線形代数I/小テスト/2006-06-01

(3010d) 更新

線形代数I

問1

次の行列の行列式を、列基本変形による三角化を使って求めよ。

\left[ \begin{array}{ccc} 1&3&2 \\ 3&2&4 \\ 2&1&2 \end{array} \right]

解答1

行方向の基本変形を使い下三角行列にする。

\left| \begin{array}{ccc} 1&3&2 \\ 3&2&4 \\ 2&1&2 \end{array} \right|

1列目の3倍を2列目から、2倍を3列目から引く。

= \left| \begin{array}{ccc} 1&0&0 \\ 3&-7&-2 \\ 2&-5&-2 \end{array} \right|

2列目2行目の成分 -7 が嫌なので、3列目の3倍を2列目から引く。

= \left| \begin{array}{ccc} 1&0&0 \\ 3&-1&-2 \\ 2&1&-2 \end{array} \right|

2列目の2倍を3列目から引く。

= \left| \begin{array}{ccc} 1&0&0 \\ 3&-1&0 \\ 2&1&-4 \end{array} \right|

このように対角成分よりも上がすべてゼロである行列を下三角行列と呼ぶ。

三角行列の行列式は対角成分の積となるので、

= 1 \times -1 \times -4 = 4

として良い。

なぜなら、対角行列をさらに以下のように変形できることは自明であるため。

3列目を使って1列目、2列目の3行目をゼロにする。(それぞれ 1/2, 1/4 を掛けて足せば良い)

= \left| \begin{array}{ccc} 1&0&0 \\ 3&-1&0 \\ 0&0&-4 \end{array} \right|

2列目を使って1列目の2行目をゼロにする。(3を掛けて足せば良い)

= \left| \begin{array}{ccc} 1&0&0 \\ 0&-1&0 \\ 0&0&-4 \end{array} \right|

2列目の -1 を外に出す。

= (-1) \left| \begin{array}{ccc} 1&0&0 \\ 0&1&0 \\ 0&0&-4 \end{array} \right|

3列目の -4 を外に出す。

= (-1 \times -4) \left| \begin{array}{ccc} 1&0&0 \\ 0&1&0 \\ 0&0&1 \end{array} \right|

単位行列の行列式は1である。

= -1 \times -4 = 4

このようにして得られる答えが三角行列の対角成分の積と同じ値になることは自明である。

問2

次の行列の行列式を、列ベクトルを標準基底により展開する方法で求めよ。(転置行列の行列式は 元の行列式と等しくなるはずである)

(1) \left[ \begin{array}{ccc} a&b&c \\ d&e&f \\ g&h&i \end{array} \right]

(2) \left[ \begin{array}{ccc} a&d&g \\ b&e&h \\ c&f&i \end{array} \right]

解答2

(1) \left| \begin{array}{ccc} a&b&c \\ d&e&f \\ g&h&i \end{array} \right| .

= \left| \begin{array}{ccc} a \left( \begin{array}{c} 1\\0\\0 \end{array} \right) + d \left( \begin{array}{c} 0\\1\\0 \end{array} \right) + g \left( \begin{array}{c} 0\\0\\1 \end{array} \right) & \left( \begin{array}{c} b\\e\\h \end{array} \right) & \left( \begin{array}{c} c\\f\\i \end{array} \right) \end{array} \right|

= a \left| \begin{array}{ccc} 1&b&c \\ 0&e&f \\ 0&h&i \end{array} \right| + d \left| \begin{array}{ccc} 0&b&c \\ 1&e&f \\ 0&h&i \end{array} \right| + g \left| \begin{array}{ccc} 0&b&c \\ 0&e&f \\ 1&h&i \end{array} \right|

[Math Conversion Error]


[Math Conversion Error]

[Math Conversion Error]

同じ列ベクトルを含む行列の行列式はゼロなので、

= a \left| \begin{array}{ccc} \left( \begin{array}{c} 1\\0\\0 \end{array} \right) & e \left( \begin{array}{c} 0\\1\\0 \end{array} \right) + h \left( \begin{array}{c} 0\\0\\1 \end{array} \right) & \left( \begin{array}{c} c\\f\\i \end{array} \right) \end{array} \right| [Math Conversion Error]


[Math Conversion Error]

展開すると(汗

= ae \left| \begin{array}{ccc} 1&0&c \\ 0&1&f \\ 0&0&i \end{array} \right| + ah \left| \begin{array}{ccc} 1&0&c \\ 0&0&f \\ 0&1&i \end{array} \right| + db \left| \begin{array}{ccc} 0&1&c \\ 1&0&f \\ 0&0&i \end{array} \right| + dh \left| \begin{array}{ccc} 0&0&c \\ 1&0&f \\ 0&1&i \end{array} \right| + gb \left| \begin{array}{ccc} 0&1&c \\ 0&0&f \\ 1&0&i \end{array} \right| + ge \left| \begin{array}{ccc} 0&0&c \\ 0&1&f \\ 1&0&i \end{array} \right|

さらに3列目を展開するのだが、以下のように列の値が同じになると行列式がゼロになることを 利用しないと大変なことになる。

= ae \left| \begin{array}{ccc} \left( \begin{array}{c} 1\\0\\0 \end{array} \right) & \left( \begin{array}{c} 0\\1\\0 \end{array} \right) & c \left( \begin{array}{c} 1\\0\\0 \end{array} \right) + f \left( \begin{array}{c} 0\\1\\0 \end{array} \right) + i \left( \begin{array}{c} 0\\0\\1 \end{array} \right) \end{array} \right|
+ ah \left| \begin{array}{ccc} 1&0&c \\ 0&0&f \\ 0&1&i \end{array} \right| + db \left| \begin{array}{ccc} 0&1&c \\ 1&0&f \\ 0&0&i \end{array} \right| + dh \left| \begin{array}{ccc} 0&0&c \\ 1&0&f \\ 0&1&i \end{array} \right| + gb \left| \begin{array}{ccc} 0&1&c \\ 0&0&f \\ 1&0&i \end{array} \right| + ge \left| \begin{array}{ccc} 0&0&c \\ 0&1&f \\ 1&0&i \end{array} \right|

ae の項の 第1項、第2項がゼロになる。したがって、

= aei \left| \begin{array}{ccc} 1&0&0 \\ 0&1&0 \\ 0&0&1 \end{array} \right| + ah \left| \begin{array}{ccc} 1&0&c \\ 0&0&f \\ 0&1&i \end{array} \right| + db \left| \begin{array}{ccc} 0&1&c \\ 1&0&f \\ 0&0&i \end{array} \right| + dh \left| \begin{array}{ccc} 0&0&c \\ 1&0&f \\ 0&1&i \end{array} \right| + gb \left| \begin{array}{ccc} 0&1&c \\ 0&0&f \\ 1&0&i \end{array} \right| + ge \left| \begin{array}{ccc} 0&0&c \\ 0&1&f \\ 1&0&i \end{array} \right|

他の項も同様にして、

= aei \left| \begin{array}{ccc} 1&0&0 \\ 0&1&0 \\ 0&0&1 \end{array} \right| + ahf \left| \begin{array}{ccc} 1&0&0 \\ 0&0&1 \\ 0&1&0 \end{array} \right| + dbi \left| \begin{array}{ccc} 0&1&0 \\ 1&0&0 \\ 0&0&1 \end{array} \right| + dhc \left| \begin{array}{ccc} 0&0&1 \\ 1&0&0 \\ 0&1&0 \end{array} \right| + gbf \left| \begin{array}{ccc} 0&1&0 \\ 0&0&1 \\ 1&0&0 \end{array} \right| + gec \left| \begin{array}{ccc} 0&0&1 \\ 0&1&0 \\ 1&0&0 \end{array} \right|

元の行列が

\left[ \begin{array}{ccc} a&b&c \\ d&e&f \\ g&h&i \end{array} \right]

であることに注意すると、出来上がった式は、各列から1つずつ、他の列と重複しない行の成分を 抜き出して積を作り( aei などの部分)、それに、抜き出した成分の位置だけに1を 立てた行列 (たとえば \left[ \begin{array}{ccc} 1&0&0 \\ 0&1&0 \\ 0&0&1 \end{array} \right] ) の行列式を掛けた形の和になっている。

ここで、 \left| \begin{array}{ccc} 1&0&0 \\ 0&1&0 \\ 0&0&1 \end{array} \right|=1 となるのは定義から明らかであるが、他の行列式の値はどうなるであろうか?

たとえば、

\left| \begin{array}{ccc} 1&0&0 \\ 0&0&1 \\ 0&1&0 \end{array} \right|

は、2列目と3列目とを入れ替えれば単位行列になるから、

\left| \begin{array}{ccc} 1&0&0 \\ 0&0&1 \\ 0&1&0 \end{array} \right|=-\left| \begin{array}{ccc} 1&0&0 \\ 0&1&0 \\ 0&0&1 \end{array} \right|=-1

である。

同様にして、「何回列を入れ替えたら単位行列にできるか」を数えることにより、

= aei-ahf-dbi+dhc+gbf-gec

を得る。

(2) 上記と同様にして、

= aei \left| \begin{array}{ccc} 1&0&0 \\ 0&1&0 \\ 0&0&1 \end{array} \right| + afh \left| \begin{array}{ccc} 1&0&0 \\ 0&0&1 \\ 0&1&0 \end{array} \right| + bdi \left| \begin{array}{ccc} 0&1&0 \\ 1&0&0 \\ 0&0&1 \end{array} \right| + bfg \left| \begin{array}{ccc} 0&0&1 \\ 1&0&0 \\ 0&1&0 \end{array} \right| + cdh \left| \begin{array}{ccc} 0&1&0 \\ 0&0&1 \\ 1&0&0 \end{array} \right| + ceg \left| \begin{array}{ccc} 0&0&1 \\ 0&1&0 \\ 1&0&0 \end{array} \right|

= aei-afh-bdi+bfg+cdh-ceg

を得る。

これは、(1) で得た結果と等しい。

すなわち、3次の正方行列について、 |^tA|=|A| であることが証明された。

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