線形代数I/教科書定理/2.6

(4317d) 更新

定理2.6

\bm{R}^n の部分ベクトル空間 E が線形写像 \phi \bm{R}^m の部分集合 F へ移ったとする。このとき F \bm{R}^m の部分ベクトル空間となる。

証明

ベクトル空間の部分集合が部分ベクトル空間であることを示すためには、 それがベクトルの加法と数乗法について閉じていることを示せばよい。

すなわち、

\bm{x}, \bm{y} \in F かつ \bm{a}, \bm{b} \in \bm{K} から a\bm{x}+b\bm{y} \in F を導く。

まず、 F=\phi(E) \bm{x}, \bm{y} \in F より、 \bm{x}=\phi(\bm{x}^\prime) , \bm{y}=\phi(\bm{y}^\prime) となるような \bm{x}^\prime, \bm{y}^\prime \in E が 少なくともひとつずつ存在する。

E は部分ベクトル空間であるから、そのような \bm{x}^\prime, \bm{y}^\prime \in E に対して a\bm{x}^\prime+b\bm{y}^\prime \in E である。

したがって、 \phi(a\bm{x}^\prime+b\bm{y}^\prime) \in F であるが、 \phi が 線形写像であれば、

\phi(a\bm{x}^\prime+b\bm{y}^\prime)&= a\phi(\bm{x}^\prime)+b\phi(\bm{y}^\prime) \\ &=a\bm{x}+b\bm{y}

であり、ここから a\bm{x}+b\bm{y} \in F を導くことができる。


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