スピントロニクス理論の基礎/8-6 のバックアップソース(No.2)

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[[スピントロニクス理論の基礎]]

* 8-6 実際の時刻で表した Green 関数 [#c7e0f53d]

(8.65) これは (8.56), (8.57) でやった内容。

(8.66), (8.67), (8.68)

&math(&G(\bm r,\tau\in C_\rightarrow,\bm r',\tau'\in C_\leftarrow)\\
&=-i\Big[\theta(\tau-\tau')\langle U_{C_\beta}c_\mathrm H(\bm r,\tau)c_\mathrm H^\dagger(\bm r',\tau')\rangle
-\theta(\tau'-\tau)\langle U_{C_\beta}c_\mathrm H^\dagger(\bm r',\tau')c_\mathrm H(\bm r,\tau)\rangle\Big]\\
&=i\langle U_{C_\beta}c_\mathrm H^\dagger(\bm r',\tau')c_\mathrm H(\bm r,\tau)\rangle\\);

&math(=i\llangle c_\mathrm H^\dagger(\bm r',t')c_\mathrm H(\bm r,t)\rrangle\equiv G^<(\bm r,t,\bm r',t'));

&math(\tau\in C_\rightarrow,\tau'\in C_\leftarrow); では、&math(\tau<\tau'); であることに注意。~
これを lesser Green 関数と呼ぶ。

同様に、

&math(&G(\bm r,\tau\in C_\leftarrow,\bm r',\tau'\in C_\rightarrow)\\
&=-i\Big[\theta(\tau-\tau')\langle U_{C_\beta}c_\mathrm H(\bm r,\tau)c_\mathrm H^\dagger(\bm r',\tau')\rangle
-\theta(\tau'-\tau)\langle U_{C_\beta}c_\mathrm H^\dagger(\bm r',\tau')c_\mathrm H(\bm r,\tau)\rangle\Big]\\
&=-i\langle U_{C_\beta}c_\mathrm H(\bm r,\tau)c_\mathrm H^\dagger(\bm r',\tau')\rangle\\);

&math(=-i\llangle c_\mathrm H(\bm r,t)c_\mathrm H^\dagger(\bm r',t')\rrangle\equiv G^>(\bm r,t,\bm r',t'));

&math(\tau\in C_\leftarrow,\tau'\in C_\rightarrow); では、&math(\tau>\tau'); であることに注意。~
これを greater Green 関数と呼ぶ。

このように経路 C 上の G は Dyson 方程式 (8.63) を満たし、それを実の時間上に射影すると &math(G^t,G^{\overline t},G^<,G^>); の4つの成分が現れる。ただし、&math(G^<,G^>); それら自身は本来の意味での Green にはなっていない(Dyson方程式を満たさない) ことに注意が必要である。

(8.69)

&math(G^r(\bm r,t,\bm r',t')-G^a(\bm r,t,\bm r',t'));

&math(
=-i\theta(t-t')\llangle \{c_\mathrm H(\bm r,t),c_\mathrm H^\dagger(\bm r',t')\}\rrangle
 -i\theta(t'-t)\llangle \{c_\mathrm H(\bm r,t),c_\mathrm H^\dagger(\bm r',t')\}\rrangle
);

&math(=-i\llangle \{c_\mathrm H(\bm r,t),c_\mathrm H^\dagger(\bm r',t')\}\rrangle);

&math(
=-i\llangle \{c_\mathrm H(\bm r,t)c_\mathrm H^\dagger(\bm r',t')\}\rrangle
 -i\llangle \{c_\mathrm H^\dagger(\bm r',t')c_\mathrm H(\bm r,t)\}\rrangle
);

&math(=G^>(\bm r,t,\bm r',t')-G^<(\bm r,t,\bm r',t'));

4つの Green 関数は独立ではなく、3つが決まれば残りの1つが決まることが分かる。

平衡状態では &math(G^r); と &math(G^a); が複素共役となり、
これらの情報のみで系を記述できる。

平衡状態からずれた状況では3つの Green 関数がフルに必要となる。

ただし、平衡状態からのずれを線形応答に限ってしまえば、
係数を平衡状態の性質で表すことができるため、
&math(G^r); と &math(G^a); の情報のみで十分となる。

(8.70)〜(8.73)

&math(G^t=-i\theta(t-t')\llangle c_\mathrm H\, c_\mathrm H^{\dagger\prime}\rrangle+i\theta(t'-t)\llangle c_\mathrm H^{\dagger\prime}\,c_\mathrm H\rrangle);

&math(G^{\overline t}=+i\theta(t-t')\llangle c_\mathrm H^{\dagger\prime}\,c_\mathrm H\rrangle-i\theta(t'-t)\llangle c_\mathrm H \,c_\mathrm H^{\dagger\prime}\rrangle);

&math(G^r=-i\theta(t-t')\llangle \{c_\mathrm H\,c_\mathrm H^{\dagger\prime}\}\rrangle);

&math(G^a=+i\theta(t'-t)\llangle \{c_\mathrm H\,c_\mathrm H^{\dagger\prime}\}\rrangle);

&math(G^<=+i\llangle c_\mathrm H^{\dagger\prime}\,c_\mathrm H\rrangle);

&math(G^>=-i\llangle c_\mathrm H\,c_\mathrm H^{\dagger\prime}\rrangle);

これらに、&math(1-\theta(t)=\theta(-t)); を使って、

&math(G^t=\theta(t-t')G^>+\theta(t'-t)G^<);

&math(G^t-G^<=G^r);

&math(G^t-G^>=G^a);

&math(G^{\overline t}=\theta(t-t')G^<+\theta(t'-t)G^>);

&math(G^{\overline t}-G^>=-G^r);

&math(G^{\overline t}-G^<=-G^a);

&math(G^r=\theta(t-t')(G^>-G^<));

&math(G^a=\theta(t'-t)(G^<-G^>));

(8.74)

&math(c(\bm r,t)=\frac{1}{\sqrt V}\sum_{\br k}e^{i\bm k\cdot\bm r}c_{\bm k}(t)
=\frac{1}{\sqrt V}\sum_{\bm k}e^{i\bm k\cdot\bm r} \frac{\sqrt \hbar}{2\pi}\int d\omega e^{-i\omega t}c_{\bm k\omega});

&math(c_{\bm k\omega}=\frac{1}{\sqrt\hbar}\int_{-\infty}^\infty dte^{i\omega t}c_{\bm k}(t)=
\frac{1}{\sqrt\hbar}\int_{-\infty}^\infty dte^{i\omega t}\frac{1}{\sqrt V}\int d^3re^{-i\bm k\cdot\bm r}c(\bm r,t));

(8.74A) これが重要

&math(c^\dagger_{\bm k\omega}=\left(c_{\bm k\omega}\right)^\dagger=\frac{1}{\sqrt\hbar}\int_{-\infty}^\infty dte^{-i\omega t}c^\dagger_{\bm k}(t)=
\frac{1}{\sqrt\hbar}\int_{-\infty}^\infty dte^{-i\omega t}\frac{1}{\sqrt V}\int d^3re^{i\bm k\cdot\bm r}c^\dagger(\bm r,t));

(8.75)

&math(G_{\bm k,\bm k'}^<(t,t')=i\textcolor{red}{\llangle c_{\mathrm H\bm k'}^\dagger(t')c_{\mathrm H\bm k}(t)\rrangle});

&math(G_{\bm k,\bm k',\omega,\omega'}^<=i\textcolor{red}{\llangle c_{\mathrm H\bm k'\omega'}^\dagger c_{\mathrm H\bm k\omega}\rrangle});

(8.76) 

(8.74A) のために、&math(t');, &math(r'); に対する変換は &math(i); が &math(-i); になる。

&math(&G^\alpha(\bm r,t,\bm r',t')=\frac{1}{V}\sum_{\bm k,\bm k'}e^{i\bm k\cdot\bm r}e^{-i\bm k'\cdot\bm r'}G_{\bm k,\bm k'}^\alpha(t,t')\\
&=\frac{\textcolor{red}{\hbar}}{4\pi^2V}\int d\omega\int d\omega'\sum_{\bm k,\bm k'}e^{-i\omega t}e^{i\omega' \textcolor{red}{t'}}e^{i\bm k\cdot\bm r}e^{-i\bm k'\cdot\bm r'}G_{\bm k,\bm k',\omega,\omega'}^\alpha);

&math(&G_{\bm k,\bm k',\omega,\omega'}=\frac{1}{\hbar}\int_{-\infty}^\infty dt\int_{-\infty}^\infty dt'e^{i\omega t}e^{-i\omega' \textcolor{red}{t'}}G_{\bm k,\bm k'}\alpha(t,t')\\
&=\frac{1}{\hbar V}\int_{-\infty}^\infty dt\int_{-\infty}^\infty dt'\int d^3r\int d^3r'e^{i\omega t}e^{-i\omega' \textcolor{red}{t'}}e^{-i\bm k\cdot\bm r}e^{i\bm k'\cdot\bm r'}G^\alpha(\bm r,\bm r',t,t')\\);

ただし &math((\alpha=r,a,<,>));

(8.77)

&math(\frac{1}{V}\sum_{\bm k}e^{i\bm k\cdot(\bm r-\bm r')}=\frac{1}{(2\pi)^3}\int d^3ke^{i\bm k\cdot(\bm r-\bm r')}=\delta^{\textcolor{red}{3}}(\bm r-\bm r'));

&math(\frac{1}{V}\int d^3re^{i(\bm k-\bm k')\cdot\bm r}=\delta_{\bm k,\bm k'}=\frac{(2\pi)^3}{V}\delta^{\textcolor{red}{3}}(\bm k-\bm k'));

&math(\frac{1}{2\pi}\int d\omega e^{^i\omega(t-t')}=\delta(t-t'));

(8.79)

自由な場合など、個々の電子の運動量と振動数が保存されている場合には、

&math(g_{0\bm k,\bm k',\omega,\omega'}^\alpha=\delta_{\bm k,\bm k'}2\pi\delta(\omega-\omega')g_{0\bm k,\omega}^\alpha);

のように、Fourier 成分が &math(\bm k,\bm k'); と &math(\omega, \omega'); に対して対角になる。

この場合、

(8.78)

&math(g_0^\alpha(\bm r,\textcolor{red}{t,\bm r',}t')=
\frac{\hbar}{2\pi V}\sum_{\bm k}\int d\omega e^{i\bm k\cdot(\bm r-\bm r')}e^{-i\omega(t-t')}g_{0\bm k,\omega}^\alpha);

のように、Green 関数は相対座標および相対時刻の関数となる。

またこのとき、Green 関数の Fourier 成分は &math(t); や &math(\bm r); ではなく、
&math(t-t'); や &math(\bm r-\bm r'); に対する変換係数になっているとも言える。

* 質問・コメント [#x97e0b50]

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