多粒子系の波動関数とボゾン・フェルミオン のバックアップソース(No.1)

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[[量子力学Ⅰ]]

* 1粒子系の量子力学の復習 [#vcf8a3db]

量子力学において1粒子の運動は、
粒子の位置を変数とする複素関数(波動関数)が満たす
シュレーディンガー方程式により記述された。

粒子の位置:&math(\bm r);~
波動関数:&math(\psi(\bm r,t));~
方程式:&math(i\hbar\frac{\PD}{\PD t}\psi(\bm r,t)=\hat H\psi(\bm r,t));

シュレーディンガー方程式は、

 &math(i\hbar\frac{\PD}{\PD t}=\hat H);

の形をしているが、これは前期量子論における

 &math(\hbar\omega=\epsilon);

という関係に対応していた。

ただし、&math(\hat H); は古典力学におけるシュレーディンガー方程式に現れる
粒子の運動量 &math(\bm p); を &math(\hbar\nabla/i); で置き換えた物である。

シュレーディンガー方程式を解いて得られた波動関数の絶対値の二乗が
時刻 &math(t); に粒子を位置 &math(\bm r); を見いだす確率となる。

その他の物理量 &math(O); の期待値 &math(\langle O\rangle); は、
物理量に対応する演算子を &math(\hat O); として次のように与えられる。

 &math(\langle O\rangle(t)=\int \hat O \psi(\bm r,t)\hat O^\dagger d\bm r);

* 2粒子系の量子力学 [#w3265732]

2つの電子の位置座表をそれぞれ &math(\bm r_1,\bm r_2); とする。

2粒子系の波動関数を &math(\psi(\bm r_1,\bm r_2,t)); として、

シュレーディンガー方程式を

 &math(i\hbar\frac{\PD}{\PD t}\psi(\bm r_1,\bm r_2,t)=\hat H\psi(\bm r_1,\bm r_2,t));

としたならば、これは1粒子系で学んだ内容の自然な拡張となっている。

ただし、&math(\hat H); は古典力学における2粒子系の方程式に現れる
2つの粒子の運動量 &math(\bm p_1,\bm p_2); を
&math(\nabla_{\bm r_1}, \nabla_{\bm r_2}); に置き換えた物となる。

シュレーディンガー方程式を解いて得られた波動関数の絶対値の二乗が
時刻 &math(t); に粒子を位置 &math(\bm r_1,\bm r_2); に見いだす確率となる。

その他の物理量 &math(O); の期待値 &math(\langle O\rangle); は、
物理量に対応する演算子を &math(\hat O); として次のように与えられる。

 &math(\langle O\rangle(t)=\iint \hat O \psi(\bm r_1,\bm r_2,t)\hat O^\dagger d\bm r_1\bm r_2);

例:

2粒子がクーロン相互作用しているなら、&math(V(\bm r_1,\bm r_2)=\frac{-1}{4\pi\varepsilon}\frac{e_1e_2}{|\bm r_1-\bm r_2|}); となるから、

&math(
\hat H(\bm r_1,\bm r_2,t)=
-\frac{\hbar^2}{2}\nabla_{r_1}^2-\frac{\hbar^2}{2}\nabla_{r_2}^2
-\frac{1}{4\pi\varepsilon}\frac{e_1e_2}{|\bm r_1-\bm r_2|});

である。

* 多粒子系の量子力学 [#ne59b5a9]

位置座表をそれぞれ &math(\bm r_1,\bm r_2,\dots,\bm r_n); として、~
波動関数を &math(\psi(\bm r_1,\bm r_2,\dots,\bm r_n,t)); とすれば良い。

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