スピントロニクス理論の基礎/8-10 のバックアップ差分(No.1)

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[[スピントロニクス理論の基礎]]

* 8-10 不純物散乱の元での Green 関数 [#l1954e43]

(8.116)

&math(
&v_i(\bm q)\equiv \frac{1}{V}\int d^3re^{i\bm q\cdot\bm r}v_i(\bm r)\\
&=\frac{1}{V}\sum_k^{N_i}v_ka^3\int d^3re^{i\bm q\cdot\bm r}[\delta(\bm r-\bm R_k)-1/V]\\
&=\frac{a^3}{V}\sum_k^{N_i}v_k(e^{i\bm q\cdot\bm R_k}-\delta_{\bm q,0})
);

を不純物散乱ポテンシャルの Fourier 変換と定義すると、対応するハミルトニアンは

&math(
&V_i=\int d^3rv_i(\bm r)c^\dagger(\bm r)c(\bm r)\\
&=\int d^3r
\left(\sum_{\bm q}e^{-i\bm q\cdot\bm r}v_i(\bm q)\right)
\left(\frac{1}{\sqrt V}\sum_{\bm k}e^{-i\bm k\cdot\bm r}c_{\bm k}^\dagger\right)
\left(\frac{1}{\sqrt V}\sum_{\bm k'}e^{i\bm k'\cdot\bm r}c_{\bm k'}\right)\\
&=\sum_{\bm q,\bm k,\bm k'}v_i(\bm q)c_{\bm k}^\dagger c_{\bm k'}\frac{1}{V}\int d^3re^{i(-\bm q-\bm k+\bm k')\cdot\bm r}\\
&=\sum_{\bm q,\bm k,\bm k'}v_i(\bm q)c_{\bm k}^\dagger c_{\bm k'}\delta_{\bm q+\bm k,\bm k'}\\
&=\sum_{\bm q,\bm k}v_i(\bm q)c^\dagger(\bm k)c(\bm k+\bm q)
);


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