線形代数I/小テスト/2006-04-27

(3418d) 更新

問1

(1)次の行列 A に対して ^t\!A を求めよ。

A=\left[\begin{array}{cccc}1&2&3&4\\5&6&7&8\\9&10&11&12\end{array}\right]

(2)次の行列 A は正則か?

A=\left[\begin{array}{cc}1&2\\3&4\end{array}\right]

問2

行列 A=\left[\begin{array}{ccc}-3&6&-1\\1&-2&2\\2&-4&5\end{array}\right] が与えられたとき次の問に答えよ。

(1) A が定める線形写像の値域について、基底と次元を求めよ。

(2) A が定める線形写像の核について、基底と次元を求めよ。

解答1

(1)

^t\!A=\left[\begin{array}{ccc}1&5&9\\2&6&10\\3&7&11\\4&8&12\end{array}\right]

(2)

\det A = 1 \times 4 - 2 \times 3 = -2 なので逆行列が存在し、正則。

解答2

(1)

まず始めに行列 A の3つの列ベクトルを、

\bm{a}=\left[\begin{array}{c}-3\\1\\2\end{array}\right] \bm{b}=\left[\begin{array}{c}6\\-2\\-4\end{array}\right] \bm{c}=\left[\begin{array}{c}-1\\2\\5\end{array}\right]

と置き、これらが線形独立かどうかを調べよう。

まず、 \bm{b}=-2\bm{a} より、 \bm{a} \bm{b} とは一次従属である。

一方、 \bm{a} \bm{c} とは

\left\{\begin{array}{l}-3x-y=0\\x+2y=0\\2x+5y=0\end{array}\right.

の解が (x,y)=(0,0) に限られることから線形独立である。

従って \bm{x}=\left[\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right] と置くと、

A\bm{x}&=x\bm{a}+y\bm{b}+z\bm{c}\\&=(x-2y)\bm{a}+z\bm{c} ・・・ ①

と書くことができる。

ここから行列 A の値域は \bm{a}=\left[\begin{array}{c}-3\\1\\2\end{array}\right] \bm{c}=\left[\begin{array}{c}-1\\2\\5\end{array}\right] を基底とする 2次元ベクトル空間であることが分かる。

(2)上記 ① より A\bm{x}=\bm{o} の解は x-2y=0 z=0 、つまり

\bm{x}=y\left[\begin{array}{c}2\\1\\0\end{array}\right]

ここから \text{Ker} A \left[\begin{array}{c}2\\1\\0\end{array}\right] を基底とする 1次元ベクトル空間であることが分かる。

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