多粒子系の波動関数とボゾン・フェルミオン のバックアップ(No.12)

更新


量子力学Ⅰ

概要

これまで、1粒子のシュレーディンガー方程式の解法を細かく見てきたが、 以下では多粒子系の問題について考える。*1http://ocw.u-tokyo.ac.jp/lectu... こちらの議論を大いに参考にした

目次

2粒子系の量子力学

2つの電子の位置座標をそれぞれ \bm r_1,\bm r_2 とする。

2粒子系の波動関数を \Psi(\bm r_1,\bm r_2,t) とすると、 シュレーディンガー方程式は

  i\hbar\frac{\PD}{\PD t}\Psi(\bm r_1,\bm r_2,t)=\hat H\Psi(\bm r_1,\bm r_2,t)

である。

波動関数を大文字にしたのは教科書に合わせるためで、表記上の問題しかない。 教科書では、1粒子波動関数を小文字 \psi,\varphi で、多粒子波動関数を大文字 \Psi,\Phi で表すことになっている。

\hat H に含まれるポテンシャルエネルギーは一般に \bm r_1,\bm r_2 の両方に依存するから、例えば次のように与えられる。

 &math( \hat H=

  • \frac{\hbar^2}{2m}\nabla_{r_1}^2
  • \frac{\hbar^2}{2m}\nabla_{r_2}^2
  1. V(\bm r_1,\bm r_2,t) );

波動関数の絶対値の二乗 |\Psi(\bm r_1,\bm r_2,t)|^2d\bm r_1d\bm r_2 は 時刻 t に粒子1を位置 \bm r_1 付近の d\bm r_1 に、 粒子2を位置 \bm r_2 付近の d\bm r_2 に見いだす確率となる。

物理量 O の期待値 \langle O\rangle は、 物理量に対応する演算子を \hat O として次のように与えられる。

 &math( \langle O(t)\rangle=\iint \Psi^*(\bm r_1,\bm r_2,t)\,\hat O\,\Psi(\bm r_1,\bm r_2,t)\,d\bm r_1\,\bm r_2 );

以上が1粒子系で学んだ内容の自然な拡張となっていることを確認せよ。

多粒子系の量子力学

位置座表をそれぞれ \bm r_1,\bm r_2,\dots,\bm r_n として、
波動関数を \Psi(\bm r_1,\bm r_2,\dots,\bm r_n,t) とすれば良い。

このときハミルトニアンは例えば次のような形に書けるはずで、

 &math( \hat H(\bm r_1,\bm r_2,t)= \underbrace{\sum_{j=1}^n -\frac{\hbar^2}{2m_j}\bm\nabla_{r_j}^2}_{運動エネルギー}+ \underbrace{V(\bm r_1,\bm r_2,\dots,\bm r_n)\rule[-16.5pt]{0pt}{10pt}}_{ポテンシャルエネルギー} );

これを用いてシュレーディンガー方程式はやはり次の形に書ける。

  i\hbar\frac{\PD}{\PD t}\Psi=\hat H\Psi

これまで学んだとおり、1粒子のシュレーディンガー方程式でも 解析的に閉じた解が得られるのは非常に単純な問題に限られており、 そのような場合であっても解を得るには高度な数学を要する。

多体のシュレーディンガー方程式を解析的に解くことはほぼ不可能であるため、 様々な近似を用いて1体の問題に直し、さらに近似を用いて1体の問題を解くことにより、 ようやく実験結果と比較できるような理論的予測が得られる。

多粒子問題の例

水素様「分子」であれば、2つの陽子位置を \bm R_1,\bm R_2 に固定して、

 &math( V(\bm r_1,\bm r_2)&=\frac{e^2}{4\pi\epsilon_0}\Biggl[ \underbrace{ \frac{-1}{|\bm r_1-\bm R_1|}+ \frac{-1}{|\bm r_1-\bm R_2|}}_{電子1と原子核}+ \underbrace{ \frac{-1}{|\bm r_2-\bm R_1|}+ \frac{-1}{|\bm r_2-\bm R_2|}}_{電子2と原子核}+ \underbrace{\frac{+1}{|\bm r_1-\bm r_2|}}_{電子間相互作用} \Biggr]\\ &=V_{1体}(\bm r_1)+V_{1体}(\bm r_2)+V_{2体}(\bm r_1,\bm r_2) );

と書ける。

このポテンシャルが2つの電子の位置座標 \bm r_1,\bm r_2 の入れ替えに対して対称性を持っている(値が変わらない)ことに注意せよ。

同種粒子の不可弁別性

多粒子系において、粒子 j k とが同種の粒子 (たとえば電子)であるとする。

粒子 j \bm r_a に、
粒子 k \bm r_b に、それぞれ見いだされる確率と、

粒子 j \bm r_b に、
粒子 k \bm r_a に、それぞれ見いだされる状態と、

は常に等しい、というのが同種粒子の不可弁別性である。

量子力学では観測するまで粒子の位置は決まっていない。

観測した結果、2カ所に電子が見つかったとして、 それらのどちらがどちらの電子かを判別する方法はない。 そもそもそれら2つの状態は区別できない、 として構築した理論が現実をよく再現する。

ボゾンとフェルミオン

上記を式で書けば、

&math( &\big|\Psi(\dots,\bm r_a,\dots,\bm r_b,\dots,t)\big|^2\\ =&\big|\Psi(\dots,\bm r_b,\dots,\bm r_a,\dots,t)\big|^2\\ &\hspace{1.4cm}^\uparrow_j\hspace{1.1cm}^\uparrow_k );

すなわち、

&math( &\Psi(\dots,\bm r_a,\dots,\bm r_b,\dots,t)\\ =C&\Psi(\dots,\bm r_b,\dots,\bm r_a,\dots,t)\ \ \ ただし |C|=1\\ &\hspace{1.4cm}^\uparrow_j\hspace{1.1cm}^\uparrow_k );

同種の2つの粒子の位置座標を入れ替えても、波動関数の絶対値は変化せず、 その位相のみが変化する。

一般には、 C \bm r_a, \bm r_b に依存して変化してしまうのであるが、 この値が定数となるように波動関数を選ぶことも可能である。

というのも、「同種粒子の座標 \bm r_a, \bm r_b を入れ替える」という線形変換 \hat P_{ab} に対してハミルトニアン \hat H は不変になるから、 任意の \Psi に対して

&math(P_{ab}\big\{\hat H\Psi\big\}=\big\{P_{ab}\hat H\big\}\big\{P_{ab}\Psi\big\}=\hat HP_{ab}\Psi );

が成り立つ。すなわち両者は可換 P_{ab}\hat H=\hat HP_{ab} であり、 同時固有関数が存在するのである。

そのような固有関数 \Psi に対しては、

  \hat \Psi=\varepsilon \Psi

に加えて、

 &math( P_{ab}&\Psi(\dots,\bm r_a,\dots,\bm r_b,\dots,t)=C\Psi(\dots,\bm r_a,\dots,\bm r_b,\dots,t)\\ =&\Psi(\dots,\bm r_b,\dots,\bm r_a,\dots,t) );

が成り立ち、このとき C P_{ab} の固有値であるから定数となる。

P_{ab}^2=E より C^2=1 であり、 C=\pm 1 が導かれる。

場の量子論などの進んだ研究から、 実在粒子の波動関数はシュレーディンガー方程式に加えて 粒子入替操作の固有関数になっているという条件も満たさねばならないことが知られており、 例えば電子では C=-1 、光子では C=+1 の固有関数になる。

  • C=-1 となる粒子はフェルミ粒子(フェルミオン)
  • C=+1 となる粒子はボーズ粒子(ボゾン)

と呼ばれ、
フェルミ粒子はスピンが半整数値をとり、
ボーズ粒子はスピンが整数値をとることも、知られている。

実際の波動関数は実空間座標の他にスピン座標 s_j の関数でもあり、

  \Psi(\bm r_1,s_1,\bm r_2,s_2,\dots,\bm r_n,s_n)

の形を取る。粒子の入れ替えは空間座標とスピンの座標を同時に入れ替える操作に対応する。

パウリの排他律1

フェルミオンに関する著しい性質として、 2つのフェルミオンが同じ座標を取る確率は常にゼロになる。

なぜならこの場合、2つの位置座標を入れ替えても形が変わらないため、

 &math( \Psi(\dots,\bm r_a,s_a,\dots,\bm r_a,s_a,\dots,t)=C\Psi(\dots,\,&\bm r_a,s_a,\dots,\bm r_a,s_a,\dots,t)\\ &\ \ \uparrow\hspace{17mm}\uparrow\\ &\ \ \ 入れ替えた );

 &math( &(1-C)\Psi(\dots,\bm r_a,s_a,\dots,\bm r_a,s_a,\dots,t)=0\\ );

 &math( &2\Psi(\dots,\bm r_a,s_a,\dots,\bm r_a,s_a,\dots,t)=0\\ );

となり、波動関数の値がゼロになる。

ボゾンの場合には 1-C=0 となるため、必ずしも波動関数はゼロとならず、 同じ座標に複数の粒子が存在できる。

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