平成16年度試験問題

(4407d) 更新

線形代数I

工学基礎学類 線形代数I(1学期)期末試験(H17.6.30)

解答用紙1枚につき1つの問題を解答してください。

すべての解答用紙に学籍番号と名前の記入を忘れないように!

[問1]

(1) R^3 のベクトル \bm{a}_1=(1,-2,1) , \bm{a}_2=(2,1,-1) , \bm{a}_3=(7,-4,1) は一次独立か一次従属か、理由を示して答えよ。

(2)3個のベクトル \bm{u}, \bm{v}, \bm{w} は一次独立であることが分かっている。これらの一次結合からなる3個のベクトル \bm{u}+\bm{v} , \bm{u}-\bm{v} , \bm{u}-2\bm{v}+\bm{w} が一次独立であることを示せ。

[問2]

(1) R^4 上のベクトルを R^3 上のベクトルへ移す線形写像 \phi に対応する行列 A が下の式で与えられている。 A の階数 (rank) を求めよ。

A=\left[\begin{array}{cccc}1&2&3&4\\2&-2&4&-4\\2&1&5&2\end{array}\right]

(2) R^3 上でベクトル \left[\begin{array}{c}1\\0\\0\end{array}\right] \left[\begin{array}{c}1\\1\\0\end{array}\right] へ、 \left[\begin{array}{c}0\\2\\0\end{array}\right] \left[\begin{array}{c}0\\0\\4\end{array}\right] へ、 \left[\begin{array}{c}0\\0\\3\end{array}\right] \left[\begin{array}{c}9\\0\\0\end{array}\right] へ 写す線形写像を \psi とし、これに対応する行列を B とする。 B を求めよ。

(3) R^4 上のベクトルを \phi で写し、さらに \psi で写す写像に対応する行列を C とする。行列 C とその階数 (rank) を求めよ。

[問3]

(1)次の行列の逆行列を、基本変形を用いて求めなさい。

\left[\begin{array}{cccc}1&1&1&5\\1&1&5&1\\1&5&1&1\\5&1&1&1\end{array}\right]

(2)次の行列式を計算し、値を求めなさい。

\left|\begin{array}{cccc}2&3&1&6\\-4&7&5&2\\1&4&-3&2\\3&2&-2&-2\end{array}\right|

[問4] a , b を定数として、次の x , y , z に関する連立1次方程式を考える。

\left\{\begin{array}{l}x+2y+z=-1\\x+3y+2z=-1\\-x-y+az=b\end{array}\right.

(1) a \ne 0 とする。行列の基本変形を用いて上の連立一次方程式が解を持つかどうか判定し、解がある場合はそれを求めよ。

(2) a=0 とする。行列の基本変形を用いて上の連立一次方程式が解を持つかどうか判定し、解がある場合はそれを求めよ。

(3) a=0 とする。係数で作られる行列 A=\left[\begin{array}{ccc}1&2&1\\1&3&2\\-1&-1&0\end{array}\right] の値域を求めよ。


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