球座標を用いた変数分離/メモ

(979d) 更新

量子力学Ⅰ/球座標を用いた変数分離

解答:時間に依存しないシュレーディンガー方程式の極座標 変数分離

(1)

  \frac{1}{r}\frac{\PD^2}{\PD r^2}(r\varphi) &=\frac{1}{r}\frac{\PD}{\PD r}\varphi+\frac{1}{r}\frac{\PD}{\PD r}\left(r\frac{\PD}{\PD r}\varphi\right)\\ &=\frac{2}{r}\frac{\PD}{\PD r}\varphi+\frac{\PD^2}{\PD r^2}\varphi\\

(2)

  \left(-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+V(r)\right)\varphi(r,\theta,\phi)=\varepsilon\varphi(r,\theta,\phi)

より、

  \left\{ -\frac{\hbar^2}{2m}\left(\frac{1}{r}\frac{\PD^2}{\PD r^2}r+\frac{1}{r^2}\hat\Lambda\right)+ V(r)\right\}\varphi(r,\theta,\phi)=\varepsilon\varphi(r,\theta,\phi)

(3)

\varphi(r,\theta,\phi)=R(r)Y(\theta,\phi) を代入すれば、

  &\Big(r\frac{\PD^2}{\PD r^2}r+\hat\Lambda\Big)R(r)Y(\theta,\phi)+\frac{2m}{\hbar^2}r^2\Big(\varepsilon-V(r)\Big)R(r)Y(\theta,\phi)=0\\

  &\left\{r\frac{\PD^2}{\PD r^2}rR(r)\right\}\frac{1}{R(r)}+\frac{2m}{\hbar^2}r^2\Big(\varepsilon-V(r)\Big)=-\frac{\hat\Lambda Y(\theta,\phi)}{Y(\theta,\phi)}=l(l+1)\\

一行目の左辺は r のみの関数、右辺は \theta,\phi のみの関数であるから、 これらは定数でなければならない。 その定数を後を見越して l(l+1) と置いた。

R(r) について、

  &r\frac{d^2}{d r^2}rR(r)+\frac{2m}{\hbar^2}r^2\Big(\varepsilon-V(r)\Big)R(r)=l(l+1)R(r)\\ &\frac{d^2}{d r^2}rR(r)+\frac{2m}{\hbar^2}\Big(\varepsilon-V(r)\Big)rR(r)=\frac{l(l+1)}{r^2}rR(r)\\ &-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{d r^2}rR(r)+\left\{V(r)+\frac{\hbar^2l(l+1)}{2mr^2}\right\}rR(r)=\varepsilon\,rR(r)\\

Y(\theta,\phi) について、

  \hat\Lambda Y(\theta,\phi)+l(l+1)Y(\theta,\phi)=0

(4) \hat l^2=-\hbar^2\hat\Lambda より、

  \hat l^2Y(\theta,\phi)=\hbar^2l(l+1)Y(\theta,\phi)

\hat\Lambda R(r) には作用しないので、

  \hat l^2R(r)Y(\theta,\phi)=\hbar^2l(l+1)R(r)Y(\theta,\phi)

すなわち、

  \hat l^2\varphi(r,\theta,\phi)=\hbar^2l(l+1)\varphi(r,\theta,\phi)

(5) L=mr^2\omega より \omega=L/mr^2

\frac{d}{dr}V_c(r)=-f_c=-mr\omega^2=-\frac{L^2}{mr^3} より

  V_c(r)=mr^2\omega^2/2

ただし原点におけるポテンシャルをゼロとした。 L=mr^2\omega を使って書き直せば、

  V_c(r)=\frac{L^2}{2mr^2}

一方、(3) で得た方程式に現れる項は、 Y(\theta,\phi) に対して \hat l^2=\hbar^2l(l+1) より、

  V_c(r)=\frac{\hat l^2}{2mr^2}

と書ける。

L が一定となる条件を忘れて \frac{d}{dr}V_c(r)=-f_c=-mr\omega^2 をそのまま積分すると 符号が変わり V_c(r)=-mr^2\omega^2/2 となってしまうため注意せよ。

(6)

  &\left\{\frac{1}{\sin\theta} \frac{\PD}{\PD \theta}\Big(\sin\theta\frac{\PD}{\PD \theta}\Big)+ \frac{1}{\sin^2\theta} \frac{\PD^2}{\PD \phi^2}\right\} \Theta(\theta)\Phi(\phi)=-l(l+1)\Theta(\theta)\Phi(\phi)\\ &\left[\left\{\sin\theta \frac{\PD}{\PD \theta}\Big(\sin\theta\frac{\PD}{\PD \theta}\Big)+ l(l+1)\sin^2\theta\right\}\Theta(\theta)\right]\frac{1}{\Theta(\theta)} =\left\{-\frac{\PD^2}{\PD \phi^2}\Phi(\phi)\right\}\frac{1}{\Phi(\phi)}\\ &=m^2

2行目の左辺は \theta だけの、右辺は \phi だけの関数であるため、 定数 -m^2 と置いた。

\Theta(\theta) について、

  \left\{\sin\theta \frac{\PD}{\PD \theta}\Big(\sin\theta\frac{\PD}{\PD \theta}\Big)+ l(l+1)\sin^2\theta-m^2\right\}\Theta(\theta)=0

\Phi(\phi) について、

  \frac{\PD^2}{\PD \phi^2}\Phi(\phi)=-m^2\Phi(\phi)

(7) (6) より、(ここでは \pm の符号を付ける代わりに -m +m を別々の量子数として取り入れた)

  \frac{\PD}{\PD \phi}\Phi(\phi)=im\Phi(\phi)

一方、 \hat l_z=-i\hbar\frac{\PD}{\PD\phi} より、

  \hat l_z\Phi(\phi)=\hbar m\Phi(\phi)

また、 \hat l_z R(r),\Theta(\theta) には作用しないため、

  \hat l_zR(r)\Theta(\theta)\Phi(\phi)=\hbar mR(r)\Theta(\theta)\Phi(\phi)

  \hat l_z\varphi(r,\theta,\phi)=\hbar m\varphi(r,\theta,\phi)


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