。


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