スピントロニクス理論の基礎/8-10 のバックアップ(No.11)

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8-10 不純物散乱のもとでの Green 関数

(8.116)

&math( &v_i(\bm q)\equiv \frac{1}{V}\int d^3re^{i\bm q\cdot\bm r}v_i(\bm r)\\ &=\frac{1}{V}\sum_k^{N_i}v_ka^3\int d^3re^{i\bm q\cdot\bm r}[\delta(\bm r-\bm R_k)-1/V]\\ &=\frac{a^3}{V}\sum_k^{N_i}v_k(e^{i\bm q\cdot\bm R_k}-\delta_{\bm q,0}) );

を不純物散乱ポテンシャルの Fourier 変換と定義する。

この定義は (8.74) 等に与えられた c(\bm r,t) の Fourier 変換とは V の配置や i の符号などが異なるので注意が必要。

これに対応するハミルトニアンは、

(8.116)

&math( &V_i=\int d^3rv_i(\bm r)c^\dagger(\bm r)c(\bm r)\\ &=\int d^3r \left(\sum_{\bm q}e^{-i\bm q\cdot\bm r}v_i(\bm q)\right) \left(\frac{1}{\sqrt V}\sum_{\bm k}e^{-i\bm k\cdot\bm r}c_{\bm k}^\dagger\right) \left(\frac{1}{\sqrt V}\sum_{\bm k'}e^{i\bm k'\cdot\bm r}c_{\bm k'}\right)\\ &=\sum_{\bm q,\bm k,\bm k'}v_i(\bm q)c_{\bm k}^\dagger c_{\bm k'}\frac{1}{V}\int d^3re^{i(-\bm q-\bm k+\bm k')\cdot\bm r}\\ &=\sum_{\bm q,\bm k,\bm k'}v_i(\bm q)c_{\bm k}^\dagger c_{\bm k'}\delta_{\bm q+\bm k,\bm k'}\\ &=\sum_{\bm q,\bm k}v_i(\bm q)c^\dagger(\bm k)c(\bm k+\bm q) );

となる。

今考えているようなポテンシャルでは電子の振動数が変わらないため、単一の \omega によって表すことができる。

&math(g_{\bm k,\bm k',\omega,\omega'}= 2\pi \delta(\omega-\omega')g_{\bm k,\bm k',\omega});

さらに 8-7 で見たように、 g_0 に関しては、単一の \bm k で表せる。

&math(g_{0\bm k,\bm k',\omega}= \delta_{\bm k,\bm k'}g_{0\bm k,\omega});

(8.117)

係数を正しく付けるために次元について確認

  • g_{\bm k,\bm k',\omega,\omega'} は (8.76) によれば Gd^3r で無次元、 d^3r'/V で無次元、 dtdt'/\hbar が残って (時間/エネルギー) の次元を持つ
  • g_{\bm k,\bm k',\omega} \delta(\omega-\omega') が外に出るので、(1/エネルギー) の次元を持つ
  • v_i(\bm q) は (8.116) によれば v_i と同じ次元で、これは (エネルギー) の次元を持つ

実のところ、ここでのフーリエ係数の定義は係数の付け方などが数学の授業とは異なるので、 慎重に計算していかないと正しい答えが得られない。実際に計算を進めるとかなり大変。

&math( &g_{\bm k,\bm k',\omega,\omega'}^r= \frac{1}{\hbar V}\int dt\int dt'\int d^3r\int d^3r' e^{i(\omega t-\omega't'-\bm k\cdot\bm r+\bm k'\cdot\bm r')}g^r(\bm r,t,\bm r',t')\\ &= \frac{1}{\hbar V}\int dt\int dt'\int d^3r\int d^3r' e^{i(\omega t-\omega't'-\bm k\cdot\bm r+\bm k'\cdot\bm r')} g_0^r(\bm r,t,\bm r',t')\\ &+ \frac{1}{\hbar V}\int dt\int dt'\int d^3r\int d^3r' e^{i(\omega t-\omega't'-\bm k\cdot\bm r+\bm k'\cdot\bm r')} \frac{1}{\hbar}\int dt_1\int d^3r_1 g_0^r(\bm r,t,\bm r_1,t_1)v_i(\bm r_1)g^r(\bm r_1,t_1,\bm r',t')\\ &= g_{0\bm k,\bm k',\omega,\omega'}^r+ \frac{1}{\hbar^2 V}\int dt_1\int d^3r_1 \int dt\int dt'\int d^3r\int d^3r' e^{i(\omega t_1-\omega't'-\bm k\cdot\bm r_1+\bm k'\cdot\bm r')} \\ &\hspace{1cm}\times e^{i\omega (t-t_1)}e^{-i\bm k\cdot(\bm r-\bm r_)} g_0^r(\bm r-\bm r_1,t-t_1)v_i(\bm r_1)g^r(\bm r_1,t_1,\bm r',t')\\ &= 2\pi\delta(\omega-\omega')\delta_{\bm k,\bm k'}g_{0\bm k,\omega}^r+ \frac{1}{\hbar V}\int dt_1\int d^3r_1 \int dt'\int d^3r' e^{i(\omega t_1-\omega't'-\bm k\cdot\bm r_1+\bm k'\cdot\bm r')}\\ &\hspace{1cm}\times \left[\frac{1}{\hbar}\int d^3(r-r_1)\int d(t-t_1)e^{-i\bm k\cdot(\bm r-\bm r_)}e^{i\omega (t-t_1)} g_0^r(\bm r-\bm r_1,t-t_1)\right]v_i(\bm r_1)g^r(\bm r_1,t_1,\bm r',t')\\ &=2\pi\delta(\omega-\omega')\delta_{\bm k,\bm k'}g_{0\bm k,\omega}^r+ \frac{g_{0\bm k,\omega}^r}{\hbar V}\int dt_1\int d^3r_1 \int dt'\int d^3r' e^{i(\omega t_1-\omega't'-\bm k\cdot\bm r_1+\bm k'\cdot\bm r')} \Big[\sum_{\bm q}e^{-i\bm q\cdot\bm r_1}v_i(\bm q) \Big] g^r(\bm r_1,t_1,\bm r',t')\\ &=2\pi\delta(\omega-\omega')\delta_{\bm k,\bm k'}g_{0\bm k,\omega}^r+ \frac{g_{0\bm k,\omega}^r}{\hbar V} \sum_{\bm q}v_i(\bm q) \int d^3r_1\int d^3r'\int dt_1\int dt'e^{i(\omega t_1-\omega't'-i(\bm k+\bm q)\cdot\bm r_1+\bm k'\cdot\bm r')} g^r(\bm r_1,t_1,\bm r',t')\\ &=2\pi\delta(\omega-\omega')\delta_{\bm k,\bm k'}g_{0\bm k,\omega}^r+ g_{0\bm k,\omega}^r \sum_{\bm q}v_i(\bm q) g_{\bm k+\bm q,\bm k',\omega,\omega'}^r\\ &=2\pi\delta(\omega-\omega')\left[\delta_{\bm k,\bm k'}g_{0\bm k,\omega}^r+ g_{0\bm k,\omega}^r \sum_{\bm q}v_i(\bm q) g_{\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^r\right] );

したがって、

&math(&g_{\bm k,\bm k',\omega}^r=\delta_{\bm k,\bm k'}g_{0\bm k,\omega}^r+ g_{0\bm k,\omega}^r \sum_{\bm q}v_i(\bm q) g_{\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^r);

(8.74)〜(8.76) や (8.116) のフーリエ変換の定義で係数がいろいろ工夫してある。 V を埋め込む場所が c v_i で異なったり、 数学的には意味のない \hbar が埋め込まれていたり。

これらの工夫は上式で余計な係数が出てこないようにするための、 細心の注意を払った定義であったことがここへ来て始めて分かる。

もう一度次元を確認しておくと、

  • g_{\bm k,\bm k',\omega} および g_{\bm k,\omega} は (1/エネルギー) の次元
  • v_i(\bm q) は (エネルギー) の次元を持っている

右辺の g^r を (8.117) で繰り返し展開すると、

(8.118)

&math( &g_{\bm k,\bm k',\omega}^r=\delta_{\bm k,\bm k'}g_{0\bm k,\omega}^r+ g_{0\bm k,\omega}^r \sum_{\bm q}v_i(\bm q) \big(\delta_{\bm k+\bm q,\bm k'}g_{0\bm k+\bm q,\omega}^r+ g_{0\bm k+\bm q,\omega}^r \sum_{\bm q'}v_i(\bm q')g_{\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^r \big)\\ &=g_{0\bm k,\omega}^r\delta_{\bm k,\bm k'}+ \sum_{\bm q}v_i(\bm q) g_{0\bm k,\omega}^r g_{0\bm k+\bm q,\omega}^r \delta_{\bm k+\bm q,\bm k'}+ \sum_{\bm q,\bm q'}v_i(\bm q) g_{0\bm k,\omega}^r g_{0\bm k+\bm q,\omega}^r v_i(\bm q')g_{\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^r\\ &=g_{0\bm k,\omega}^r\delta_{\bm k,\bm k'}+ \sum_{\bm q_1}v_i(\bm q_1) g_{0\bm k,\omega}^r g_{0\bm k+\bm q_1,\omega}^r \delta_{\bm k+\bm q_1,\bm k'}+ \sum_{\bm q_1,\bm q_2} g_{0\bm k,\omega}^r v_i(\bm q_1)g_{0\bm k+\bm q_1,\omega}^r v_i(\bm q_2)g_{0\bm k+\bm q_1+\bm q_2,\omega}^r \delta_{\bm k+\bm q_1+\bm q_2,\bm k'}+\dots\\ &+\sum_{\bm q_1,\bm q_2,\dots,\bm q_n} g_{0\bm k,\omega}^r v_i(\bm q_1)g_{0\bm k+\bm q_1,\omega}^r v_i(\bm q_2)g_{0\bm k+\bm q_1+\bm q_2,\omega}^r \dots v_i(\bm q_{n-1})g_{0\bm k+\bm q_1+\dots+\bm q_{n-1},\omega}^r v_i(\bm q_n)g_{0\bm k+\bm q_1+\dots+\bm q_n,\omega}\, \delta_{\bm k+\bm q_1+\dots+\bm q_n,\bm k'}\\ &+\dots\\ );

特徴を見ておくと、

  • n 次の項には n+1 個の g_0 が現われ、
  • その間に n 個の v_i(\bm q_?) が入っている
  • 一番右の \bm k+\bm q_1+\dots+\bm q_n \delta 関数により \bm k' に等しくなるため、 n 個の \sum のうち実質的に自由に動かせるのは n-1 個である。

v_i(\bm q) v_i(\bm q)v_i(\bm q') の中に現われる和について不純物の位置平均 &\langle \hspace{5 mm}\rangle_i\equiv \frac{1}{V^{N_i}}\int d^3R_{1}\int d^3R_{2}\dots\int d^3R_{N_i} を取る。

(8.119A)

&math(&\langle \sum_{k=1}^{N_i}e^{\textcolor{red}{i}\bm q\cdot\bm R_k}\rangle_i \equiv \frac{1}{V^{N_i}}\int d^3R_{1}\int d^3R_{2}\dots\int d^3R_{N_i} \sum_{k=1}^{N_i}e^{\textcolor{red}{i}\bm q\cdot\bm R_k}\\ &=\sum_{k=1}^{N_i} \frac{1}{V}\int d^3R_k e^{\textcolor{red}{i}\bm q\cdot\bm R_k} = N_i\delta_{\bm q,\bm 0});

&math( &\langle \sum_{k_1,k_2}e^{\textcolor{red}{i}\bm q_1\cdot\bm R_{k_1}}e^{\textcolor{red}{i}\bm q_2\cdot\bm R_{k_2}} \rangle_i\\ &=\frac{1}{V^{N_i}}\int d^3R_{1}\int d^3R_{2}\dots\int d^3R_{N_i} \sum_{k_1,k_2}e^{\textcolor{red}{i}\bm q_1\cdot\bm R_{k_1}}e^{\textcolor{red}{i}\bm q_2\cdot\bm R_{k_2}} \\ &= \sum_{k_1\ne k_2} \frac{1}{V^2} \int d^3R_{k_1}\int d^3R_{k_2} e^{\textcolor{red}{i}\bm q_1\cdot\bm R_{k_1}}e^{\textcolor{red}{i}\bm q_2\cdot\bm R_{k_2}}

  1. \sum_{k} \frac{1}{V} \int d^3R_{k} e^{\textcolor{red}{i}\bm q_1\cdot\bm R_{k}}e^{\textcolor{red}{i}\bm q_2\cdot\bm R_{k}}\\ &= N_i(N_i-1)\delta_{\bm q_1,\bm 0}\delta_{\bm q_2,\bm 0} + N_i\delta_{\bm q_1+\bm q_2,\bm 0} );

&math( &\langle \sum_{k_1,k_2,k_3}e^{\textcolor{red}{i}\bm q_1\cdot\bm R_{k_1}}e^{\textcolor{red}{i}\bm q_2\cdot\bm R_{k_2}}e^{\textcolor{red}{i}\bm q_2\cdot\bm R_{k_3}} \rangle_i\\ &= \sum_{k_1\ne k_2 \ne k_3} \delta_{\bm q_1,0}\delta_{\bm q_2,0}\delta_{\bm q_3,0}

  1. \sum_{k_1 = k_2 \ne k_3} \delta_{\bm q_1+\bm q_2,0}\delta_{\bm q_3,0}
  2. \sum_{k_1 \ne k_2 = k_3} \delta_{\bm q_1,0}\delta_{\bm q_2+q_3,0}
  3. \sum_{k_1 = k_3 \ne k_2} \delta_{\bm q_1+\bm q_3,0}\delta_{\bm q_2,0}
  4. \sum_{k_1 = k_3 = k_2} \delta_{\bm q_1+\bm q_2+\bm q_3,0}\\ &= N_i(N_i-1)(N_i-2)\delta_{\bm q_1,\bm 0}\delta_{\bm q_2,\bm 0}
  5. N_i(N_i-1)(\delta_{\bm q_1+\bm q_2,0}\delta_{\bm q_3,0}+\delta_{\bm q_1,0}\delta_{\bm q_2+q_3,0}+\delta_{\bm q_1+\bm q_3,0}\delta_{\bm q_2,0})
  6. N_i\delta_{\bm q_1+\bm q_2+\bm q_3,\bm 0} );

ここで、 v_i(\bm q=\bm 0) の成分はゼロなので、 \delta_{\bm q_?,\bm 0} を含む項はすべて消えて、

\langle v_i(\bm q_1) \rangle_i=0

\langle v_i(\bm q_1)v_i(\bm q_2) \rangle_i=N_iv_i^2\left(\frac{a^3}{V}\right)^2\delta_{\bm q_1+\bm q_2,\bm 0}=n_iv_i^2\frac{1}{N}\delta_{\bm q_1+\bm q_2,\bm 0}

\langle v_i(\bm q_1)v_i(\bm q_2)v_i(\bm q_3) \rangle_i=n_iv_i^3\frac{1}{N^2}\delta_{\bm q_1+\bm q_2+\bm q_3,\bm 0}

などとなる。

n 次の項では、 n 個の k_? のうち、そのすべてが、 どれか他の k_{?'} と等しくなる項以外は消えることになる。

どの k_? とどの k_? とが等しいかを表すために使われているのが あの不思議な点線の三角形。たとえば n=9 の時の図として、

8-119A.png

が与えられれば、 k_1=k_4=k_7 k_2=k_3=k_5=k_8 k_6=k_9 となることを表している。 これに対応して、δ関数部分は \delta_{\bm q_1+\bm q_4+\bm q_7,\bm 0}\delta_{\bm q_2+\bm q_3+\bm q_5+\bm q_8,\bm 0}\delta_{\bm q_6+\bm q_9,\bm 0} となる。 また、和を取る際に独立に動かせるのは k_1,k_2,k_6 の3つだけであり、しかもそれらは互いに等しくなってはいけないため、 その項数は _{N_i}C_3=N_i(N_i-1)(N_i-2) となる。 3\ll N_i のとき、 _{N_i}C_3=N_i^3 と見なしてしまって構わない。

したがって、上記の図に対応する因子は N_i^3\delta_{\bm q_1+\bm q_4+\bm q_7,\bm 0}\delta_{\bm q_2+\bm q_3+\bm q_5+\bm q_8,\bm 0}\delta_{\bm q_6+\bm q_9,\bm 0} となる。

n=4 であれば、

  • k_1=k_2,k_3=k_4 N_i^2\delta_{\bm q_1+\bm q_2,0}\delta_{\bm q_3+\bm q_4,0}
  • k_1=k_2=k_3=k_4 N_i\delta_{\bm q_1+\bm q_2+\bm q_3+\bm q_4,0}
  • k_1=k_4,k_2=k_3 N_i^2\delta_{\bm q_1+\bm q_4,0}\delta_{\bm q_2+\bm q_3,0}
  • k_1=k_3,k_2=k_4 N_i^2\delta_{\bm q_1+\bm q_3,0}\delta_{\bm q_2+\bm q_4,0}

の4つの場合以外の項は消えて、これらが (8.135)〜(8.139) で評価されている4つの場合に相当する。

このようにして現われる \delta 関数の部分に注目すると、 たとえば \delta_{\bm q_1+\bm q_2,0}\delta_{\bm q_3+\bm q_4,0} \bm q_1+\bm q_2=\bm q_3+\bm q_4=0 の時以外ゼロとなるため、 この項を評価するに当たっては、 \bm q_1+\bm q_2+\bm q_3+\bm q_4=0 と仮定して良い。

同様に、 n 次に現われるすべての項で \bm q_1+\bm q_2+\dots+\bm q_n=0 を仮定できる。

すると (8.118) に見るように、すべての n 次の項には \delta_{\bm k+\bm q_1+\bm q_2+\dots+\bm q_n,\bm k'} が含まれているため、 これを \delta_{\bm k,\bm k'} と書き換えることができて、

g_{\bm k,\bm k',\omega}^r\propto\delta_{\bm k,\bm k'}

これは、不純物平均により電子の運動量の保存が回復したことに対応している。 (平均により系の並進対称性が回復したと言い換えても良い、らしい)

そこで、

(8.121)

g_{\bm k,\bm k',\omega}^r\equiv\delta_{\bm k,\bm k'}g_{\bm k,\omega}^r

と書けて、

&math(g_{\bm k,\omega}^r=g_{0\bm k,\omega}^r+ n_iv_i^2\frac{1}{N}\sum_{\bm q_1}g_{0\bm k,\omega}^r g_{0\bm k+\bm q_1,\omega}^r g_{0\bm k,\omega}^r+ n_iv_i^3\frac{1}{N^2}\sum_{\bm q_1,\bm q_2}g_{0\bm k,\omega}^r g_{0\bm k+\bm q_1,\omega}^r g_{0\bm k+\bm q_1+\bm q_2,\omega}^r g_{0\bm k,\omega}^r+ \cdots);

などとなる。

2次の項に現われる \bm q_1 に対する和は、 \bm k_1=\bm k+\bm q_1 を新しい変数と考えると独立に評価することができて、

(8.122)

&math( \frac{1}{N}\sum_{\bm q_1}g_{\textcolor{red}{0}\bm k+\bm q_1,\omega}^r= \frac{1}{N}\sum_{\bm k_1}g_{\textcolor{red}{0}\bm k_1,\omega}^r= a^3\int\frac{d^3k}{(2\pi)^3}g_{\textcolor{red}{0}\bm k_1,\omega}^r= a^3\int\frac{d^3k}{(2\pi)^3}\frac{1}{\hbar\omega-\varepsilon_{\bm k}+i0} );

\bm k に対する積分を、 \varepsilon\equiv\varepsilon_{\bm k}=\frac{\hbar^2\bm k^2}{2m}-\varepsilon_F に対する積分に置き換えると、 ( \nu(\varepsilon) は 分散関係)

(8.123)

&math( \frac{1}{N}\sum_{\bm q_1}g_{\textcolor{red}{0}\bm k+\bm q_1,\omega}^r= \int_{-\epsilon_F}^\infty d\varepsilon\nu(\varepsilon)\frac{1}{\hbar\omega-\varepsilon+i0} );

これ、本当は δ関数の性質 を使うとまともに計算できるんだけど、 まずはしばらく教科書の通りやってみる。

(8.124)

N=\frac{V}{(2\pi)^3}\int d^3k=N\int_{-\varepsilon_F}^\infty\nu(\varepsilon)d\varepsilon

から始めればいいのかな?

&math( \nu(\varepsilon)\equiv\frac{V}{N(2\pi)^3}\frac{d^3k}{d\varepsilon}=\frac{a^3}{2\pi^3}\frac{k^2dk}{d\varepsilon} =\frac{mk}{2\pi^2\hbar^2}a^3 =\frac{m^{3/2}a^3}{\sqrt 2\pi^2\hbar^3}\sqrt{\varepsilon+\varepsilon_F} );

N=V/a^3
d^3k=4\pi k^2dk
\frac{d\epsilon}{dk}=\frac{d}{dk}\left(\frac{\hbar^2}{2m}k^2-\varepsilon_F\right)=\frac{\hbar^2}{m}k
k=\frac{1}{\hbar}\sqrt{2m(\varepsilon+\varepsilon_F)}

などを使った。

(8.125)

\frac{1}{\hbar\omega-\varepsilon+i0} \varepsilon\sim\hbar\omega 付近でのみ大きな値を取る。そこで、

&math( \int_{-\epsilon_F}^\infty d\varepsilon\nu(\varepsilon)\frac{1}{\hbar\omega-\varepsilon+i0}\sim \nu(\textcolor{red}{\hbar\omega})\int_{-\infty}^\infty d\varepsilon\frac{1}{\hbar\omega-\varepsilon+i0} );

どうして教科書で \nu(\hbar\omega) でなく \nu(0) になっているのか分からない・・・

グリーン関数に \delta(\hbar\omega-\varepsilon) という項が出てくることと、 最終的にフェルミレベル付近、すなわち \varepsilon\sim 0 しか考えないことから、 \hbar\omega \sim 0 として大丈夫、とかいうことなんだろうか?

&math(\frac{1}{N}\sum_{\bm k}g_{\bm k,\omega}^r\sim \nu(0)\int_{-\infty}^\infty d\varepsilon\frac{1}{-\varepsilon+i0} =\nu(0)\int_{-\infty}^\infty d\varepsilon\frac{-\varepsilon-i0}{\varepsilon+(0)^2} \ \textcolor{red}{\stackrel{?}{=}}\,-\pi i\nu(0) );

うーん、これって説明になっているんだろうか?なんだかよく分からない。

(9.18) あたりでもう少しまじめにやると書いてあるので重複するかもしれないけれど、 δ関数の性質 を使って少しちゃんとやってみる。

&math( &\int_{-\epsilon_F}^\infty d\varepsilon\nu(\varepsilon)\frac{1}{\hbar\omega-\varepsilon+i0}\\ &=-\int_{\epsilon_F+\hbar\omega}^{-\infty} d\varepsilon'\nu(\hbar\omega-\varepsilon')\frac{1}{\varepsilon'+i0}\\ &=\int_{-\infty}^{\epsilon_F+\hbar\omega} d\varepsilon'\nu(\hbar\omega-\varepsilon')\frac{1}{\varepsilon'+i0}\\ &=\int_{-\infty}^{\epsilon_F+\hbar\omega} d\varepsilon'\nu(\hbar\omega-\varepsilon')

 \left[\frac{1}{\varepsilon'}-i\pi\delta(\varepsilon')\right]\\

&=\left[\ \frac{m^{3/2}a^3}{\sqrt 2\pi^2\hbar^3}\int_{-\infty}^{\epsilon_F+\hbar\omega} d\varepsilon'\frac{\sqrt{\hbar\omega-\varepsilon'+\varepsilon_F}}{\varepsilon'}\ \right]

  • i\pi\nu(\hbar\omega)\\ );

この第一項、実数成分の被積分関数は \varepsilon'\rightarrow -\infty の時に \varepsilon'^{1/2} と見なすことができるから、 この積分は発散する。しかし、今は件の積分の虚数成分のみに興味があって、 実数成分は無視してしまって良いらしい。これは (8.126) の直後の 注11) の通り。

虚数成分にはやはり \nu(0) ではなく \nu(\hbar\omega) が出てくることが確かめられたが、以降では教科書通り \nu(0) で進めてみる。

(8.127)

&math( &g_{\bm k,\omega}^r=g_{0\bm k,\omega}^r- n_iv_i^2 \pi i\nu(0)(g_{0\bm k,\omega}^r)^2+\cdots\\ &=g_{0\bm k,\omega}^r- \frac{i\hbar}{2\tau}(g_{0\bm k,\omega}^r)^2+\cdots\\ );

ここで、

(8.128)

\frac{\hbar}{\tau}\equiv 2 n_iv_i^2\pi\nu(0)

この \frac{\hbar}{\tau} は電子エネルギーのぼやけであることが後に分かる。

そこで、系が金属であるための条件

(8.129)

\frac{\hbar}{\tau}= 2\pi n_iv_i^2\nu(0)\ll \varepsilon_F

を先取りして用いていく。

(8.130)

g_{\bm k,\bm k'} を計算するに当たり、

  • 0次には1つも無いが
  • 1次は e^{i\bm q\cdot\bm R_k} を1つ
  • 2次は e^{i\bm q\cdot\bm R_k} を2つ
  • ・・・

含んでいる。

不純物平均により、複数の \bm q_{k_1},\bm q_{k_2},\dots,\bm q_{k_m} に共通の R_{k} がかかり、 \delta_{\bm q_{k_1}+\bm q_{k_2}+\dots+\bm q_{k_m},\bm 0} が現われる項以外が消えてしまうため、

(8.131), (8.132)

のように、 n 個の e^{i\bm q\cdot\bm R_k} を必ず2本以上束ねた項だけが残る。

(8.134)

(8.121) の3次の項に出てくる和は、 \bm k_1=\bm k+\bm q_1 \bm k_2=\bm k+\bm q_1+\bm q_2 と置けば、

&math( &\sum_{\bm q_1,\bm q_2}g_{0\bm k,\omega}^rv_i(\bm q_1)g_{0\bm k+\bm q_1,\omega}^rv_i(\bm q_2)g_{0\bm k+\bm q_1+\bm q_2,\omega}^r v_i(\bm q_3=-\bm q_1-\bm q_2)g_{0\bm k,\omega}^r\\ &=n_iv_i^3\textcolor{red}{\frac{1}{N^2}}\sum_{\bm q_1,\bm q_2}g_{0\bm k,\omega}^r g_{0\bm k+\bm q_1,\omega}^r g_{0\bm k+\bm q_1+\bm q_2,\omega}^r g_{0\bm k,\omega}^r\\ &=n_iv_i^3g_{0\bm k,\omega}^r \Big(\textcolor{red}{\frac{1}{N}}\sum_{\bm k_1}g_{0\bm k_1,\omega}^r\Big)\Big(\textcolor{red}{\frac{1}{N}}\sum_{\bm k_2}g_{0\bm k_2,\omega}^r\Big) g_{0\bm k,\omega}^r\\ &=n_iv_i^3g_{0\bm k,\omega}^r \Big(\textcolor{red}{\frac{1}{N}}\sum_{\bm k_1}g_{0\bm k_1,\omega}^r\Big)^2 g_{0\bm k,\omega}^r\\ &=n_iv_i^3g_{0\bm k,\omega}^r \big(-\pi i\nu(0)\big)^2 g_{0\bm k,\omega}^r\\ &=-\frac{\textcolor{red}{\hbar}}{2\tau}v_i\pi \nu(0)\big(g_{0\bm k,\omega}^r \big)^2\\ );

(8.135)

\delta_{\bm q_1+\bm q_2,0}\delta_{\bm q_3+\bm q_4,0} すなわち \bm q_1+\bm q_2=\bm q_3+\bm q_4=0 の項で、 N_i(N_i-1)\sim N_i^2 とすれば、

&math( &\sum_{\bm q_1,\bm q_2}g_{0\bm k,\omega}^rv_i(\bm q_1)g_{0\bm k+\bm q_1,\omega}^rv_i(-\bm q_1)g_{0\bm k,\omega}^rv_i(\bm q_3)g_{0\bm k+\bm q_3,\omega}^rv_i(-\bm q_3)g_{0\bm k,\omega}^r\\ &=n_i^2v_i^4\frac{1}{N^2}\sum_{\bm q_1,\bm q_3}g_{0\bm k,\omega}^r g_{0\bm k+\bm q_1,\omega}^r g_{0\bm k,\omega}^r g_{0\bm k+\bm q_3,\omega}^r g_{0\bm k,\omega}^r\\ &=n_i^2v_i^4\Big(\frac{1}{N}\sum_{\bm k_1}g_{0\bm k+\bm k_1,\omega}^r\Big)^2 \big(g_{0\bm k,\omega}^r\big)^3\\ &=\big(-n_iv_i^2\pi i\nu(0)\big)^2 \big(g_{0\bm k,\omega}^r\big)^3\\ &=\Big(\frac{-i\textcolor{red}{\hbar}}{2\tau}\Big)^2\big(g_{0\bm k,\omega}^r\big)^3\\);

(8.136)

\delta_{\bm q_1+\bm q_2+\bm q_3+\bm q_4,0} すなわち \bm q_1+\bm q_2+\bm q_3+\bm q_4=0 の項で、

&math( &\sum_{\bm q_1,\bm q_2,\bm q_3}g_{0\bm k,\omega}^rv_i(\bm q_1)g_{0\bm k+\bm q_1,\omega}^rv_i(\bm q_2)g_{0\bm k+\bm q_1+\bm q_2,\omega}^rv_i(\bm q_3)g_{0\bm k+\bm q_1+\bm q_2+\bm q_3,\omega}^rv_i(-\bm q_1-\bm q_2-\bm q_3)g_{0\bm k,\omega}^r\\ &=n_iv_i^4\frac{1}{N^3}\sum_{\bm q_1,\bm q_2,\bm q_3}g_{0\bm k,\omega}^r g_{0\bm k+\bm q_1,\omega}^r g_{0\bm k+\bm q_1+\bm q_2,\omega}^r g_{0\bm k+\bm q_1+\bm q_2+\bm q_3,\omega}^r g_{0\bm k,\omega}^r\\ &=n_iv_i^4\Big(\frac{1}{N}\sum_{\bm k_1}g_{0\bm k_1,\omega}^r\Big)^3 \big(g_{0\bm k,\omega}^r\big)^2\\ &=n_iv_i^4\big(-\pi i\nu(0)\big)^3 \big(g_{0\bm k,\omega}^r\big)^2\\ &=\frac{i\textcolor{red}{\hbar}}{2\tau}\big(v_i\textcolor{red}{\pi} \nu(0)\big)^2 (g_{0\bm k,\omega}^r\big)^2 );

(8.137)

\delta_{\bm q_1+\bm q_4,0}+\delta_{\bm q_2+\bm q_3,0} すなわち \bm q_1+\bm q_4=\bm q_2+\bm q_3=0 の項で、

&math( &\sum_{\bm q_1,\bm q_2}g_{0\bm k,\omega}^rv_i(\bm q_1)g_{0\bm k+\bm q_1,\omega}^rv_i(\bm q_2)g_{0\bm k+\bm q_1+\bm q_2,\omega}^rv_i(-\bm q_2)g_{0\bm k+\bm q_1,\omega}^rv_i(-\bm q_1)g_{0\bm k,\omega}^r\\ &=n_i^2v_i^4\frac{1}{N^2}\sum_{\bm q_1,\bm q_2}g_{0\bm k,\omega}^r g_{0\bm k+\bm q_1,\omega}^r g_{0\bm k+\bm q_1+\bm q_2,\omega}^r g_{0\bm k+\bm q_1,\omega}^r g_{0\bm k,\omega}^r\\ &=n_i^2v_i^4\Big(\frac{1}{N}\sum_{\bm k_1}(g_{0\bm k_1,\omega}^r)^2\Big)\Big(\frac{1}{N}\sum_{\bm k_2}g_{0\bm k_2,\omega}^r\Big) \big(g_{0\bm k,\omega}^r\big)^2\\ &=n_i^2v_i^4\big(\ ?\ \big)\big(-\pi i\nu(0)\big) \big(g_{0\bm k,\omega}^r\big)^2\\ &=n_iv_i^2\big(\ ?\ \big)\big(n_iv_i^2\cdot-\pi i\nu(0)\big) \big(g_{0\bm k,\omega}^r\big)^2\\ &=-\frac{i\hbar}{2\tau}n_iv_i^2\big(\ ?\ \big)\big(g_{0\bm k,\omega}^r\big)^2\\ &=(*) );

(\ ?\ ) の部分は、

&math( &\frac{1}{N}\sum_{\bm k_1}(g_{0\bm k_1,\omega}^r)^2\\ &\sim\nu(0)\int_{-\infty}^\infty d\varepsilon \Big(\frac{1}{-\varepsilon+i0}\Big)^2 &=\nu(0)\int_{-\infty}^\infty d\varepsilon \frac{1}{\varepsilon}\frac{1}{\varepsilon-2i0} &=\nu(0)\int_{-\infty}^\infty d\varepsilon \frac{1}{\varepsilon}\frac{\varepsilon+i0}{\varepsilon^2+(0)^2} );

で、これが

&math( &\frac{1}{N}\sum_{\bm k_1}(g_{0\bm k_1,\omega}^r)^2=-\frac{\pi}{2}i\nu(0)\frac{1}{\varepsilon_F} );

であれば、教科書の通り、

&math( (*)=-\frac{1}{2}\Big(\frac{\hbar}{2\tau}\Big)^2\frac{1}{\varepsilon_F}\big(g_{0\bm k,\omega}^r\big)^2 );

となるけれど、 \varepsilon_F が出てくる理由など今のところ不明。

δ関数の性質 で予想した値を使うと、 この積分からは (8.123)〜(8.126) と同様に実数部分と虚数部分の両方が出てくるはずで、 ここでの結果のように虚数成分のみにはならない。(8.123)〜(8.126) と異なりここでの計算で 実数成分を無視してはいけないように思うし、そもそも虚数成分でさえも発散しそうに思える。

この点はセミナーの時に教えてもらわないと自分では解決できない感じ。

(8.138)

&math(&\sum_{\bm q_1,\bm q_2}g_{0\bm k,\omega}^rv_i(\bm q_1)g_{0\bm k+\bm q_1,\omega}^rv_i(\bm q_2)g_{0\bm k+\bm q_1+\bm q_2,\omega}^rv_i(-\bm q_1)g_{0\bm k+\bm q_2,\omega}^rv_i(-\bm q_2)g_{0\bm k,\omega}^r\\ &=n_i^2v_i^4\frac{1}{N^2}\sum_{\bm q_1,\bm q_2}g_{0\bm k,\omega}^r g_{0\bm k+\bm q_1,\omega}^r g_{0\bm k+\bm q_1+\bm q_2,\omega}^r g_{0\bm k+\bm q_2,\omega}^r g_{0\bm k,\omega}^r\\ &=n_i^2v_i^4\textcolor{red}{\frac{1}{N^2}}\big(g_{0\bm k,\omega}^r\big)^2 \sum_{\bm k_1,\bm k_2} g_{0\bm k_1,\omega}^r \textcolor{red}{g_{0\bm k_1+\bm k_2-\bm k,\omega}^r g_{0\bm k_2,\omega}^r} \\);

\bm k_1=\bm k+\bm q_1,\bm k_2=\bm k+\bm q_2 と置いた。

最後の式の g_{0\bm k+\bm k_2-\bm k_1,\omega}^r g_{0\bm k_2,\omega}^r とを入れ替えると教科書の式になる。 この違いは以下で見るように、近似の下で最終結果には効いてこないので、 入れ替えずに書いておいてくれれば分かりやすいのに。

この次に出てくる説明はいろいろおかしいと思う。たぶん正しいのは以下。

  • g_{0\bm k} |\bm k|=k_f 付近でのみ大きな値を取る ← \hbar \omega << \varepsilon_F ということか?
  • g_{0\bm k} g_{0\bm k_1} g_{0\bm k_2} g_{0\bm k+\bm k_2-\bm k_1} が大きな値を取るのは |\bm k|=|\bm k_1|=|\bm k_2|=|\bm k_1+\bm k_2-\bm k_1|=k_f となるときのみ
  • |\bm k_1+\bm k_2-\bm k_1|=k_f について考えると、
    • 与えられた -\bm k に対して任意の \bm k_1 を選ぶことができるが、
    • -\bm k_2 |\bm k_1+\bm k_2-\bm k_1|=k_F となる球面上に来るように選ばなければならない
    • これは原点を中心とした半径 k_F の球殻と、 -\bm k+\bm k_1 を中心とした半径 k_F の球殻との交線上に |\bm k_1+\bm k_2-\bm k_1|=k_F が来ることと同義である

8-138.png

  • フェルミ面のぼやけを \delta k 程度と仮定すると、
  • \bm k_2 を完全に自由に取れば 4\pi k_F^2\delta k が球殻の体積であるが、
  • g_{0\bm k+\bm k_2-\bm k_1,\omega}^r のために上記の円弧状の交線に限られると、体積はどれほど減るだろうか?
    • -\bm k \bm k_1 とが為す角を \theta とすると、
    • 円弧の半径は k_F\sin(\theta/2) で、円周は 2\pi k_F\sin(\theta/2)
    • 円弧の太さ(断面積)は \frac{\delta k}{\sin\theta}\cdot \delta k=\frac{\delta k^2}{\sin\theta}
    • したがって、円弧の体積は \frac{2\pi k_F\delta k^2\sin(\theta/2)}{\sin\theta}
    • この値は \sin\theta\sim 0 で発散するが、このとき \bm k_1 の側の選択肢がほぼゼロになるので問題ない
    • \bm k_1 が動いたことを想定し、 \theta,\psi に対して平均を取ると、
      &math(&\frac{1}{4\pi}\int_0^\pi d\theta\int_0^{2\pi}\sin\theta d\psi \frac{2\pi k_F\delta k^2\sin(\theta/2)}{\sin\theta}\\ &=\frac{2\pi k_F\delta k^2}{2}\int_0^\pi d\theta\sin(\theta/2)\\ &=\frac{2\pi k_F\delta k^2}{2}[-2\cos(\theta/2)]_0^\pi\\ &=2\pi k_F\delta k^2);
    • この最終結果は \theta = 90^\circ の結果と(偶然?)一致する。
  • したがって、完全に自由に \bm k_2 を取ったときに比べて値は \frac{\delta k}{2k_F} だけ小さくなる
  • フェルミレベル近傍に於いて \frac{\delta \varepsilon}{\varepsilon_F}=\frac{2\delta k}{k_F} より、 \frac{\delta k}{2k_F}=\frac{\delta \varepsilon}{4\varepsilon_F}=\frac{\hbar}{4\varepsilon_F\tau} となる。

ということで、ちょっと意味は無いけれど本文中の誤植のみ指摘:

\frac{\textcolor{red}{\hbar^2}k_F}{m}\delta k\sim \frac{\hbar}{\tau}

l\equiv \frac{\textcolor{red}{\hbar}k_F}{m}\tau

閑話休題して、

(8.139)

「自由に取った場合」を考えるには、 \bm k_2 を数えるときに g が2つ掛かっていることを考慮して (8.137) に帰着することが分かる。

&math( &n_i^2v_i^4\textcolor{red}{\frac{1}{N^2}}\big(g_{0\bm k,\omega}^r\big)^2 \sum_{\bm k_1,\bm k_2} g_{0\bm k_1,\omega}^r g_{0\bm k_2,\omega}^r g_{0\bm k+\bm k_2-\bm k_1,\omega}^r \\ &\sim \left(\frac{\hbar}{4\varepsilon_F\tau}\right)n_i^2v_i^4\textcolor{red}{\frac{1}{N^2}}\big(g_{0\bm k,\omega}^r\big)^2 \sum_{\bm k_1,\bm k_2} g_{0\bm k_1,\omega}^r \big(g_{0\bm k_2,\omega}^r\big)^2 \\ &=-\left(\frac{\hbar}{4\varepsilon_F\tau}\right) \frac{1}{2}\Big(\frac{\hbar}{2\tau}\Big)^2\frac{1}{\varepsilon_F}\big(g_{0\bm k,\omega}^r\big)^2\\ &\propto \frac{\hbar}{\tau}\left(\frac{\hbar}{\varepsilon_F\tau}\right)^2\big(g_{0\bm k,\omega}^r\big)^2 );

各項の大きさを評価する前に、 \nu(0) の大きさを評価しておく。

\varepsilon_F がフェルミエネルギーであることから(実際にはこの分を引いてあるため フェルミレベルは 0 である)

&math( &\int_{-\epsilon_F}^0\nu(\varepsilon)d\varepsilon=1\\ &=\int_{-\epsilon_F}^0 d\varepsilon \frac{m^{3/2}a^3}{\sqrt 2\pi^2\hbar^3}\sqrt{\varepsilon+\varepsilon_F}\\ &=\frac{m^{3/2}a^3}{\sqrt 2\pi^2\hbar^3}\int_0^{\epsilon_F} d\varepsilon' \sqrt{\varepsilon'}\\ &=\frac{m^{3/2}a^3}{\sqrt 2\pi^2\hbar^3}\left[\frac{2}{3}\varepsilon'^{3/2}\right]_0^{\epsilon_F}\\ &=\frac{2\varepsilon_F}{3}\cdot\frac{m^{3/2}a^3}{\sqrt 2\pi^2\hbar^3}\sqrt{\varepsilon_F}\\ &=\frac{2\varepsilon_F}{3}\nu(0) );

したがって、

\nu(0)=\frac{3}{2\varepsilon_F}

金属であるためには、

\frac{\hbar}{\tau}=2\pi n_iv_i^2\nu(0)=\frac{3\pi n_iv_i^2}{\varepsilon_F}\ll\varepsilon_F

が必要である。

&math( &3\pi n_iv_i^2\ll\varepsilon_F^2\\ &(3\pi n_i)^\frac{1}{2}v_i\ll\varepsilon_F\\ );

と書き直せば、これは不純物のポテンシャルがフェルミエネルギーに比べて小さく、 さらに不純物密度が高すぎないことを示している。

これに加えて、

v_i\ll\varepsilon_F\sim 1/\nu(0)

すなわち

v_i\nu(0)\ll 1

を仮定すると、

(8.140)

&math( g_{\bm k,\omega}^r= g_{0\bm k,\omega}^r+\left(-\frac{i\hbar}{2\tau}\right)(g_{0\bm k,\omega}^r)^2 \left[ 1\textcolor{red}{-}i\pi v_i\nu(0)-(\textcolor{red}{\pi}v_i\nu(0))^2

  • \frac{i}{4}\frac{\hbar}{\varepsilon_F\tau}+O\left(\frac{\hbar}{\varepsilon_F\tau}\right)^2+\cdots \right]+ \left(-\frac{i\hbar}{2\tau}\right)^2(g_{0\bm k,\omega}^r)^3+\cdots );

の [ ] の中は1を残して消し去ることができる。

同様にして、高次項を評価すれば2次の項やそれ以降にも小さな項が付け加わるが、 上記の2つの条件下ではやはり無視できて、

(8.141)

&math( \frac{g_{\bm k,\omega}^r}{g_{0\bm k,\omega}^r}= 1+\left(-\frac{i\hbar}{2\tau}g_{0\bm k,\omega}^r\right)+ \left(-\frac{i\hbar}{2\tau}g_{0\bm k,\omega}^r\right)^2+\cdots =\frac{1}{1+\frac{i\hbar}{2\tau}g_{0\bm k,\omega}^r} );

&math( g_{\bm k,\omega}^r= \frac{1}{(g_{0\bm k,\omega}^r)^{-1}+\frac{i\hbar}{2\tau}} =\frac{1}{\hbar\omega-\varepsilon_{\bm k}+\frac{i\hbar}{2\tau}} );

となる。

本文中で \frac{i\hbar}{2\tau}\ll 1 などと書いてあるが、 これは \textcolor{red}{\frac{\hbar}{2\varepsilon_F\tau}}\ll 1 の間違いか?

結局、元々の偶数次項から出てくる「2次の寄与と同様な物が繰り返される項」、 すなわち \bm q_1+\bm q_2=\bm q_3+\bm q_4=\dots=\bm q_{2n-1}+\bm q_{2n}=0 となる項が支配的な寄与を及ぼし、他の項は無視できることになる。

支配的とされる項に赤丸を付けつつ、6次の途中まで列挙してみた。 6次はまだまだたくさんあり、7次も非常にたくさん出てくるが、 次の支配項は8次の項になる。

8-140.png

以下、6次の項がまだまだ続く・・・

(8.142)

&math( g_{\bm k,\omega}^a =\frac{1}{\hbar\omega-\varepsilon_{\bm k}-\frac{i\hbar}{2\tau}} );

不純物散乱がない場合には i0 のために非常に急峻に変化する 関数であったが、不純物散乱によってピーク幅が広がっている、 すなわちフェルミレベルがぼやけている、ということになる。

「自己エネルギー」についてはここだけ読んでもよく分からないので後で勉強が必要。

(8.143)

\Sigma^r=-\frac{i\hbar}{2\tau}

\Sigma^a=+\frac{i\hbar}{2\tau}

と置いて、これらを自己エネルギーと呼べば、

(8.144)

&math( g_{\bm k,\omega}^r =\frac{1}{\hbar\omega-\varepsilon_{\bm k}-\Sigma^r} );

&math( g_{\bm k,\omega}^a =\frac{1}{\hbar\omega-\varepsilon_{\bm k}-\Sigma^a} );

\Sigma の部分が虚数であることが分かりにくい表示になっているので 注意が必要かもしれない。

高次項に対する考察

n 次の項で、重なり合いながら存在する m 個の山のそれぞれが l_j 本の点線を束ねたものであったとする。

(8-10.1)

\sum_{j=1}^m l_j=n

たとえば下図は m=6,n=21 の場合である。

8-10-1.png

(8.119) にあたる式において、

  • Σを取るべき k_i の個数は m 個である。
  • それぞれの k_i は異なっていなければならないため、現われる係数は _{N_i}C_m=N_i(N_i-1)(N_i-2)\dots(N_i-(m-1)) である。
  • m<<N_i では _{N_i}C_m \sim N_i^m と見なせる。

したがって、その項は

(8-10.2)

&math( &\frac{N_i^m}{N^n}v_i^n \sum_{\underbrace{^{\bm q,\bm q,\dots,\bm q}}_{n-m}} g_{0\bm k}^\alpha \underbrace{

 g_{0\bm k+\bm q}^\alpha \dots g_{0\bm k+\bm q\dots}^\alpha

}_{n-1} g_{0\bm k}^\alpha \\&= g_{0\bm k}^\alpha \Bigg[ \frac{n_i^mv_i^n}{N^{n-m}} \sum_{\underbrace{^{\bm q,\bm q,\dots,\bm q}}_{n-m}} \underbrace{

 g_{0\bm k+\bm q}^\alpha \dots g_{0\bm k+\bm q\dots}^\alpha

}_{n-1}\Bigg]g_{0\bm k}^\alpha );

のような形になる。

この項が完全に M 個の連山に分かれているとき、 (山と山との間が標高ゼロになるとき、完全に山が分かれていると呼ぶ) それら連山ごとに別々に和が取れて、 間に g_{0\bm k}^\alpha が挟まる形になる。

それぞれの連山に含まれる単山の個数を m_j
それぞれの連山に含まれる点線の本数を n_j
とすると \sum_j m_j=m \sum_j n_j=n であり、

8-10-3.png

(8-10.3)

&math( &= g_{0\bm k}^\alpha \Bigg[\frac{n_i^{m_1}v_i^{n_1}}{N^{n_1-m_1}}\sum_{\underbrace{^{\bm q,\bm q,\dots,\bm q}}_{n_1-m_1}} \underbrace{

 g_{0\bm k+\bm q}^\alpha \dots g_{0\bm k+\bm q\dots}^\alpha

}_{n_1-1}\Bigg] g_{0\bm k}^\alpha \Bigg[\frac{n_i^{m_2}v_i^{n_2}}{N^{n_2-m_2}}\sum_{\underbrace{^{\bm q,\bm q,\dots,\bm q}}_{n_2-m_2}} \underbrace{

 g_{0\bm k+\bm q}^\alpha \dots g_{0\bm k+\bm q\dots}^\alpha

}_{n_2-1}\Bigg] g_{0\bm k}^\alpha \dots \\&= g_{0\bm k}^\alpha \underbrace{ \Big[\hspace{4mm}\hspace{4mm}\Big]g_{0\bm k}^\alpha \Big[\hspace{4mm}\hspace{4mm}\Big]g_{0\bm k}^\alpha \cdots \Big[\hspace{4mm}\hspace{4mm}\Big] }_{M}g_{0\bm k}^\alpha \\&= \left(g_{0\bm k}^\alpha\right)^{M+1} \underbrace{ \Big[\hspace{4mm}\hspace{4mm}\Big] \Big[\hspace{4mm}\hspace{4mm}\Big] \dots \Big[\hspace{4mm}\hspace{4mm}\Big] }_{M} );

すべての連山が最も単純な2本の線からなる山でできている場合、 その項は支配的な項としてカウントされているタイプになる。

8-10-4.png

このとき、 n=2M であるから、その項は以下の様に評価できる。

(8-10.4)

&math( &=\left(g_{0\bm k}^\alpha\right)^{M+1} \underbrace{ \Big[\hspace{4mm}(m_1=1,n_1=2)\hspace{4mm}\Big] \dots \Big[\hspace{4mm}(m_M=1,n_M=2)\hspace{4mm}\Big] }_{M} \\ &=\left(g_{0\bm k}^\alpha\right)^{M+1} \Big[\frac{n_iv_i^2}{N}\sum_{\bm q'}g_{0\bm q'\omega}^\alpha\Big]^M\\ &=\left(g_{0\bm k}^\alpha\right)^{M+1} \Big[n_iv_i^2\big(-\pi i\nu(0)\big)\Big]^M\\ &=\left(g_{0\bm k}^\alpha\right)^{M+1} \Big[-\frac{i\hbar}{2\tau}\ \Big]^M );

したがって、この項が本当に支配的であることを言うためには、 他の \left(g_{0\bm k}^\alpha\right)^{M+1} を出す項すべてを加えても、この項が十分に大きいと見なせる ことを確認しなければならない。

\left(g_{0\bm k}^\alpha\right)^{M+1} を出すのは、 M 個の連山となる項なので、

8-10-5.png

上記の n 次、 m 個の山、 M 個の連山を持つ項と比べると、 すべての単連山について以下の式が成り立てば良いことになる。 (連山に含まれる単山の個数を m' 、点線の本数を n' とする)

8-10-5B.png

(8-10.5)

&math( \Bigg|\ \frac{n_i^{m'}v_i^{n'}}{N^{n'-m'}}\sum_{\underbrace{^{\bm q,\bm q,\dots,\bm q}}_{n'-m'}} \underbrace{

 g_{0\bm k+\bm q}^\alpha \dots g_{0\bm k+\bm q\dots}^\alpha

}_{n'-1}\Bigg| \stackrel{?}{\ll} \frac{n_iv_i^2}{N}\sum_{\bm q'}g_{0\bm q'\omega}^\alpha =\Bigg|-\frac{i\hbar}{2\tau}\ \Bigg| );

これを証明するには、(8.138) で見た様な足のクロスした連山が、 クロスした部分の足を1本にまとめた n'' 本足の単山より ずっと小さいことを示した上で、さらに n''>2 本足の単山が 2 本足の単山より小さいことを言えば良い。 あ、クロスせずに (8.137) のように入れ子になっている場合も考える必要がありますね。

8-10-6.png

この後半は (8.134) や (8.136) のようにすれば簡単で、 n''>2 本足の単山 ( m'=1 ) は、

(8-10.6)

&math( &\frac{n_iv_i^{n}}{N^{n-1}}\sum_{\underbrace{^{\bm q,\bm q,\dots,\bm q}}_{n''-1}} \underbrace{

 g_{0\bm k+\bm q}^\alpha \dots g_{0\bm k+\bm q\dots}^\alpha

}_{n''-1} \\&= \Big[\frac{n_iv_i^2}{N}\sum_{\bm q'}g_{0\bm q'}\Big] \Big[\frac{v_i}{N}\sum_{\bm q'}g_{0\bm q'}\Big]^{n''-2} \\&= \Big[-\frac{i\hbar}{2\tau}\Big] \Big[-\pi iv_i\nu(0)\Big]^{n''-2} );

となって、 v_i\nu(0)\ll 1 との前提を置けば支配項に比べて無視できることが分かる。

前記手順の前半は、クロスしている部分については (8.138) から (8.139) の部分でやったような考え方で、入れ子になっている部分については (8.137) でやったような考え方で、評価すれば良いのだと思うけれど、 計算手順について、まだあまり納得できていない。

入れ子について:外側の連山のある足の直後に、入れ子になった小さな連山が M' 個あったとすると、内側の連山は個別に和を取ることができて、

8-10-7.png

(8-10.7)

&math( &\frac{n_i^{m'}v_i^{n'}}{N^{n'-m'}}\sum_{\underbrace{^{\bm q,\bm q,\dots,\bm q}}_{n'-m'}} \underbrace{

 g_{0\bm k+\bm q}^\alpha \dots g_{0\bm k+\bm q\dots}^\alpha

}_{n'-1} \\&= \Bigg[\frac{n_i^{m'_o}v_i^{n'_o}}{N^{n'_o-m'_o}}\sum_{\underbrace{^{\bm q,\bm q,\dots,\bm q}}_{n'_o-m'_o}} \underbrace{

 g_{0\bm k+\bm q}^\alpha \dots g_{0\bm k+\bm q\dots}^\alpha

}_{n'_o-1}\Bigg] g_{0\bm k_{\mathrm{prev}}}^\alpha \Bigg[\frac{n_i^{m'_{i1}}v_i^{n'_{i1}}}{N^{n'_{i1}-m'_{i1}}}\sum_{\underbrace{^{\bm q,\bm q,\dots,\bm q}}_{n'_{i1}-m'_{i1}}} \underbrace{

 g_{0\bm k+\bm q}^\alpha \dots g_{0\bm k+\bm q\dots}^\alpha

}_{n'_{i1}-1}\Bigg]\\ &\hspace{2cm} g_{0\bm k_{\mathrm{prev}}}^\alpha \Bigg[\frac{n_i^{m'_{i2}}v_i^{n'_{i2}}}{N^{n'_{i2}-m'_{i2}}}\sum_{\underbrace{^{\bm q,\bm q,\dots,\bm q}}_{n'_{i2}-m'_{i2}}} \underbrace{

 g_{0\bm k+\bm q}^\alpha \dots g_{0\bm k+\bm q\dots}^\alpha

}_{n'_{i2}-1}\Bigg]\dots \\&= \Bigg[\frac{n_i^{m'_o}v_i^{n'_o}}{N^{n'_o-m'_o}}\sum_{\underbrace{^{\bm q,\bm q,\dots,\bm q}}_{n'_o-m'_o}} \underbrace{

 g_{0\bm k+\bm q}^\alpha \dots (g_{0\bm k_{\mathrm{prev}} q\dots}^\alpha)^{M'+1} \dots g_{0\bm k+\bm q\dots}^\alpha

}_{n'_o-1}\Bigg] \Bigg[\ \ (i1)\ \ \Bigg]\dots\Bigg[\ \ (iM')\ \ \Bigg] );

などとなる。

ここで、 m'_o,n'_o は外側の連山の、 m'_{i1},n'_{i1},m'_{i2},n'_{i2},\dots は内側の連山の、山の数および線の数。 g_{0\bm k_{\mathrm{prev}}}^\alpha は入れ子連山の直前の外側の山の足に対応する g である。

通常ならば連山と連山の間には g_{0\bm k}^\alpha がはさまるが、 入れ子の場合には代わりに g_{0\bm k_{\mathrm{prev}}}^\alpha がはさまる。このため、外側連山の和を取る際に g_{0\bm k_{\mathrm{prev}}}^\alpha の因子が (内側連山の数 + 1) 乗になる。それが全体の和をどれほど小さくするのか、 (8.137) の評価方法を学んでからもう一度考えたい。

もう1つ、本当は n 次の項の大きさが「小さい」ことだけでなく、 その数がそれほど「多くない」ことも言わなければならないはずだけれど、 n 次の項から M 連山の項が何個出るかを数えるのは かなり大変。

加えて、ちょっと考えただけでも そんなに自信を持って「多くない」とは言い切れない感じがしている。

例えば 13次の項から出る6連山の項は 12次の項から出る6連山の支配項に比べて、 1つであれば支配項より v_i\nu(0) だけ小さく、無視できるかもしれない。しかし図の様に、 3本足の山をどこに置くかで同じ大きさの項が6つ出てくることから、 すべてを合わせると比率は 6v_i\nu(0) まで縮まってしまう。

8-10-6B.png

同様にして、 2M+1 次の項から出る M 連山の項を全て合わせれば 2M 次の項から出る M 連山の支配項の Mv_i\nu(0) 倍になるから、 v_i\nu(0) が有限である限り M が大きいところで大小は逆転する。

そもそも M が大きいところの効果は小さいから気にしない、 と言うことかもしれないけれど、本当にそれで良いのかどうか。

さらに高次の項と符号が逆転して打ち消す効果まで考えると、 もっと自信を持てるとか、、、あるのかな???

得られた解を元の方程式に入れてみる

(8.141) を (8.117) に入れてみることで、近似の精度を確かめてみたい。

(8.117) と (8.121) から、 &math( \frac{g_{\bm k,\omega}^r}{g_{0\bm k,\omega}^r} \stackrel{?}{=} 1+ \sum_{\bm q}v_i(\bm q) g_{\bm k+\bm q,,\omega}^r );

&math( \frac{1/g_{0\bm k,\omega}^r-1/g_{\bm k,\omega}^r}{1/g_{\bm k,\omega}^r} \stackrel{?}{=} \sum_{\bm q}v_i(\bm q) g_{\bm k+\bm q,,\omega}^r );

(8.88)、(8.141)を入れて、

&math( &\frac{(\hbar\omega-\varepsilon_{\bm k}+i0)-(\hbar\omega-\varepsilon_{\bm k}+i\frac{\hbar}{2\tau})} {\hbar\omega-\varepsilon_{\bm k}+i\frac{\hbar}{2\tau}} = \frac{i(0-\frac{\hbar}{2\tau})} {\hbar\omega-\varepsilon_{\bm k}+i\frac{\hbar}{2\tau}} =\\ &-\frac{i\frac{\hbar}{2\tau}} {\hbar\omega-\varepsilon_{\bm k}+i\frac{\hbar}{2\tau}} \stackrel{?}{=} \sum_{\bm q} \frac{v_i(\bm q)}{\hbar\omega-\varepsilon_{\bm k+\bm q}+\frac{i\hbar}{2\tau}} );

この最後の等式が成り立つのかどうか・・・

&math( &\Sigma^r=\frac{1}{g_{0\bm k,\omega}}-\frac{1}{g_{\bm k,\omega}} \stackrel{?}{=} \sum_{\bm q} v_i(\bm q) \frac{g_{\bm k+\bm q,\omega}}{g_{\bm k,\omega}} );

&math( &-\frac{i\hbar}{2\tau} =\Sigma^r \stackrel{?}{=} \sum_{\bm q} v_i(\bm q) \frac{\hbar\omega-\varepsilon_{\bm k}+\frac{i\hbar}{2\tau}} {\hbar\omega-\varepsilon_{\bm k+\bm q}+\frac{i\hbar}{2\tau}}\\ &= \sum_{\bm q} v_i(\bm q) \frac{\frac{\hbar\omega}{\varepsilon_{\bm k}}-1+\frac{i\hbar}{2\tau\varepsilon_{\bm k}}} {\frac{\hbar\omega}{\varepsilon_{\bm k}}-\frac{\varepsilon_{\bm k+\bm q}}{\varepsilon_{\bm k}}+\frac{i\hbar}{2\tau\varepsilon_{\bm k}}}\\ &= \sum_{\bm q} v_i(\bm q) \frac{\frac{\hbar\omega-\varepsilon_{\bm k}}{\varepsilon_{\bm k}}+\frac{i\hbar}{2\tau\varepsilon_{\bm k}}} {\frac{\hbar\omega-\varepsilon_{\bm k}}{\varepsilon_{\bm k}}-\frac{\varepsilon_{\bm k+\bm q}-\varepsilon_{\bm k}}{\varepsilon_{\bm k}}+\frac{i\hbar}{2\tau\varepsilon_{\bm k}}}\\ &= \sum_{\bm q} v_i(\bm q) \frac{\Omega_{\bm k}+i\Delta_{\bm k}} {\Omega_{\bm k}-\Delta E_{\bm k,\bm q}+i\Delta_{\bm k}} );

とも書ける。

右辺が任意の v_i に対して純虚数になるのか?
右辺は \bm k を含むのに左辺には \bm k が現われない。 どうして消えるのか?
が気になる。

Delta_{\bm k} が小さいことを念頭に変形すると、

&math( &\sum_{\bm q} v_i(\bm q) \frac{\Omega_{\bm k}+i\Delta_{\bm k}} {\Omega_{\bm k}-\Delta E_{\bm k,\bm q}+i\Delta_{\bm k}} \\&= \sum_{\bm q} v_i(\bm q) \frac{(\Omega_{\bm k}+i\Delta_{\bm k})(\Omega_{\bm k}-\Delta E_{\bm k,\bm q}+i\Delta_{\bm k})} {(\Omega_{\bm k}-\Delta E_{\bm k,\bm q})^2+\Delta_{\bm k}^2} \\&= \sum_{\bm q} v_i(\bm q) \left[ \frac{\Omega_{\bm k}(\Omega_{\bm k}-\Delta E_{\bm k,\bm q})-\Delta_{\bm k}^2} {(\Omega_{\bm k}-\Delta E_{\bm k,\bm q})^2+\Delta_{\bm k}^2}

  1. i(2\Omega_{\bm k}-\Delta E_{\bm k,\bm q})\frac{\Delta_{\bm k}} {(\Omega_{\bm k}-\Delta E_{\bm k,\bm q})^2+\Delta_{\bm k}^2} \right] \\&\xrightarrow{\Delta_{\bm k}\rightarrow 0} \sum_{\bm q} v_i(\bm q) \left[ \frac{\Omega_{\bm k}(\Omega_{\bm k}-\Delta E_{\bm k,\bm q})} {(\Omega_{\bm k}-\Delta E_{\bm k,\bm q})^2} i(2\Omega_{\bm k}-\Delta E_{\bm k,\bm q}) \delta(\Omega_{\bm k}-\Delta E_{\bm k,\bm q}) \right] \\&= \sum_{\bm q} v_i(\bm q) \Omega_{\bm k} \left[ \frac{1} {\Omega_{\bm k}-\Delta E_{\bm k,\bm q}} i \delta(\Omega_{\bm k}-\Delta E_{\bm k,\bm q}) \right] \\&= \sum_{\bm q} v_i(\bm q) (\hbar\omega-\varepsilon_{\bm k}) \left[ \frac{1} {\hbar\omega-\varepsilon_{\bm k+\bm q}} i \delta(\hbar\omega-\varepsilon_{\bm k+\bm q}) \right] );

空間平均を取ると v_i(\bm q) の虚数成分は打ち消し合う気がするので、 右辺の虚数成分が左辺と等しいとすれば、

&math( &\Sigma^r \stackrel{?}{=} i\sum_{\bm q} v_i(\bm q) (\hbar\omega-\varepsilon_{\bm k}) \delta(\hbar\omega-\varepsilon_{\bm k+\bm q}) \\&= i(\hbar\omega-\varepsilon_{\bm k}) V \int_{\bm k'}\frac{d^3k}{(2\pi)^3} v_i(\bm k'-\bm k)\delta(\hbar\omega-\varepsilon_{\bm k'}) );

(ぼやけた)δ関数がかかるため、右辺の積分は半径がおよそ k_F (実際には \hbar\omega の分だけ異なる) 厚さ \delta k=\frac{\hbar}{2\tau\varepsilon_F}k_F=\frac{i\Sigma^r}{\varepsilon_F}k_F の球殻上で取られる。

うーん、なんか惜しいところまで来ている気もするけれど、 全然違う方向に進んでいる気もする・・・

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