量子力学Ⅰ/波動関数の解釈/メモ

(1282d) 更新

目次

概要

量子力学Ⅰ/波動関数の解釈 に関するメモです。

測定される物理現象

Mathematica ソース

干渉のアニメーションを表示する。

LANG:mathematica
anim = Table[
   Plot3D[
     Re[ Exp[I(Sqrt[(x - d)^2 + y^2] - t)]/((x - d)^2 + y^2) + 
         Exp[I(Sqrt[(x + d)^2 + y^2] - t)]/((x + d)^2 + y^2) ] /. d -> 20.25,
    {x, -30, 30}, {y, 0, 60}, 
    Mesh -> None, Mesh -> Automatic, ViewPoint -> 1.4 {1.2, 1, 1}, 
    PlotPoints -> 401, ImageSize -> Large, 
    PlotRange -> {{-30, 30}, {0, 60}, {-0.01, 0.01}}
  ], {t, 0, 2 Pi, 2 Pi/40}
];
Export["double-slit.gif", anim, "GIF"]

2015-02-23 時点において、この計算にはかなりの時間(10分単位)がかかる。

確率密度の時間変化

全確率の保存

線形代数を用いた証明

シュレーディンガー方程式を変形すれば、

  \frac{\PD}{\PD t}\psi(\bm r,t)=(-i\hat H/\hbar)\psi(\bm r,t)

と書ける。したがって、 \Delta t が小さく t から t+\Delta t の間に \hat H(\hat{\bm r},\hat{\bm p},t) が変化しないと見なせるとき、

  \psi(\bm r,t+\Delta t)=e^{-i\Delta t\hat H(\hat{\bm r},\hat{\bm p},t)/\hbar}\psi(\bm r,t)

と表せることになる。

\hat H がエルミートであれば -\Delta t\hat H/\hbar もエルミートであるから、

  \hat U=e^{-i\Delta t\hat H(\hat{\bm r},\hat{\bm p},t)/\hbar}

の部分はユニタリーになる。→ [ H がエルミート行列の時、 e^{iH} がユニタリーになることの証明]

ユニタリー変換の性質より、

  \|\psi(\bm r,t+\Delta t)\|^2=\|\hat U\psi(\bm r,t)\|^2=\|\psi(\bm r,t)\|^2

である。

この等式が任意の時刻に成り立つことから、シュレーディンガー方程式に従った波動関数の時間発展では、 確率密度が保存される*1時間発展演算子はユニタリーである、とも言える


*1 時間発展演算子はユニタリーである、とも言える

Counter: 1318 (from 2010/06/03), today: 4, yesterday: 4