量子力学Ⅰ/水素原子 のバックアップ(No.2)

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量子力学Ⅰ

水素原子

動径方向のシュレーディンガー方程式は、

 &math(

  • \frac{\hbar^2}{2m}\frac{\PD^2}{dr^2}rR(r)+ \underbrace{\left\{V(r)+\frac{\hbar^2}{2m}\frac{l(l+1)}{r^2}\right\}}_{V'(r)} rR(r)=\varepsilon rR(r) );

\chi=rR(r) と置けば、 \chi に対する方程式は V(r) と遠心力とを加えた仮想的なポテンシャル V'(r) の中を運動する粒子の 一次元シュレーディンガー方程式と一致する。

水素原子の原子核は電荷 e を持つが、 ここでは少し一般化して電荷 Ze を持つ原子核との相互作用を考える。

  V(r)=-\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Ze^2}{r}

長さを無次元化して、 \rho=Z\frac{r}{a_0} と置く。 ただし a_0=\frac{4\pi\epsilon_0\hbar^2}{e^2m}=5.29177\times 10^{-11}\,\mathrm{m} はボーア半径と呼ばれ、 Z=1 つまり水素原子の場合の特性長である。

すると、

 &math( \frac{\PD^2\chi}{\PD\rho^2}+\left\{\frac{2}{\rho}-\frac{l(l+1)}{\rho^2}\right\}\chi+\eta\chi=0 );

のように単純化できる。

ただし、 \eta=\varepsilon/\varepsilon_0 ここで、 \varepsilon_0=Z^2\left(\frac{e^2}{4\pi\epsilon_0}\right)^2\frac{m}{2\hbar^2} は系の特性エネルギーである。

上の方程式は \rho\to 0 のとき、

  \frac{\PD^2\chi}{\PD\rho^2}\sim\frac{l(l+1)}{\rho^2}\chi

となるから、近似的に \chi\propto \rho^{l+1} となっているはずである。 また、ここでは束縛解を考えているため \rho\to\infty において \chi\to 0 である。

これらの境界条件を満たす解は、 n n>l の整数として、

  \eta=-\frac{1}{n^1}

となるときのみ存在することを示せる。→ 詳しくはこちら

このとき、

  \varepsilon=-\varepsilon_0\frac{1}{n^2}  ただし l<n

である。具体的な解の形は、


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