一次元箱形障壁のトンネル/メモ

(2450d) 更新

目次 †

１次元トンネル現象再考 †

https://m-repo.lib.meiji.ac.jp/dspace/bitstream/10291/5021/1/kyouyoronshu_240_17.pdf

を参考にやってみる。

１次元のポテンシャルエネルギーを、 トンネル障壁部分以外で 0、 トンネル障壁部分で V となるような、 矩形障壁のモデルを考え、 x が負の無限大から正方向へ振幅１の平面波が入射する条件を考える。

距離 $d$ の伝播 †

ポテンシャルエネルギー V(x)=0 の領域における解は

　 \varphi(x)=A e^{ikx}+B e^{-ikx}

と置ける。このとき、 x=x_1 および x=x_1+d での波動関数を

　 \varphi(x_1)=\underbrace{Ae^{ikx_1}}_{A_1}+\underbrace{Be^{-ikx_1}}_{B_1}

　 \varphi(x_1+d)=\underbrace{Ae^{ik(x_1+d)}}_{A_2}+\underbrace{Be^{-ik(x_1+d)}}_{B_2}

と書こう。 A_1,B_1 , A_2,B_2 はそれぞれ x=x_1, x=x_1+d における、波数 k の成分と波数 -k の成分の値である。

上式から、

　 \begin{cases} A_2=e^{ikd}A_1\\ B_2=e^{-ikd}B_1\\ \end{cases}

の関係があり、これを

　 \begin{pmatrix} A_2\\ B_2\\ \end{pmatrix}= \underbrace{ \begin{pmatrix} e^{ikd}&\\ &e^{-ikd}\\ \end{pmatrix}}_{d\,進んだことによる変化} \begin{pmatrix} A_1\\ B_1\\ \end{pmatrix}

と書けることが分かる。

トンネル障壁 †

位置 x_1 から始まる、 厚さ a 高さ V のトンネル障壁を考える。

障壁の直前・直後の k 成分、 -k 成分の値を A,B および C,D とする。

すなわち、障壁前後の波動関数を、

　障壁前：　 \varphi(x)=Ae^{ik(x-x_1)}+Be^{-ik(x-x_1)} 　　 x<x_1

　障壁後：　 \varphi(x)=Ce^{ik(x-x_1-a)}+De^{-ik(x-x_1-a)} 　　 x_1+a<x

と置いたことになる。

障壁内での波動関数は

　 \kappa=\frac{1}{\hbar}\sqrt{2mV_0-\hbar^2k^2}

および障壁入射直後の \kappa,-\kappa 成分 E,F を用いて

　 \varphi(x)=Ee^{\kappa (x-x_1)}+Fe^{-\kappa (x-x_1)} 　 x_1<x<x_1+a)

と表せるから、両端で障壁内外の波動関数がなめらかに接続する条件を次の４つの式で表せる。

　(1) \varphi(x_1)=A+B=E+F

　(2) \varphi'(x_1)=ikA-ikB=\kappa E-\kappa F

　(3) \varphi(x_1+a)=Ee^{\kappa a}+Fe^{-\kappa a}=C+D

　(4) \varphi'(x_1+a)=\kappa Ee^{\kappa a}-\kappa Fe^{-\kappa a}=ikC-ikD

(1), (2) より、 　 \begin{pmatrix} 1&1\\ ik&-ik \end{pmatrix} \begin{pmatrix}A\\B\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1&1\\ \kappa&-\kappa \end{pmatrix} \begin{pmatrix}E\\F\end{pmatrix}

(3), 42) より、 　 \begin{pmatrix} e^{\kappa a}&e^{-\kappa a}\\ \kappa e^{\kappa a}&-\kappa e^{-\kappa a}\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix}E\\F\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1&1\\ \kappa&-\kappa\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} e^{\kappa a}\\ &e^{-\kappa a}\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix}E\\F\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1&1\\ ik&-ik \end{pmatrix} \begin{pmatrix}C\\D\end{pmatrix}

したがって、

　 \begin{pmatrix}C\\D\end{pmatrix}= \underbrace{\begin{pmatrix} 1&1\\ ik&-ik \end{pmatrix}^{-1}}_{k,-k 成分に変換} \underbrace{\begin{pmatrix} 1&1\\ \kappa&-\kappa\\ \end{pmatrix}}_{\varphi,\varphi' に変換} \underbrace{\begin{pmatrix} e^{\kappa a}\\ &e^{-\kappa a}\\ \end{pmatrix}}_{a だけ伝播} \underbrace{\begin{pmatrix} 1&1\\ \kappa&-\kappa \end{pmatrix}^{-1}}_{\kappa,-\kappa 成分に変換} \underbrace{\begin{pmatrix} 1&1\\ ik&-ik \end{pmatrix}}_{\varphi,\varphi'に変換} \begin{pmatrix}A\\B\end{pmatrix}

計算すると、

　 \begin{pmatrix}C\\D\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \cosh(a \kappa)+i\frac{k^2-\kappa^2}{2 k \kappa} \sinh(a \kappa )& -i\frac{k^2+\kappa^2}{2 k \kappa} \sinh (a \kappa)\\ i\frac{k^2+\kappa^2}{2 k \kappa} \sinh (a \kappa)& \cosh(a \kappa)-i\frac{k^2-\kappa^2}{2 k \kappa} \sinh(a \kappa )\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix}A\\B\end{pmatrix}

となる。この行列は

　 \begin{pmatrix} s&-it\\ it&\overline s \end{pmatrix}

の形をしているが（ t>0 ）、

　 |s|^2&=\left|\cosh(a \kappa)+i\frac{k^2-\kappa^2}{2 k \kappa} \sinh(a \kappa)\right|^2\\ &=\cosh^2(a \kappa)+\left\{\frac{k^2-\kappa^2}{2 k \kappa}\right\}^2 \sinh^2(a \kappa)\\ &=1+\frac{4k^2\kappa^2+(k^2-\kappa^2)^2}{4 k^2 \kappa^2} \sinh^2(a \kappa)\\ &=1+\frac{(k^2+\kappa^2)^2}{4 k^2 \kappa^2} \sinh^2(a \kappa)\\ &=1+t^2

より、 t=\sqrt{|s|^2-1} の関係がある。

そこで、実数 r,\theta を

　 \frac{s}{|s|}=e^{i\theta}

　 r=\frac{t}{|s|}=\frac{\sqrt{|s|^2-1}}{|s|} （ 1-r^2=\frac{1}{|s|^2} となる）

として導入すれば、

　 |s|\begin{pmatrix} s/|s|&-it/|s|\\ it/|s|&\overline s/|s| \end{pmatrix}= \frac{1}{\sqrt{1-r^2}}\begin{pmatrix} e^{i\theta}&-ir\\ ir&e^{-i\theta} \end{pmatrix}

となって、

　 \begin{pmatrix}C\\D\end{pmatrix}= \frac{1}{\sqrt{1-r^2}}\begin{pmatrix} e^{i\theta}&-ir\\ ir&e^{-i\theta} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}A\\B\end{pmatrix}

を得る。

トンネル問題を考え、 A=1, D=0 と置けば、

　 B=ire^{i\theta}

　 C=\sqrt{1-r^2}e^{i\theta}

と求まり、

　反射率： |B|^2=r^2
　透過率： |C|^2=1-r^2=\frac{1}{|s|^2}

を得る。

ここから、 r,\theta の物理的意味が分かる。

　 r ： r^2 が反射率
　 \theta 障壁通過による位相の進み

以前の結果と比べると t=Y であり、

　 t=\frac{(k^2+\kappa^2)}{2 k \kappa} \sinh(a \kappa)

に対して、

　 r^2=\frac{t}{1+t^2}

となる。

２重トンネル †

厚さ a の障壁が b だけ間を置いて連続して２つあるとする。

１つ目の障壁直前を A,B 、２つ目の障壁直後を C,D とすれば、

　 \begin{pmatrix}C\\D\end{pmatrix} &= \frac{1}{1-r^2} \begin{pmatrix} e^{i\theta}&-ir\\ ir&e^{-i\theta} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}e^{ikb}&\\&e^{-ikb}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} e^{i\theta}&-ir\\ ir&e^{-i\theta} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}A\\B\end{pmatrix}\\ &= \frac{1}{1-r^2} \begin{pmatrix} e^{ikb+i\theta}&-ire^{-ikb}\\ ire^{ikb}&e^{-ikb-i\theta} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} e^{i\theta}&-ir\\ ir&e^{-i\theta} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}A\\B\end{pmatrix}\\ &= \frac{1}{1-r^2} \begin{pmatrix} e^{ikb+2i\theta}+r^2e^{-ikb}& -ire^{ikb+i\theta}-ire^{-ikb-i\theta}\\ ire^{ikb+i\theta}+ire^{-ikb-i\theta}& r^2e^{ikb}+e^{-ikb-2i\theta} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}A\\B\end{pmatrix}\\

A=1,D=0 と置くと、

　 |B|^2 &=r^2\left|\frac{e^{ikb+i\theta}+e^{-ikb-i\theta}}{r^2e^{ikb+i\theta}+e^{-ikb-i\theta}}\right|^2\\ &=\frac{4r^2\cos^2(kb+\theta)}{(1+r^2)^2\cos^2(kb+\theta)+(1-r^2)^2\sin^2(kb+\theta)}\\

より、透過率は

　 |C|^2=1-|B|^2 &=\frac{(1+r^2)^2\cos^2(kb+\theta)+(1-r^2)^2\sin^2(kb+\theta)-4r^2\cos^2(kb+\theta)}{(1+r^2)^2\cos^2(kb+\theta)+(1-r^2)^2\sin^2(kb+\theta)}\\ &=\frac{(1-r^2)^2}{(1+r^2)^2\cos^2(kb+\theta)+(1-r^2)^2\sin^2(kb+\theta)}\\ &=\frac{1}{\left(\frac{1+r^2}{1-r^2}\right)^2\cos^2(kb+\theta)+\sin^2(kb+\theta)}\\ &=\frac{1}{\left[\left(\frac{1+r^2}{1-r^2}\right)^2-1\right]\cos^2(kb+\theta)+1}\\

となる。

この値は反射率が高く r\sim 1 である場合にも、 \cos^2(kb+\theta)=0 すなわち kb+\theta=\pi(n+1/2) の条件で透過率が 100% になることを示している。これが共鳴トンネルと呼ばれる現象である。

このとき、２つの障壁に挟まれた井戸の中での波動関数を

　 \phi(x)=Ee^{ik(x-a)}+Fe^{-ik(x-a)}

と置けば、

　 &\begin{pmatrix}E\\F\end{pmatrix} =\frac{1}{\sqrt{1-r^2}} \begin{pmatrix} e^{i\theta}&-ir\\ ir&e^{-i\theta} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}= \frac{1}{\sqrt{1-r^2}} \begin{pmatrix} e^{i\theta}\\ir \end{pmatrix}

より、

　 &|\varphi(x)|^2=|Ee^{ik(x-a)}+Fe^{-ik(x-a)}|^2\\ &=\frac{1}{1-r^2}\Big[1-r^2 -ire^{i2k(x-a)+i\theta} +ire^{-i2k(x-a)-i\theta} \Big]\\ &=1+\frac{2r}{1-r^2}\sin\{2k(x-a)+\theta\}\\

このとき、

　 |\varphi(a)|^2=1+\frac{2r}{1-r^2}\sin\{\theta\}

　 |\varphi(a+b)|^2 &=1+\frac{2r}{1-r^2}\sin(2kb+\theta)\\ &=1+\frac{2r}{1-r^2}\sin\{2(kb+\theta)-\theta\}\\ &=1+\frac{2r}{1-r^2}\sin\{2\pi(n+1/2)-\theta\}\\ &=1+\frac{2r}{1-r^2}\sin\theta\\

となり、位相 \theta だけ染み出すものの、 ほぼ井戸の両端でゼロになっている。

すなわち、共鳴トンネルは入射波エネルギーが 井戸の準定常状態のエネルギーと一致することが条件となっている。

k が n 番目の共振波長を k_n に近いと近似してみると、

　 |C|^2 &=\frac{1}{\left[\left(\frac{1+r^2}{1-r^2}\right)^2-1\right]\sin^2(b(k-k_n))+1}\\ &\sim\frac{1}{\left(\frac{1-r^2}{2br}\right)^{-2}(k-k_n)^2+1}\\

のようにローレンツ型の共振特性が得られる。

このときの半値幅は、 \Delta k=\frac{1-r^2}{br} となる。

反射率が高く r\sim 1 のとき、

　 \Delta k\sim\frac{1}{b}(障壁１つあたりの透過率)^2

また、

　 k-k_n&=\sqrt{2m\varepsilon/\hbar^2}-k_n\\ &=k_n\left(\sqrt{1+(\varepsilon-\varepsilon_n)/\varepsilon_n}-1\right)\\ &=k_n\big\{1+(\varepsilon-\varepsilon_n)/2\varepsilon_n-1\big\}\\ &=\frac{k_n}{2\varepsilon_n}(\varepsilon-\varepsilon_n)\\

より、

　 |C|^2 &\sim\frac{1}{\left(\frac{1-r^2}{2r}\frac{2\varepsilon_n}{k_nb}\right)^{-2}(\varepsilon-\varepsilon_n)^2+1}\\

として、エネルギー表示においてもやはりローレンツ型の表示が可能である。

このときのエネルギー幅は、 \Delta \varepsilon =\frac{1-r^2}{br}\frac{2\varepsilon_n}{k_n} =\frac{1-r^2}{br}\sqrt{\frac{2\hbar^2\varepsilon_n}{m}} で、反射率が高いときには (1-r^2)/r はほぼ透過率と等しくなるから、

　 \Delta \varepsilon =\frac{2\varepsilon_n}{k_nb}(障壁１つあたりの透過率)^2 =\sqrt{\frac{2\hbar^2\varepsilon_n}{b^2m}}(障壁１つあたりの透過率)^2

となる。

これらのローレンツ型の式は、あくまで k や \varepsilon が共振点に非常に近いことを前提としており、 r の k 依存性や、 \sin(bk-bk_n)\sim b(k-k_n) などの１次近似の範囲内でのみ成立することに注意が必要である。

　 (障壁１つあたりの透過率)=\frac{4\epsilon(V_0-\epsilon)}{V_0^2}\exp\left[-2a\sqrt{\frac{2m}{\hbar^2}(V_0-\varepsilon)}\right]

なので、エネルギーが高くなればエネルギー幅は広くなる。

k に対する透過率と、その際の |\varphi(x)|^2 の分布をプロットした。

[添付]

透過率を \varepsilon に対する分布とすると次のようになる。

[添付]

  • 波数あるいはエネルギーが障壁に挟まれた領域のエネルギー準位に一致すると透過率が１になる
    • ピークにおいて、障壁内部の確率密度はその両端でほぼゼロになる
  • ピーク幅はエネルギーが高くなると広くなる

非対称２重トンネル †

　 \begin{pmatrix}C\\D\end{pmatrix} &= \frac{1}{\sqrt{1-r^2}\sqrt{1-r'^2}} \begin{pmatrix} e^{i\theta}&-ir\\ ir&e^{-i\theta} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}e^{ikb}&\\&e^{-ikb}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} e^{i\theta'}&-ir'\\ ir'&e^{-i\theta'} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}A\\B\end{pmatrix}\\ &= \frac{1}{\sqrt{1-r^2}\sqrt{1-r'^2}} \begin{pmatrix} e^{ikb+i\theta}&-ire^{-ikb}\\ ire^{ikb}&e^{-ikb-i\theta} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} e^{i\theta'}&-ir'\\ ir'&e^{-i\theta'} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}A\\B\end{pmatrix}\\ &= \frac{1}{\sqrt{1-r^2}\sqrt{1-r'^2}} \begin{pmatrix} e^{ikb+i(\theta+\theta')}+rr'e^{-ikb}& -ir'e^{ikb+i\theta}-ire^{-ikb-i\theta'}\\ ire^{ikb+i\theta'}+ir'e^{-ikb-i\theta}& rr'e^{ikb}+e^{-ikb-i(\theta+\theta')} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}A\\B\end{pmatrix}\\

A=1,D=0 と置いて、

　 |B|^2 &=\left|\frac{ire^{ikb+i\theta'}+ir'e^{-ikb-i\theta}}{rr'e^{ikb}+e^{-ikb-i(\theta+\theta')}} \right|^2\\ &=\left|\frac{re^{ikb+i(\theta+\theta')/2}+r'e^{-ikb-i(\theta+\theta')/2}} {rr'e^{ikb+i(\theta+\theta')/2}+e^{-ikb-i(\theta+\theta')/2}} \right|^2\\ &=\frac{(r+r')^2\cos^2\{kb+(\theta+\theta')/2\}+(r-r')^2\sin^2\{kb+(\theta+\theta')/2\}} {(rr'+1)^2\cos^2\{kb+(\theta+\theta')/2\}+(rr'-1)^2\sin^2\{kb+(\theta+\theta')/2\}}\\ &=\frac{\{(r+r')^2-(r-r')^2\}\cos^2\{kb+(\theta+\theta')/2\}+(r-r')^2} {\{(rr'+1)^2-(rr'-1)^2\}\cos^2\{kb+(\theta+\theta')/2\}+(rr'-1)^2}\\ &=\frac{4rr'\cos^2\{kb+(\theta+\theta')/2\}+(r-r')^2} {4rr'\cos^2\{kb+(\theta+\theta')/2\}+(1-rr')^2}\\

　 |C|^2=1-|B|^2 &=\frac{(1-rr')^2-(r-r')^2} {4rr'\cos^2\{kb+(\theta+\theta')/2\}+(1-rr')^2}\\ &=\frac{1-2rr'+r^2r'^2-r^2+2rr'-r'^2} {4rr'\cos^2\{kb+(\theta+\theta')/2\}+(1-rr')^2}\\ &=\frac{(1-r^2)(1-r'^2)}{(1-rr')^2}\frac{1} {\left\{\frac{1-rr'}{2\sqrt{rr'}}\right\}^{-2}\cos^2\{kb+(\theta+\theta')/2\}+1}\\

この関数は kb+(\theta+\theta')/2=\pi(n+1/2) の時に最大値

　 \frac{(1-r^2)(1-r'^2)}{(1-rr')^2}

を取る。このとき、

　 |\varphi(a)|^2=1+\frac{2r}{1-r^2}\sin\{\theta\}

　 |\varphi(a+b)|^2 &=1+\frac{2r}{1-r^2}\sin\theta'\\

であり、ピーク幅は、

　 \frac{1-rr'}{b\sqrt{rr'}}

となる。両側の反射率の相乗平均を取って r_\mathrm{mean}=\sqrt{rr'} とすると、

　 \Delta k=\frac{1-r_\mathrm{mean}^2}{br_\mathrm{mean}}

となり、対称な場合の結果と一致する。

対称２重トンネルの結果が、

　 \Delta k=\frac{1}{b}(壁１枚の透過率)^2

だったのに、

　 \Delta k\ne\frac{1}{b}(壁１の透過率)(壁２の透過率)

なのは興味深い。

むしろ、対称な時を

　 \Delta k=\frac{1}{b}\Big[1-(壁１枚の反射率)^2\Big]

と書き、非対称なときに

　 \Delta k=\frac{1}{b}\Big[1-(壁１の反射率)(壁２の反射率)\Big]

と書けることが本質であるということか？

左右対称３重トンネル †

　 &\begin{pmatrix}C\\D\end{pmatrix}\\ &= \frac{1}{\sqrt{1-r^2}(1-r'^2)} \begin{pmatrix} e^{i\theta'}&-ir'\\ ir'&e^{-i\theta'} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}e^{ikb}&\\&e^{-ikb}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} e^{i\theta}&-ir\\ ir&e^{-i\theta} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}e^{ikb}&\\&e^{-ikb}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} e^{i\theta'}&-ir'\\ ir'&e^{-i\theta'} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}A\\B\end{pmatrix}\\ &= \frac{1}{\sqrt{1-r^2}(1-r'^2)} \begin{pmatrix} e^{i\theta'}&-ir'\\ ir'&e^{-i\theta'} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}e^{ikb}&\\&e^{-ikb}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} e^{ikb+i(\theta+\theta')}+rr'e^{-ikb}& -ir'e^{ikb+i\theta}-ire^{-ikb-i\theta'}\\ ire^{ikb+i\theta'}+ir'e^{-ikb-i\theta}& rr'e^{ikb}+e^{-ikb-i(\theta+\theta')} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}A\\B\end{pmatrix}\\ &= \frac{1}{\sqrt{1-r^2}(1-r'^2)} \begin{pmatrix} e^{i\theta'}&-ir'\\ ir'&e^{-i\theta'} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} e^{2ikb+i(\theta+\theta')}+rr'& -ir'e^{2ikb+i\theta}-ire^{-i\theta'}\\ ire^{i\theta'}+ir'e^{-2ikb-i\theta}& rr'+e^{-2ikb-i(\theta+\theta')} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}A\\B\end{pmatrix}\\ &= \frac{1}{\sqrt{\dots}(\dots)} \begin{pmatrix} e^{2ikb+i(\theta+2\theta')}+r'^2e^{-2ikb-i\theta}+2rr'e^{i\theta'}& -ir'e^{2ikb+i(\theta+\theta')}-ir(1+r'^2) -ir'e^{-2ikb-i(\theta+\theta')}\\ ir'e^{2ikb+i(\theta+\theta')}+ir(1+r'^2)+ir'e^{-2ikb-i(\theta+\theta')}& e^{-2ikb-i(\theta+2\theta')}+r'^2e^{2ikb+i\theta}+2rr'e^{-i\theta'} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}A\\B\end{pmatrix}\\

A=1,D=0 と置いて、

　 |B|^2 &=\left|\frac{ir'e^{2ikb+i(\theta+\theta')}+ir(1+r'^2)+ir'e^{-2ikb-i(\theta+\theta')}} {e^{-2ikb-i(\theta+2\theta')}+r'^2e^{2ikb+i\theta}+2rr'e^{-i\theta'}}\right|^2\\ &=\frac{\big\{2r'\cos(2kb+\theta+\theta')+r(1+r'^2)\big\}^2} {\left|e^{-2ikb-i(\theta+\theta')}+r'^2e^{2ikb+i(\theta+\theta')}+2rr'\right|^2}\\ &=\frac{\big\{2r'\cos(2kb+\theta+\theta')+r(1+r'^2)\big\}^2} {\left|(1+r'^2)\cos(2kb+\theta+\theta')+2rr'+i(1-r'^2)\sin(kb+\theta+\theta')\right|^2}\\ &=\frac{\big\{2r'\cos(2kb+\theta+\theta')+r(1+r'^2)\big\}^2} {\big\{(1+r'^2)\cos(2kb+\theta+\theta')+2rr'\big\}^2+(1-r'^2)^2\sin^2(kb+\theta+\theta')}\\ &=\frac{\big\{2r'\cos(2kb+\theta+\theta')+r(1+r'^2)\big\}^2} {\big\{(1+r'^2)\cos(2kb+\theta+\theta')+2rr'\big\}^2+(1-r'^2)^2-(1-r'^2)^2\cos^2(kb+\theta+\theta')}\\

　 (分母) =&(1+r'^2)^2\cos^2(2kb+\theta+\theta')+4rr'(1+r'^2)\cos(2kb+\theta+\theta')+4r^2r'^2+\\ &\ \ \ \ (1-r'^2)^2-(1-r'^2)^2\cos^2(kb+\theta+\theta')\\ =&4r'^2\cos^2(2kb+\theta+\theta')+4rr'(1+r'^2)\cos(2kb+\theta+\theta')+4r^2r'^2+(1-r'^2)^2\\ =&\big\{2r'^2\cos^2(2kb+\theta+\theta')+r(1+r'^2)\big\}^2-r^2(1+r'^2)^2+4r^2r'^2+(1-r'^2)^2\\ =&\big\{2r'^2\cos^2(2kb+\theta+\theta')+r(1+r'^2)\big\}^2-r^2(1-r'^2)^2+(1-r'^2)^2\\ =&\big\{2r'^2\cos^2(2kb+\theta+\theta')+r(1+r'^2)\big\}^2+(1-r^2)(1-r'^2)^2\\

　 |C|^2=1-|B|^2 &=\frac{(1-r^2)(1-r'^2)^2} {\big\{2r'\cos(2kb+\theta+\theta')+r(1+r'^2)\big\}^2+(1-r^2)(1-r'^2)^2}\\ &=\frac{1} {\frac{4r'^2}{(1-r^2)(1-r'^2)^2}\big\{\cos(2kb+\theta+\theta')+\frac{r(1+r'^2)}{2r'}\big\}^2+1}\\

透過確率が１になるのは

　 \cos(2kb+\theta+\theta')=-\frac{r(1+r'^2)}{2r'}

\frac{r(1+r'^2)}{2r'}<1 は r<\frac{2r'}{1+r'^2} だから、 両側に比べてそこそこ中央が通りやすければ解がある。

その周辺に於いて、

　 |C|^2 &=\frac{1} {\frac{4r'^2}{(1-r^2)(1-r'^2)^2}4b^2\left[1-\left(\frac{r(1+r'^2)}{2r'}\right)^2\right](k-k_n)^2+1}\\ &=\frac{1} {4b^2\frac{4r'^2-r^2(1+r'^2)^2}{(1-r^2)(1-r'^2)^2}(k-k_n)^2+1}\\ &=\frac{1} {4b^2\frac{(2r'-r-rr'^2)(2r'+r+rr'^2)}{(1-r^2)(1-r'^2)^2}(k-k_n)^2+1}\\

だから、ピーク幅は

　 \Delta k=\frac{\sqrt{(1-r^2)}(1-r'^2)}{b\sqrt{(2r'-r-rr'^2)(2r'+r+rr'^2)}}

となる。

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