球座標における微分演算子

(248d) 更新

直交座標との対応

\begin{cases} x=r\sin\theta\cos\phi\\ y=r\sin\theta\sin\phi\\ z=r\cos\theta \end{cases}

微分の変換

ある関数 f(r,\theta,\phi) について、 x が微小量 dx だけ変化すると、 f df だけ変化するとする。

一方、 x dx 変化すれば r,\theta,\phi もそれぞれ dr,d\theta,d\phi だけ変化するとする。

このとき、

  df=\frac{\PD f}{\PD x}dx&=\frac{\PD f}{\PD r}dr+\frac{\PD f}{\PD \theta}d\theta+\frac{\PD f}{\PD \phi}d\phi\\ &=\frac{\PD f}{\PD r}\frac{\PD r}{\PD x}dx+\frac{\PD f}{\PD \theta}\frac{\PD \theta}{\PD x}dx+\frac{\PD f}{\PD \phi}\frac{\PD \phi}{\PD x}dx

したがって、

  \frac{\PD f}{\PD x}=\frac{\PD r}{\PD x}\frac{\PD f}{\PD r}+ \frac{\PD \theta}{\PD x}\frac{\PD f}{\PD \theta}+ \frac{\PD \phi}{\PD x}\frac{\PD f}{\PD \phi}

同様にして、

  \begin{cases} \displaystyle\frac{\PD }{\PD x}=\frac{\PD r}{\PD x}\frac{\PD}{\PD r}+\frac{\PD \theta}{\PD x}\frac{\PD}{\PD \theta}+\frac{\PD \phi}{\PD x}\frac{\PD}{\PD \phi}\\[4mm] \displaystyle\frac{\PD }{\PD y}=\frac{\PD r}{\PD x}\frac{\PD}{\PD r}+\frac{\PD \theta}{\PD x}\frac{\PD}{\PD \theta}+\frac{\PD \phi}{\PD x}\frac{\PD}{\PD \phi}\\[4mm] \displaystyle\frac{\PD }{\PD z}=\frac{\PD r}{\PD x}\frac{\PD}{\PD r}+\frac{\PD \theta}{\PD x}\frac{\PD}{\PD \theta}+\frac{\PD \phi}{\PD x}\frac{\PD}{\PD \phi}\\ \end{cases}

さらに計算を進めるには、 \frac{\PD r}{\PD x} などを求める必要がある。

演習:偏微分の計算

以下、全微分と異なり \frac{\PD r}{\PD x}\ne\Big(\frac{\PD x}{\PD r}\Big)^{-1} であることに注意せよ。

(1) r^2=x^2+y^2+z^2 の関係を用いて、 \frac{\PD r}{\PD x},\frac{\PD r}{\PD y},\frac{\PD r}{\PD z} r,\theta,\phi で書き表せ。

(2) \tan^2\theta=\frac{x^2+y^2}{z^2} の関係を用いて、 \frac{\PD \theta}{\PD x},\frac{\PD \theta}{\PD y},\frac{\PD \theta}{\PD z} r,\theta,\phi で書き表せ。

(3) \tan\phi=\frac{y}{x} の関係を用いて、 \frac{\PD \phi}{\PD x},\frac{\PD \phi}{\PD y},\frac{\PD \phi}{\PD z} r,\theta,\phi で書き表せ。


● 解答はこちら


上記結果を代入すれば、

  \begin{cases} \displaystyle\frac{\PD}{\PD x}= \sin\theta\cos\phi \frac{\PD}{\PD r} +\frac{1}{r}\cos\theta\cos\phi \frac{\PD}{\PD \theta} -\frac{\sin\phi}{r\sin\theta} \frac{\PD}{\PD \phi}\\[4mm] \displaystyle\frac{\PD}{\PD y}= \sin\theta\sin\phi \frac{\PD}{\PD r} +\frac{1}{r}\cos\theta\sin\phi \frac{\PD}{\PD \theta} +\frac{\cos\phi}{r\sin\theta} \frac{\PD}{\PD \phi}\\[4mm] \displaystyle \frac{\PD}{\PD z}= \cos\theta \frac{\PD}{\PD r} -\frac{1}{r}\sin\theta \frac{\PD}{\PD \theta}\\[4mm] \end{cases}

球座標のラプラシアン

  \triangle=\nabla^2=\frac{\PD^2}{\PD x^2}+\frac{\PD^2}{\PD y^2}+\frac{\PD^2}{\PD z^2}

に上記を代入すれば求まる! ・・・ 実際やってみると非常に大変。→ 計算の詳細

結果だけまとめると、

  \nabla^2&=\frac{\PD^2}{\PD r^2}+\frac{2}{r} \frac{\PD}{\PD r}+\frac{1}{r^2}\hat\Lambda\\ &=\frac{1}{r}\frac{\PD^2}{\PD r^2}r+\frac{1}{r^2}\hat\Lambda

ただし、

  \hat\Lambda=\frac{1}{\sin\theta} \frac{\PD}{\PD \theta} \Big(\sin\theta\frac{\PD}{\PD \theta}\Big)+\frac{1}{\sin^2\theta} \frac{\PD^2}{\PD \phi^2}

球座標の角運動量演算子

原点中心の角運動量 \bm l=\bm r\times\bm p に相当する角運動量演算子は \hat{\bm l}=\bm r\times\frac{\hbar}{i}\bm\nabla となるのであった。

これを球座標表示にするのも、原理的には単に代入すればよい。が、やはり計算は大変 → 詳細はこちら

\begin{cases} \displaystyle \hat l_x=-i\hbar\Big(y\frac{\PD}{\PD z}-z\frac{\PD}{\PD y}\Big) =i\hbar\Big(+\sin\phi\frac{\PD}{\PD\theta}+\frac{\cos\phi}{\tan\theta}\frac{\PD}{\PD\phi}\Big) \\[4mm] \displaystyle \hat l_y=-i\hbar\Big(z\frac{\PD}{\PD x}-x\frac{\PD}{\PD z}\Big) =i\hbar\Big(-\cos\phi\frac{\PD}{\PD\theta}+\frac{\sin\phi}{\tan\theta}\frac{\PD}{\PD\phi}\Big) \\[4mm] \displaystyle \hat l_z=-i\hbar\Big(x\frac{\PD}{\PD y}-y\frac{\PD}{\PD x}\Big) =-i\hbar\frac{\PD}{\PD\phi} \end{cases}

全角運動量は、

  \hat{\bm l}^2&=\hat l_x^2+\hat l_y^2+\hat l_z^2 =-\hbar^2\Big[\frac{1}{\sin\theta}\frac{\PD}{\PD\theta}\Big(\sin\theta\frac{\PD}{\PD\theta}\Big)+\frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\PD^2}{\PD\phi^2}\Big] =-\hbar^2\hat\Lambda

z 方向を除くと、

  \hat l_x^2+\hat l_y^2=&\,\hat{\bm l}^2-\hat l_z^2\\ =&-\hbar^2\left[\frac{1}{\sin\theta} \frac{\PD}{\PD \theta} \Big(\sin\theta\frac{\PD}{\PD \theta}\Big)+\frac{1}{\sin^2\theta} \frac{\PD^2}{\PD \phi^2}\right]+\hbar^2\frac{\PD^2}{\PD \phi^2}\\ =&-\hbar^2\left[\frac{1}{\sin\theta} \frac{\PD}{\PD \theta} \Big(\sin\theta\frac{\PD}{\PD \theta}\Big)+\frac{1}{\tan^2\theta} \frac{\PD^2}{\PD \phi^2}\right]\\

このほかに、

  \hat l_\pm=\hat l_x\pm i\hat l_y=\hbar e^{\pm i\phi}\Big(\pm\frac{\PD}{\PD\theta}+\frac{i}{\tan\theta}\frac{\PD}{\PD\phi}\Big)

も有用な演算子となることを後に見る。


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