線形代数I/小テスト/2006-05-11

(3410d) 更新

問1

以下の4つのベクトルが線形独立かどうかを調べよ

\left(\begin{array}{c}1\\2\\0\\0\end{array}\right)\ \ \ \ \ \ \left(\begin{array}{c}0\\1\\1\\0\end{array}\right)\ \ \ \ \ \ \left(\begin{array}{c}1\\3\\1\\0\end{array}\right)\ \ \ \ \ \ \left(\begin{array}{c}2\\3\\1\\5\end{array}\right)

問2

以下の3つのベクトルは線形従属である。これらのベクトルにより張られる空間の基底をひとつ求め、その次元を答えよ。

\left(\begin{array}{c}1\\3\\2\end{array}\right)\ \ \ \ \ \ \left(\begin{array}{c}1\\1\\0\end{array}\right)\ \ \ \ \ \ \left(\begin{array}{c}0\\2\\2\end{array}\right)

問3

\bm{R}^3 上でベクトル \left(\begin{array}{c}1\\0\\0\end{array}\right) \left(\begin{array}{c}1\\1\\0\end{array}\right) へ、 \left(\begin{array}{c}0\\2\\0\end{array}\right) \left(\begin{array}{c}0\\0\\4\end{array}\right) へ、 \left(\begin{array}{c}0\\0\\3\end{array}\right) \left(\begin{array}{c}9\\0\\0\end{array}\right) へ 写す線形写像を \phi とする。

この写像に対応する行列 A を求めよ。

問4

次の行列が定める線形写像の核と値域を求めよ(それぞれについて基底を示せ)

\left(\begin{array}{cc}1&-1\\2&-2\end{array}\right)

解答1

それぞれのベクトルを \bm{a}, \bm{b}, \bm{c}, \bm{d} と置くと、 明らかに \bm{c}=\bm{a}+\bm{b} であり、 \bm{a}, \bm{b}, \bm{c} が 線形従属であることが分かる。

線形従属であるベクトルの組に任意のベクトルを追加してもやはり 線形従属であるため、与えられた4つのベクトルも線形従属である。

解答1(別解)

それぞれのベクトルを \bm{a}, \bm{b}, \bm{c}, \bm{d} と置くと、

\bm{a}+\bm{b}-\bm{c}+0\cdot\bm{d}=\bm{o}

であることが分かり、 与えられたベクトルは線形独立ではないと言える。

解答2

それぞれのベクトルを \bm{a}, \bm{b}, \bm{c} と置くと、明らかに \bm{a}=\bm{b}+\bm{c} である。

\bm{a}, \bm{b}, \bm{c} の線形結合で表せる任意のベクトル \bm{x}

\bm{x} &= a\bm{a}+b\bm{b}+c\bm{c} \\ &= a(\bm{b}+\bm{c})+b\bm{b}+c\bm{c} \\ &= (a+b)\bm{b}+(a+c)\bm{c}

となり、 \bm{b}, \bm{c} のみの線形結合で表すことができる。

すなわち求める空間は \bm{b}, \bm{c} のみで張られる。

一方で b\bm{b}+c\bm{c}=0 b=c=0 を与えることは明らかであり、 \bm{b}, \bm{c} は線形独立である。

したがって \bm{b}=\left(\begin{array}{c}1\\1\\0\end{array}\right), \bm{c}=\left(\begin{array}{c}0\\2\\2\end{array}\right) は求める空間の基底となっている。また、その次元は2である。

解答3

A=\left[\begin{array}{ccc}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{array}\right]

のとき、

A\left(\begin{array}{c}1\\0\\0\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}a\\d\\g\end{array}\right)

A\left(\begin{array}{c}0\\2\\0\end{array}\right) = 2\left(\begin{array}{c}b\\e\\h\end{array}\right)

A\left(\begin{array}{c}0\\0\\3\end{array}\right) = 3\left(\begin{array}{c}c\\f\\i\end{array}\right)

となることに気づけば暗算で答えが求まる。

\left[\begin{array}{ccc}1&0&3\\1&0&0\\0&2&0\end{array}\right]

解答4

与えられた行列を A と置くと、

A\bm{x}=A\left(\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}x-y\\2x-2y\end{array}\right)=(x-y)\left(\begin{array}{c}1\\2\end{array}\right)

となることに注意しよう。

核は A\bm{x} = \bm{o} となる \bm{x} の集合である。

ここに含まれるベクトルは上式より x-y=0 を満たすため、ある t を使って \bm{x}=t\left(\begin{array}{c}1\\1\end{array}\right) と表すことができる。

これは核が \left(\begin{array}{c}1\\1\end{array}\right) で張られることを 示している。そして、ベクトル \left(\begin{array}{c}1\\1\end{array}\right) は 線形独立である。

したがって \left(\begin{array}{c}1\\1\end{array}\right) は核の基底となっている。

値域は上式より明らかに \left(\begin{array}{c}1\\2\end{array}\right) で張られる。 そして、ベクトル \left(\begin{array}{c}1\\2\end{array}\right) は一次独立である。

したがって \left(\begin{array}{c}1\\2\end{array}\right) は値域の基底となっている。

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  • 本当にありがとうございます。単位取得に近づきました!!! -- [代数学]

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