4章B-行列式の表式とその性質

(2835d) 更新

線形代数I

行列式の3つの性質とその表式

ここまでで

  • (1) 交代性
  • (2) 多重線形性
  • (3) 単位行列に対する値が1

の3つの性質を持つものとして行列式を定義すると、その形は

\det A = \sum_{(i_1, i_2, \dots, i_n)} \text{sgn} \left( \begin{array}{cccc} 1&2&\dots&n \\ i_1&i_2&\dots&i_n \end{array} \right) a_{i_11}a_{i_22}\dots a_{i_nn}

でなければならないことが示された。

つまり、

  3つの性質を持つ \to 行列式は上記の形を持つ

が証明されたことになる。以降ではこの逆、

  行列式は上記の形を持つ \to 3つの性質を持つ

が成り立つことを示す。

これにより3つの性質により行列式を定義しても、 上記の式により行列式を定義しても、両者は同じことになる。

教科書によっては上の式を行列式の定義とし、その性質として (1)〜(3) を説明する 方針を採るものもある。

(1) 交代性

例えば行列 A=(a_{ij}) の1列目と2列目とを入れ替えた行列を A^\prime とすると、

\det A^\prime= \sum_{(i_1, i_2, \dots, i_n)} \text{sgn} \left( \begin{array}{cccc} 1&2&\dots&n \\ i_1&i_2&\dots&i_n \end{array} \right) a_{i_12}a_{i_21}\dots a_{i_nn}

となる。上での行列式の定義と a_{i_12}a_{i_21} の部分が異なることに注意しよう。

ここで、 i_1=i_2^\prime , i_2=i_1^\prime と書けば、

&= \sum_{(i_2^\prime, i_1^\prime, \dots, i_n)} \text{sgn} \left( \begin{array}{cccc} 1&2&\dots&n \\ i_2^\prime&i_1^\prime&\dots&i_n \end{array} \right) a_{i_2^\prime2}a_{i_1^\prime1}\dots a_{i_nn}\\ &= \sum_{(i_1^\prime, i_2^\prime, \dots, i_n)} \text{sgn} \left( \begin{array}{cccc} 1&2&\dots&n \\ i_2^\prime&i_1^\prime&\dots&i_n \end{array} \right) a_{i_1^\prime1}a_{i_2^\prime2}\dots a_{i_nn}

となり、 \text{sgn}() の部分以外は \det A の定義と等しくなった。

&\left( \begin{array}{cccc} 1&2&\dots&n \\ i_2^\prime&i_1^\prime&\dots&i_n \end{array} \right) \\ =&\left( \begin{array}{cccc} 1&2&\dots&n \\ i_1^\prime&i_2^\prime&\dots&i_n \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{cccc} 1&2&\dots&n \\ 2&1&\dots&n \end{array} \right)

であることに注意すれば、

&\text{sgn} \left( \begin{array}{cccc} 1&2&\dots&n \\ i_1^\prime&i_2^\prime&\dots&i_n \end{array} \right) \\ = &- \text{sgn} \left( \begin{array}{cccc} 1&2&\dots&n \\ i_2^\prime&i_1^\prime&\dots&i_n \end{array} \right)

が導かれる。そして、

\det A^\prime= &- \sum_{(i_1^\prime, i_2^\prime, \dots, i_n)} \text{sgn} \left( \begin{array}{cccc} 1&2&\dots&n \\ i_1^\prime&i_2^\prime&\dots&i_n \end{array} \right) a_{i_1^\prime1}a_{i_2^\prime2}\dots a_{i_nn} \\ = & -\det A

を証明することができる。

同様にして i 列目と j 列目とを入れ替えた場合にも交代性を 示すことが可能である。

(2) 多重線形性

A= \left(\begin{array}{cccc} \alpha \bm{a}_1+\beta \bm{b}_1 & \bm{a}_2 & \dots & \bm{a}_n \end{array} \right) としよう。 すると、

\det A=& \sum_{(i_1, i_2, \dots, i_n)} \text{sgn} \left( \begin{array}{cccc} 1&2&\dots&n \\ i_1&i_2&\dots&i_n \end{array} \right) (\alpha a_{i_11} + \beta b_{i_11})a_{i_22}\dots a_{i_nn} \\ =& \alpha \sum_{(i_1, i_2, \dots, i_n)} \text{sgn} \left( \begin{array}{cccc} 1&2&\dots&n \\ i_1&i_2&\dots&i_n \end{array} \right) a_{i_11}a_{i_22}\dots a_{i_nn} \\ +& \beta \sum_{(i_1, i_2, \dots, i_n)} \text{sgn} \left( \begin{array}{cccc} 1&2&\dots&n \\ i_1&i_2&\dots&i_n \end{array} \right) b_{i_11}a_{i_22}\dots a_{i_nn} \\ =& \alpha \left| \begin{array}{cccc} \bm{a}_1 & \bm{a}_2 & \dots & \bm{a}_n \end{array} \right| + \beta \left| \begin{array}{cccc} \bm{b}_1 & \bm{a}_2 & \dots & \bm{a}_n \end{array} \right|

となり、線形性が示される。

同様にして、他の列に対しても線形性を示すことができ、上記行列式の定義が n 重線形性を持っていることが証明できる。

(3) 単位行列に対する値

I n 次の単位行列とすれば

\det I=& \sum_{(i_1, i_2, \dots, i_n)} \text{sgn} \left( \begin{array}{cccc} 1&2&\dots&n \\ i_1&i_2&\dots&i_n \end{array} \right) \delta_{i_11}\delta_{i_22}\dots \delta_{i_nn}

となる。ここで \delta_{ij} はクロネッカーのデルタである。

\delta_{i_11}\delta_{i_22}\dots \delta_{i_nn} の部分は (i_1, i_2, \dots, i_n)=(1,2,\dots,n) である 場合を除き \delta_{ij} ( ただし i\neq j ) を含むためにゼロになる。したがって、これらの項を取り除くと

\det I=& \text{sgn} \left( \begin{array}{cccc} 1&2&\dots&n \\ 1&2&\dots&n \end{array} \right) \delta_{11}\delta_{22}\dots \delta_{nn}

を得るが、 \delta_{ii}=1 であり、また恒等置換はゼロ個の互換で表せるためシグネチャーは1である。 ゆえに、

\det I= 1

となり、命題は証明された。

転置行列の行列式

転置行列の行列式は、元の行列の行列式と等しい。

|^t\!A|= |A|

これを以下に証明する。 A=(a_{ij}) としよう。すると、

|^t\!A| = \sum_{(i_1, i_2, \dots, i_n)} \text{sgn} \left( \begin{array}{cccc} 1&2&\dots&n \\ i_1&i_2&\dots&i_n \end{array} \right) a_{1i_1}a_{2i_2}\dots a_{ni_n}

を得る。

ここで、行列式の定義から i_1, i_2, \dots, i_n 1,2,\dots,n を並べ替えたものであるから、 a_{1i_1}a_{2i_2}\dots a_{ni_n} の部分を適当に並べ替えることで a_{k_11}a_{k_22}\dots a_{k_nn} の形に直すことができる。

|^t\!A| = \sum_{(i_1, i_2, \dots, i_n)} \text{sgn} \left( \begin{array}{cccc} 1&2&\dots&n \\ i_1&i_2&\dots&i_n \end{array} \right) a_{k_11}a_{k_22}\dots a_{k_nn}

さらに、置換のカッコ内も上下の数字の組み合わせを変えない限り順番を入れ替えても 値は変わらないから、同様の並べ替えをすることで

|^t\!A| = \sum_{(i_1, i_2, \dots, i_n)} \text{sgn} \left( \begin{array}{cccc} k_1&k_2&\dots&k_n \\ 1&2&\dots&n \end{array} \right) a_{k_11}a_{k_22}\dots a_{k_nn}

を得る。

|A| = \sum_{(k_1, k_2, \dots, k_n)} \text{sgn} \left( \begin{array}{cccc} 1&2&\dots&n \\ k_1&k_2&\dots&k_n \end{array} \right) a_{k_11}a_{k_22}\dots a_{k_nn}

であることに注意しよう。これと、上式との違いは \sum の添え字の部分と \text{sgn}() の 中の置換で上下の行が入れ替わっていることである。両式に現れる置換は互いに逆置換の 関係にある。

したがって、これら2つの式が等しいことを示すためには、 (1) i_1, i_2, \dots, i_n がすべての 1, 2, \dots, n の順列を動くとき、 k_1, k_2, \dots, k_n もまったく同じ範囲を動くこと、および、

\text{sgn} \left( \begin{array}{cccc} k_1&k_2&\dots&k_n \\ 1&2&\dots&n \end{array} \right)=\text{sgn} \left( \begin{array}{cccc} 1&2&\dots&n \\ k_1&k_2&\dots&k_n \end{array} \right)

すなわち (2) すべての n 文字の置換について逆置換の \text{sgn} が元の置換の \text{sgn} と等しいことを示せれば良い。

(1) については、異なる 1, 2, \dots, n の順列の個数が _nP_n=n! であることと、 異なる (i_1, i_2, \dots, i_n) に対して (k_1, k_2, \dots, k_n) が必ず異なる ものとなることから導かれる。すなわち、 (i_1, i_2, \dots, i_n) が異なる n! 個の 値を取るとき、 (k_1, k_2, \dots, k_n) n! 個の異なる値を取ることになるが、 これは 1, 2, \dots, n の順列の個数に等しいため、 k_1, k_2, \dots, k_n は すべての 1, 2, \dots, n の順列を取ることになる。

一方、(2) については、 \sigma \in S_n m 個の互換 \tau_1, \tau_2, \dots, \tau_m の積で現せるとき、

\sigma&= \tau_1 \times \tau_2 \times \dots \times \tau_m \\ \sigma^{-1}&= \tau_m^{-1} \times \dots \times \tau_2^{-1} \times \tau_1^{-1} \\

であり、互換の逆変換はその互換自身であるからこれは

\sigma^{-1}&= \tau_m \times \dots \times \tau_2 \times \tau_1 \\

と書ける。すなわち、任意の置換の逆置換は、もとの置換と同数の互換の積で表すことが でき、両者の \text{sgn} は等しい。

したがって、 |^t\!A|=|A| が証明された。

|^t\!A|=|A| の意味

転置行列の行列式が元の行列の行列式と等しいことはそれのみではあまり重要な定理とは 感じられないかもしれない。しかしこれは以下のように非常に大きな意味を持つ。

というのも、転置行列の行ベクトルは元行列の列ベクトルであり、列ベクトルは元の 行ベクトルであるからである。

例: \begin{array}{c} \ \\\ \\\ \\\ \end{array}^t\!\left[ \begin{array}{cccc} a&b&c&d \\ e&f&g&h \\ i&j&k&l \\ m&n&o&p \end{array} \right]= \left[ \begin{array}{cccc} a&e&i&m \\ b&f&j&n \\ c&g&k&o \\ d&h&l&p \end{array} \right]

これまで行列式の定義などにおいて、主に行列式の列ベクトルを使って議論をしてきた。

例えば:

(1) n 次行列式の幾何学的な意味は、 n 本の列ベクトルにより定義される n 次元 平行四辺体の体積であった。

(2) n 本の列ベクトルが線形独立でない場合には行列式はゼロである。

(3) ある列ベクトルの定数倍を別の列に加えても行列式の値は変化しない。

(4) 行列式の定義は列ベクトルについての交代制と n 重線形性によるものであった

しかしここで転置行列の行列式が元の行列の行列式と等しいことが示されたことにより、 上記の列ベクトルについての行列式の性質が、そのまま行ベクトルに対する性質としても 成立することになる。

(1) n 次行列式の幾何学的な意味は、 n 本の行ベクトルにより定義される n 次元 平行四辺体の体積

(2) n 本の行ベクトルが線形独立でない場合には行列式はゼロ

(3) ある行ベクトルの定数倍を別の行に加えても行列式の値は変化しない

(4) 行列式の定義は行ベクトルについての交代性と n 重線形性を使っても良い

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