線形代数I/教科書演習/1A−3

(3074d) 更新

演習問題1A−3

\bm{C} \bm{R} 上のベクトル空間であることを示せ。 また、基底を1組作れ。

解答

前半は、

z_1=x_1+iy_1,z_2=x_2+iy_2,z_3=x_3+iy_3 \in \bm{C} , r,s \in \bm{R} に対して、

加法が \bm{C} に閉じていること、 数乗法が \bm{C} に閉じていること、 および、これらの演算が教科書P2〜3のベクトル空間の8つの公理を 満たすことを示せばよい。

(A) 加法が \bm{C} に閉じている

z_1+z_2&=x_1+iy_1+x_2+iy_2\\&=(x_1+x_2)+i(y_1+y_2) \in \bm{C}

(B) 数乗法が \bm{C} に閉じている

rz_1=(rx_1)+i(ry_1) \in \bm{C}

(1) 加法の交換法則

z_1+z_2=z_2+z_1

(2) 加法の結合法則

(z_1+z_2)+z_3=z_1+(z_2+z_3)

(3) ゼロ元の存在

z_1+0=z_1 ただし 0=0+i0 \in \bm{C}

(4) 逆元の存在

z_1=x_1+iy_1 \in \bm{C} に対して、 -z_1=-x_1-iy_1 \in \bm{C} が 存在する。

(5) 1倍

1\cdot z_1=z_1

(6) 数乗法の結合法則

r \cdot (s \cdot z_1)=(r \cdot s) \cdot z_1

(7) 数乗法の分配法則1

(r + s) \cdot z_1=r \cdot z_1 + s \cdot z_1

(8) 数乗法の分配法則2

r \cdot (z_1+z_2)=r \cdot z_1 + r \cdot z_2

後半部分、

基底とは与えられたベクトル空間を張ることのできる線形独立なベクトルの組なので、 例えば 1 i を取るばよい。

これらが基底を為すことは、任意の z_1=x_1+iy_1 \in \bm{C} z_1=x_1 \cdot 1 + y_1 \cdot i と書けること、すなわち、 1, i \bm{C} を張る( \bm{C}=[1,i] )ことと、 1, i が線形独立、つまり x_1 \cdot 1 + y_1 \cdot i=0 ならば x_1=y_1=0 であることから明らか。

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