ベクトル空間と線形写像

(706d) 更新

線形代数I

培風館「教養の線形代数(五訂版)」に沿って行っている授業の授業ノート(の一部)です。

ベクトルとは?

  • 数ベクトル(縦): \begin{bmatrix}a_1\\a_2\\\vdots\\a_n\end{bmatrix}
  • 数ベクトル(横): \begin{bmatrix}a_1&a_2&\cdots&a_n\end{bmatrix}
  • 幾何ベクトル: \overrightarrow{\rm AB}
  • そのほかにも様々なものをベクトルと見なせる

直交座標の成分表示で幾何ベクトルを数ベクトルと1対1に対応させられる。

ベクトル空間とベクトル

上記のように、

  • k\bm a (スカラー倍)
  • \bm a+\bm b (和)

が内部で定義されている集合を「ベクトル空間」と言い、
その要素を「ベクトル」と言う。

詳しい定義は線形代数学IIで学ぶことになる。

集合について

集合とは : 「要素」を含む物

集合については、ある要素を含むか、含まないか、が主な興味となる。

A,B を集合、 x を要素とすると、

  • A=\{x_1,x_2,x_3\} A x_1,x_2,x_3 の3つの要素からなる集合である
  • A=\set{x|xに対する条件} A は、「条件」を満たすような x からなる集合である
  • x \in A x A に含まれる
  • A \subseteq B x \in A なら x \in B である
    • すなわち A B に含まれる
    • あるいは A B の部分集合である
  • A = B : A \subseteq B かつ B \subseteq A
  • A \subset B A \subseteq B と同じ意味。 A \subseteq B かつ A\ne B を表すには A \subsetneq B と書く。

演算が「内部で定義されている」ということ

たとえば、 A=\left\{\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}-1\\3\end{bmatrix}\right\} という集合を考える。

これは2つのベクトルを含む「ベクトルの集合」であるが、スカラー倍や和に対して「閉じていない」。

例: \begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}+ \begin{bmatrix}-1\\3\end{bmatrix} \notin A

したがって、こういう集合はベクトル空間とは言わない。

n 次元数ベクトル空間

  • 実数の集合を \mathbb{R}
  • n 次元(縦)実数ベクトル空間を \mathbb{R}^n

と書くことにする。

以下では主に実数ベクトル空間について学ぶが、これらを

  • 複素数の集合 \mathbb C
  • n 次元複素数の集合 \mathbb C^n

に置き換えても、すべての定理が成立することに注意せよ。

1次結合(線形結合)

c_1\bm a_1+c_2 \bm a_2+ \dots+c_r \bm a_r = \sum_{k=1}^r c_k\bm a_k

の形を \bm a_1, \bm a_2, \dots, \bm a_r の「一次結合」と言う。

例1:

\bm a, \bm b の一次結合: 3\bm a+\bm b , \bm a-\bm b , -2\bm a

例2:

\bm b \bm a_1, \bm a_2, \dots, \bm a_r の一次結合で表せるか?という問題は、

\bm b=x_1\bm a_1+x_2 \bm a_2+ \dots+x_r \bm a_r = \Bigg[\bm a_1\ \bm a_2\ \dots\ \bm a_r\Bigg]\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_r\end{bmatrix}=A\bm x

を満たす \bm x は存在するか?という問題と同値である。

例3:

任意のベクトル \bm a=\begin{bmatrix}a_1\\a_2\\\vdots\\a_n\end{bmatrix}\in \mathbb R^n は、 基本ベクトル \bm e_1, \bm e_2, \dots, \bm e_n の一次結合として、

\bm a=\sum_{k=1}^ra_k\bm e_k

と表せる。これを「成分表示」と呼ぶ。

一次結合により生成される空間

この項はかなり厳密性を欠く議論になっている。
ベクトル空間の詳細や次元の概念については線形代数IIで詳しく学ぶ。

1つのベクトル

1つのベクトル \bm a の一次結合として表せるベクトルの集合

\{\bm p\,|\,\bm p=s\bm a\}

\bm p ただし、 \bm p s\bm a として表される、と読む)

は原点を通り \bm a に平行な直線となる。

例外: \bm a = \bm o だとそうならない

2つのベクトル

2つのベクトル \bm a,\bm b の一次結合なら、

\{\bm p\,|\,\bm p=s\bm a+t\bm b\}

原点を通り \bm a,\bm b に平行な平面となる。

例外: \bm a= \bm o あるいは \bm b= \bm o あるいは \bm a \parallel \bm b だとそうならない

3つのベクトル

3つのベクトル \bm a,\bm b,\bm c なら

\{\bm p\,|\,\bm p=s\bm a+t\bm b+u\bm c\}

は3次元空間を満たす。

例外: \bm a= \bm o , \bm c= c_1\bm a+c_2\bm b その他いろいろ

張る空間

上で見たような \bm a_1,\bm a_2,\dots,\bm a_n の一次結合で表せるベクトルの集合を これらのベクトルが張る空間と呼ぶ。

和やスカラー倍について閉じているので、これはベクトル空間になる。

例: \bm p_1=s\bm a+t\bm b , \bm p_2=s'\bm a+t'\bm b のとき、

\bm p_1+\bm p_2=(s+s')\bm a+(t+t')\bm b
k\bm p_1=ks\bm a+kt\bm b

なので、やはり \bm a,\bm b の一次結合で表せる。

n 本のベクトルは多くの場合 n 次元空間を張るが、例外もある。

「例外」をうまく表現するために「一次独立」の概念を導入する。

一次独立

\bm a_1, \bm a_2, \dots, \bm a_r が1次独立である」とは、 c_1\bm a_1+c_2 \bm a_2+ \dots+c_r \bm a_r = \bm o となるのが、 c_1=c_2=\dots=c_n=0 の時しかありえない、 という性質である。

  • どんなベクトルが与えられても c_1=c_2=\dots=c_n=0 なら条件を満たすこと
  • 与えられたベクトルによっては c_1=c_2=\dots=c_n=0 でなくても条件を満たすこと

に注意せよ。

例: 2\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}+(-1)\begin{bmatrix}2\\4\end{bmatrix}+4\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}=\bm o

一次従属

一次独立でないことを「一次従属である」と言う。

例: \bm a,\bm b,\bm c は一次独立か、一次従属か?

例: \bm a,\bm b,\bm c が一次従属であるとき・・・

一次独立と行列の階数

一次独立である、という条件と、

\Bigg[\bm a_1\ \bm a_2\ \dots\ \bm a_n\Bigg]\bm x=\bm o の解が \bm x=\bm o しか存在しない、という条件は書き方を変えただけで同値である。

\bm x=\bm o は常に解であるから、上記の一般解は

  • \bm x=\bm o のみ
  • \bm x=a\bm x_1+b\bm x_2+\dots のようにパラメータを含む

のどちらかであった。

したがって、 与えられたベクトルが一次従属であることと、 上記方程式の一般解が1以上の自由度(パラメータの数)を持つ、という条件も同値。

さらに、

  • rank:掃き出せた列の数
  • 解の自由度:掃き出せなかった列の数

であったことを思い出そう。すなわち、

(解の自由度) = ( A の列数)−( \rank A

であるから、

  • \bm a_1, \bm a_2, \dots, \bm a_r が一次独立
  • 方程式 A\bm x=\bm o の解の自由度がゼロ
  • A の階数が列の数 n (ベクトルの本数)と等しい (\rank A=n)

が同値な条件となる。

与えられたベクトルが一次独立かどうかを調べるには、 ベクトルを並べて作った行列の rank を求め、ベクトルの数と等しいかどうか見ればよい。

例: \begin{bmatrix}1\\2\\2\end{bmatrix},\begin{bmatrix}2\\1\\2\end{bmatrix},\begin{bmatrix}2\\2\\a\end{bmatrix} が一次独立になる条件を求めよ。

\begin{bmatrix}1&2&2\\2&1&2\\2&2&a\end{bmatrix}\sim\begin{bmatrix}1&2&2\\0&-3&-2\\0&-2&a-4\end{bmatrix}\sim\begin{bmatrix}1&2&2\\0&1&-2a+6\\0&-2&a-4\end{bmatrix}\sim\begin{bmatrix}1&2&2\\0&1&-2a+6\\0&0&-3a+8\end{bmatrix}

したがって、 a=8/3 の時に一次従属であり、そうでなければ一次独立となる。

  • ランダムにベクトルを集めれば一次独立になることがほとんどである。
  • たまたまおかしなベクトルを選んだ時のみ一次従属になる。

A が正方の時

以下の条件は同値である。

  • \bm a_1,\bm a_2, \dots,\bm a_n が一次独立
  • A\bm x=\bm o の解が \bm x=\bm o のみ
  • \rank A=n
  • A が正則
  • |A|\ne 0

一次独立かどうかを調べるには |A| を計算すればよい。

一次独立の重要な性質

● ゼロベクトルを1つでも含めば一次従属

\bm a_1,\bm a_2,\dots,\bm a_n が一次従属なら、そこにいくつかベクトルを加えた \bm a_1,\bm a_2,\dots,\bm a_n,\bm a_{n+1},\dots,\bm a_{m} も一次従属である

∵はじめの n 列のうち1列でも掃き出せなければ、 全体の rank が列数よりも小さくなるため。

(別) c_1\bm a_1+c_2\bm a_2+\dots+c_n\bm a_n=\bm o となる非ゼロの係数が存在するなら、
c_1\bm a_1+c_2\bm a_2+\dots+c_n\bm a_n+0c_{n+1}+\dots+0c_m=\bm o であり、 この係数は全てがゼロではないから、全体も一次従属となる。

\{\bm a_1,\bm a_2,\dots,\bm a_n\} が一次独立なら その部分集合も一次独立である

∵上の定理の対偶になっている

n 次元ベクトルを n 本以上集めたら必ず一次従属になる

∵対応する行列 A のランクは行数 n より大きくならないから。

● 一次独立と「張る空間」

  • n 本のベクトルが一次独立ならば、その一次結合は n 次元空間を張る
  • 一般には \rank A と等しい次元の空間を張る
    → 一次従属なら次元が n より小さくなる

線形空間(ベクトル空間)

線形代数IIで詳しく学ぶ。線形代数Iでは上で扱った程度にとどめる。

線形写像と表現行列

\bm a\in \mathbb R^n を与えると \bm a'\in \mathbb R^m を返すような関数 f:\mathbb R^n\rightarrow\mathbb R^m を考える。

すなわち \bm a'=f(\bm a)

f は様々な物が考えられるが、任意の \bm a に対して、 必ず1つだけ \bm a' が決まることが重要である。 このようなベクトルの関数を「写像」と呼ぶこともある。

例:

\bm a=\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}\in \mathbb R^2 , \bm a'=\begin{bmatrix}x'\\y'\\z'\end{bmatrix}\in \mathbb R^3 の時、例えば

\begin{bmatrix}x'\\y'\\z'\end{bmatrix}=f(\bm a)=\begin{bmatrix}2+x\sin y\\2^y\\-1\end{bmatrix}

として定義される f は、 x,y を1組決めれば x',y',z' が決まるため、 \mathbb R^2\rightarrow\mathbb R^3 の写像となる。

線形写像

ある写像 f が線形であるとは、任意の \bm a, \bm b\in \mathbb R^n および c\in \mathbb R に対して、

  • f(\bm a+\bm b)=f(\bm a)+f(\bm b)
  • f(c\bm a)=cf(\bm a)

が成り立つことを言う。

すぐ分かるように f が線形なら

  • f(\bm o)=\bm o
    \because f(\bm o)=f(0\bm o)=0f(\bm o)=\bm o
  • f(-\bm a)=-f(\bm a)

となる。

  • f がベクトルの次元を変えないとき、すなわち \mathbb R^n\rightarrow\mathbb R^n のとき、線形変換(一次変換)と呼ぶこともある

線形写像は f(x)=Ax の形に書ける

スカラー関数 f(x) が線形ならば、 f(x)=f(x\cdot 1)=xf(1)=f(1)x であるから、 f(1)=A と置くことで f(x)=Ax の形に書けることが分かる。

同様に、 f(\bm x) が線形なら、ある行列 A を用いて f(\bm x)=A\bm x と書ける。

∵ 任意のベクトルを \bm x=\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{bmatrix}=\sum_{i=1}^nx_i\bm e_i として基本ベクトルの一次結合で表せば、

f(\bm x)=f(\sum_{i=1}^nx_i\bm e_i)=\sum_{i=1}^nx_if(\bm e_i)

そこで、 \bm a_i=f(\bm e_i)\in \mathbb R^m と置けばこれは定数ベクトルである。 これを並べて A を作れば、

f(\bm x)=\sum_{i=1}^nx_i\bm a_i=\Bigg[\begin{matrix}\bm a_1&\bm a_2&\cdots&\bm a_n\end{matrix}\Bigg]\bm x=A\bm x

となる。また逆に f(\bm x)=A\bm x と書ければこれは必ず線形となる。

  • A f(\bm x)=A\bm x の表現行列と呼ぶ
  • f(\bm x)=A\bm x A の定める線形写像と呼ぶ

例:

次の条件を満たす線形写像 f(\bm x) の表現行列を求めよ。

f\left(\begin{bmatrix}3\\2\end{bmatrix}\right)=\begin{bmatrix}-1\\3\end{bmatrix} f\left(\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}\right)=\begin{bmatrix}4\\2\end{bmatrix}

(解答)

\left\{\begin{matrix}A\begin{bmatrix}3\\2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-1\\3\end{bmatrix}\\A\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}4\\2\end{bmatrix}\end{matrix}\right.

より、

A\begin{bmatrix}3&1\\2&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-1&4\\3&2\end{bmatrix}

A=\begin{bmatrix}-1&4\\3&2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}3&1\\2&1\end{bmatrix}^{-1} =\frac{1}{3\cdot 1-1\cdot 2}\begin{bmatrix}-1&4\\3&2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&-1\\-2&3\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}-9&13\\-1&3\end{bmatrix}

合成写像

f(\bm x):\mathbb R^n\rightarrow\mathbb R^m

g(\bm y):\mathbb R^m\rightarrow\mathbb R^l

のとき、その合成写像を定義できる。

h(\bm x)=g\!\circ\!f(\bm x)=g\left(f(\bm x)\right):\mathbb R^n\rightarrow\mathbb R^l

h=g\!\circ\!f などと書く)

その表現行列は、

f(\bm x)=A\bm x,g(\bm y)=B\bm y であれば、 g\!\circ\!f(\bm x)=BA\bm x より BA である。

例:

2次元ベクトル \bm x\in \mathbb R^2 をx座標方向に3倍してから 反時計回りに45度回転する線形写像を考える。

x方向に3倍する: f(\bm x)=\begin{bmatrix}3&0\\0&1\end{bmatrix}\bm x

45度回転する: g(\bm x)=\begin{bmatrix}1/\sqrt{2}&-1/\sqrt{2}\\1/\sqrt{2}&1/\sqrt{2}\end{bmatrix}\bm x

合成すると、

g\!\circ\!f(\bm x)=\begin{bmatrix}1/\sqrt{2}&-1/\sqrt{2}\\1/\sqrt{2}&1/\sqrt{2}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}3&0\\0&1\end{bmatrix}\bm x=\begin{bmatrix}3/\sqrt{2}&-1/\sqrt{2}\\3/\sqrt{2}&1/\sqrt{2}\end{bmatrix}\bm x

コメント




線形写像の例

濱口数馬? ()

逆行列を求めた後さらに逆行列表示となっています。

  • ご指摘ありがとうございます。修正いたしました。 -- 武内(管理人)?

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