線形代数I/教科書定理/2.7

(4488d) 更新

定理2.7

\bm{R}^n の部分集合 E が線形写像 \phi \bm{R}^m の部分ベクトル空間 F へ移ったならば、 E \bm{R}^n の部分ベクトル空間でなければならない。

証明

証明は定理2.6とほぼ同じ道筋になる。

ベクトル空間の部分集合が部分ベクトル空間であることを示すためには、 それがベクトルの加法と数乗法について閉じていることを示せばよい。

すなわち、

\bm{x}, \bm{y} \in E かつ \bm{a}, \bm{b} \in \bm{K} から a\bm{x}+b\bm{y} \in E を導く。

まず、 F=\phi(E) \bm{x}, \bm{y} \in E より、 \phi(\bm{x}), \phi(\bm{y}) \in F である。

F が部分ベクトル空間であることから、 a\phi(\bm{x})+b\phi(\bm{y}) \in F が 成立するが、 \phi が線形写像であれば、

a\phi(\bm{x})+b\phi(\bm{y})=\phi(a\bm{x}+b\bm{y})

となるため \phi(a\bm{x}+b\bm{y}) \in F が得られ、 F=\phi(E) より a\bm{x}+b\bm{y} \in E を得る。


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