線形代数I/小テスト/2006-06-15

(4359d) 更新

線形代数I

教科書p59 問4.1 より

方針としては、うまくゼロを作って行列を縮小していくことになる。

(i)

\left| \begin{array}{ccc} 1&1&1 \\ 1&2&3 \\ 1&4&5 \end{array} \right|

2,3行目から1行目を引く

=\left| \begin{array}{ccc} 1&1&1 \\ 0&1&2 \\ 0&3&4 \end{array} \right|

(1,1) 成分を使って行列を縮小する

= 1 \left| \begin{array}{cc} 1&2 \\ 3&4 \end{array} \right|

= 1 \times 4 - 2 \times 3 = -2

(ii)

\left| \begin{array}{ccc} 3&2&6 \\ 1&6&3 \\ 1&10&3 \end{array} \right|

3行目から2行目を引く

= \left| \begin{array}{ccc} 3&2&6 \\ 1&6&3 \\ 0&4&0 \end{array} \right|

(3,2) 成分を使って行列を縮小する

= -1 \times 4 \left| \begin{array}{cc} 3&6 \\ 1&3 \end{array} \right|

= -4 \times ( 3 \times 3 - 1 \times 6 ) = -12

(iii)

\left| \begin{array}{cccc} 1&-2&5&1 \\ 0&1&-1&2 \\ 0&0&6&-2 \\ -1&2&-2&-3 \end{array} \right|

4行目に1行目を足す

= \left| \begin{array}{cccc} 1&-2&5&1 \\ 0&1&-1&2 \\ 0&0&6&-2 \\ 0&0&3&-2 \end{array} \right|

(1,1) 成分を使って行列を縮小 x 2

= 1 \left| \begin{array}{ccc} 1&-1&2 \\ 0&6&-2 \\ 0&3&-2 \end{array} \right|

= 1 \left| \begin{array}{cc} 6&-2 \\ 3&-2 \end{array} \right|

= 6 \times (-2) - (-2) \times 3 = -6

(iv)

\left| \begin{array}{cccc} 1&0&2&1 \\ 2&3&-5&-2 \\ -2&-3&3&1 \\ -1&6&-14&5 \end{array} \right|

3行目に2行目を足す

=\left| \begin{array}{cccc} 1&0&2&1 \\ 2&3&-5&-2 \\ 0&0&-2&-1 \\ -1&6&-14&5 \end{array} \right|

1行目に3行目を足す

=\left| \begin{array}{cccc} 1&0&0&0 \\ 2&3&-5&-2 \\ 0&0&-2&-1 \\ -1&6&-14&5 \end{array} \right|

(1,1) 成分を使って行列を縮小

=1 \left| \begin{array}{ccc} 3&-5&-2 \\ 0&-2&-1 \\ 6&-14&5 \end{array} \right|

2列目から3列目x2を引く

=\left| \begin{array}{ccc} 3&-1&-2 \\ 0&0&-1 \\ 6&-24&5 \end{array} \right|

(2,3) 成分を使って行列を縮小

= -1 \times (-1) \left| \begin{array}{ccc} 3&-1\\ 6&-24 \end{array} \right|

= 3 \times (-24) - 6 \times (-1) = -66


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