正規行列の異なる固有値に属する固有ベクトルは直交する

(1771d) 更新

線形代数II/固有値問題・固有空間・スペクトル分解

正規行列

正規行列 A AA^\dagger=A^\dagger A を満たす行列

準備:正規行列について $A\bm x=\lambda x$ なら $A^\dagger\bm x=\overline\lambda\bm x$

A\bm x=\lambda x のとき、

(A-\lambda E)\bm x=\bm 0 であるから、

0&=\|(A-\lambda E)\bm x\|^2\\ &=\big((A-\lambda E)\bm x,(A-\lambda E)\bm x\big)\\ &=\big(\bm x,(A-\lambda E)^\dagger(A-\lambda E)\bm x\big)\\ &=\big(\bm x,(A^\dagger-\overline\lambda E)(A-\lambda E)\bm x\big)\\ &=\big(\bm x,(A^\dagger A-\overline\lambda A-\lambda A^\dagger+|\lambda|^2E)\bm x\big)\\ &=\big(\bm x,(A A^\dagger-\overline\lambda A-\lambda A^\dagger+|\lambda|^2E)\bm x\big)\\ &=\big(\bm x,(A-\lambda E)(A^\dagger-\overline\lambda E)\bm x\big)\\ &=\big((A-\lambda E)^\dagger\bm x,(A^\dagger-\overline\lambda E)\bm x\big)\\ &=\|(A^\dagger-\overline\lambda E)\bm x\|^2\\

すなわち、

A^\dagger\bm x=\overline\lambda\bm x

正規行列の異なる固有値に属する固有ベクトルは直交する

A が正規行列で、 A\bm x=\lambda\bm x,A\bm y=\lambda'\bm y のとき、

&\big(\bm x,A\bm y\big)=\big(\bm x,\lambda'\bm y\big)=\lambda'\big(\bm x,\bm y\big)\\ &=\big(A^\dagger\bm x,\bm y\big)=\big(\overline\lambda\bm x,\bm y\big)=\lambda\big(\bm x,\bm y\big)

したがって、

(\lambda-\lambda')(\bm x,\bm y)=0

\lambda\ne\lambda' ならば、 (\bm x,\bm y)=0

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