線形代数I/教科書演習/1A−2

(3137d) 更新

教科書演習1A−2

R^2 で、 (a, b) (c, d) が1次独立であるための 必要十分条件は ad-bc\ne 0 であることを示せ。

解答

まず十分であること、つまり ad-bc\ne 0 であれば1次独立であることを示そう。

このために、

ax+by&=0\\cx+dy&=0

の解、 (x, y) を求める。

a \ne 0 のとき、

x=-(b/a)y ・・・ ①

であり、これを cx+dy=0 に代入することで

-(bc/a)y+dy&=0\\(ad-bc)y&=0

を得る。 ad-bc\ne 0 よりこれは y=0 を表し、① からすぐに x=0 を得る。

一方、 a=0 のとき、 ad-bc\ne 0 より bc\ne 0 であり、 すなわち c \ne 0 であるから、

x=-(d/c)y ・・・ ②

-(ad/c)y+by&=0\\-(ad-bc)y&=0

となり、 a \ne 0 のときと同様に x=y=0 を得る。

すなわち、 ad-bc\ne 0 であれば1次独立であることが示された。

次に必要であることを示すが、ここでは背理法を用いることにする。

つまり1次独立であれば ad-bc\ne 0 であることを示すかわりに、
ad-bc= 0 であれば1次従属であることを示す。

ax+by&=0\\cx+dy&=0 ・・・ ③

(1) a=0 のとき、

ad-bc= 0 であるならば、 a=0 bc=0 を表す。

(1a) さらに b=0 ならば ax+by=0 は自動的に成立し、 cx+dy=0 を満たすすべての (x,y) は③を満たす。

(1b) b\ne 0 ならば c=0 となり、 y=0 であれば x の値に依らず③が成立する。

(2) a\ne 0 のとき

上で見たとおり、 x=-(b/a)y となるすべての (x, y) は ③を満たす。

すなわち ad-bc= 0 であれば (a, b) (c, d) は 線形従属であることが示された。

以上により与えられた命題は証明された。

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