研究関連/二重界面反射率

(64d) 更新

公開メモ

2つの界面が連続する場合の反射率

1つの界面における反射率の話はこちら → 研究関連/反射率・透過率とエバネッセント波

2つの平面的な界面で仕切られた領域を入射側から1,2,3と番号付ける。

入射面を x-z 面として、界面に平行に x 軸を、垂直に z 軸を取る。

12境界を z=0 、23境界を z=d とする。

ij 境界面での反射率を r_{ij}^s,r_{ij}^p 、透過率を t_{ij}^s,t_{ij}^p とすると、全体の反射率を次のように求められる。

領域 i での進行波を E_i 、逆行波を R_i 、 それぞれの波数を \bm k_i,\bm k_i' とすると、

z=0 において、

  E_1=1

  R_1=r_{12}E_1+t_{21}R_2

  E_2=t_{12}E_1+r_{21}R_2

  R_2=r_{23}E_2 e^{i k_{2z} d} e^{-i k_{2z}' d}=r_{23}E_2 e^{2i k_{2z} d}

これらを解こう。

  E_2=t_{12}+r_{21}r_{23}E_2 e^{2i k_{2z} d}

  E_2=\frac{t_{12}}{1-r_{21}r_{23} e^{2i k_{2z} d}}

  R_2=\frac{t_{12}r_{23}e^{2i k_{2z} d}}{1-r_{21}r_{23} e^{2i k_{2z} d}}

  R_1=r_{12}+\frac{t_{21}t_{12}r_{23}e^{2i k_{2z} d}}{1-r_{21}r_{23} e^{2i k_{2z} d}}

r_{ij}=-r_{ji} t_{ij}t_{ji}+r_{ij}^2=1 を使って、

  r_{123}&=R_1\\ &=\frac{r_{12}-r_{12}r_{21}r_{23} e^{2i k_{2z} d}+t_{21}t_{12}r_{23}e^{2i k_{2z} d}}{1-r_{21}r_{23} e^{2i k_{2z} d}}\\ &=\frac{r_{12}+r_{21}^2r_{23} e^{2i k_{2z} d}+t_{21}t_{12}r_{23}e^{2i k_{2z} d}}{1-r_{21}r_{23} e^{2i k_{2z} d}}\\ &=\frac{r_{12}+r_{23} e^{2i k_{2z} d}}{1+r_{12}r_{23} e^{2i k_{2z} d}}\\

以下は界面12で全反射する Otto 配置を想定し、界面23はプラズモンを誘起しうる金属表面と考える。

界面 12 を全反射条件に選ぶとき k_{2z} は純虚数になるので、 k_{2z}=i\eta_{2z} と書けば、

  r_{123}&=\frac{r_{12}+r_{23} e^{-2\eta_{2z} d}}{1+r_{12}r_{23} e^{-2\eta_{2z} d}}\\

反射率、透過率は、

  &r_{ij}^p=\frac{k_{jz}/\varepsilon_j-k_{iz}/\varepsilon_i}{k_{jz}/\varepsilon_j+k_{iz}/\varepsilon_i}\\ &t_{ij}^p=\frac{k_j/\varepsilon_j}{k_i/\varepsilon_i}\frac{2k_{iz}/\varepsilon_i}{k_{jz}/\varepsilon_j+k_{iz}/\varepsilon_i}\\ &r_{ij}^s=\frac{k_{iz}/\mu_i-k_{jz}/\mu_j}{k_{iz}/\mu_i+k_{jz}/\mu_j}\\ &t_{ij}^s=\frac{2k_{iz}/\mu_i}{k_{iz}/\mu_i+k_{jz}/\mu_j}\\

であるが、ここでは透磁率の違いは無視できるとし、領域1は光学ガラスで屈折率が n\sim 1.5 比誘電率は \varepsilon=n^2\sim 2.25 領域2は大気あるいは真空なので誘電率はほぼ真空と変わらず \varepsilon\sim 1 、領域2は Drude モデルを使って

  \varepsilon_3=\varepsilon_b\left(1-\frac{\omega_p^2}{\omega(\omega+i\gamma)}\right)

ただし、

  \varepsilon_b\sim 15 はベースライン(background)となる高周波誘電率、

  \omega_p=\sqrt{\frac{Ne^2}{\varepsilon_b\varepsilon_0m^*}}\sim 2\,\mathrm{THz} はプラズマ周波数

  N\sim 10^{16} はキャリア密度

  \gamma\sim 0.5\,\mathrm{THz} は共振ピーク幅

\omega_p/2\pi=2, \gamma\sim 0.5,\varepsilon_b=1 としてグラフ化してみると次のようになる。

drude-amplitude.svg

drude-phase.svg

以上を代入すると、

  &r_{12}^p=\frac{k_{2z}-k_{1z}/\varepsilon_1}{k_{2z}+k_{1z}/\varepsilon_1}\\ &r_{12}^s=\frac{k_{1z}-k_{jz}}{k_{iz}+k_{jz}}\\ &r_{23}^p=\frac{k_{3z}/\varepsilon_3-k_{2z}}{k_{3z}/\varepsilon_3+k_{2z}}\\ &r_{23}^s=\frac{k_{2z}-k_{3z}}{k_{2z}+k_{3z}}\\

さて、電磁波の周期を T 、波長を \lambda 、速度を v 、光速を c 、 屈折率を n とすると、

  \omega=2\pi/T

  \lambda=vT

  k=2\pi/\lambda

  v=c/n

  n=\sqrt{\frac{\varepsilon\mu}{\varepsilon_0\mu_0}}

より、

  k^2=(2\pi)^2/(v^2T^2)=\omega^2n^2/c^2=\varepsilon\omega^2/c^2

である。このような系ではすべての領域で k_x は共通になるため、

  k_{iz}=\sqrt{k_i^2-k_x^2}=\sqrt{\varepsilon\omega^2/c^2-k_x^2}

そして、

  \eta_{iz}=\sqrt{k_x^2-\varepsilon\omega^2/c^2}

と書ける。ただし、領域 1 における入射角を \theta_1 とすると、

  k_x=k_1\sin\theta_1=\frac{n\omega}{c}\sin\theta_1

である。


添付ファイル: filedrude-phase.svg 13件 [詳細] filedrude-amplitude.svg 9件 [詳細]

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