スピントロニクス理論の基礎/9-1A のバックアップソース(No.1)

更新 
目次はこちら ＞＞ [[スピントロニクス理論の基礎]]

* 9-1 スカラー場により誘起される電荷密度 [#bb8aa222]

不純物散乱に加えてスカラー場 &math(\phi); によるポテンシャルを考える。

&math(H=H_i+H_\phi\equiv H_0+V_i+H_\phi);

(8.96) と同様に、&math(U=U_\phiU_i); と置く。

ここで、&math(U_i); は &math(H_i); のみの時の解。
また、

(9.1)

&math(
H_\phi&=e\int d^3r\phi(\bm r,t)c^\dagger(\bm r,t)c(\bm r,t)\\
&=
e\int d^3r
\Big[\sum_{\bm q}\int\frac{d\Omega}{2\pi}e^{-i\bm q\cdot\bm r}e^{i\Omega t}\phi_{\bm q,\Omega}\Big]
\Big[\sum_{\bm k}\int\frac{d\omega}{2\pi}e^{-i\bm k\cdot\bm r}e^{i\omega t}c^\dagger_{\bm k,\omega}\Big]
\Big[\sum_{\bm k'}\int\frac{d\omega'}{2\pi}e^{i\bm k'\cdot\bm r}e^{-i\omega' t}c_{\bm k',\omega'}\Big]\\
&= e\sum_{\bm q,\bm k,\bm k'}\int\frac{d\Omega}{2\pi}\int\frac{d\omega}{2\pi}\int\frac{d\omega'}{2\pi}
e^{i(-\bm q-\bm k+\bm k')\cdot\bm r}e^{i(\Omega+\omega-\omega') t}
\phi_{\bm q,\Omega}c^\dagger_{\bm k,\omega}c_{\bm k',\omega'}
\\
&= e\sum_{\bm q,\bm k,\bm k'}\int\frac{d\Omega}{2\pi}\int\frac{d\omega}{2\pi}\int\frac{d\omega'}{2\pi}
\phi_{\bm q,\Omega}c^\dagger_{\bm k,\omega}c_{\bm k',\omega'}
\delta_{-\bm q-\bm k+\bm k',\bm0}\delta(\Omega+\omega-\omega')
\\
&=e\sum_{\bm k,\bm q}\int\frac{d\omega}{2\phi}\int\frac{d\Omega}{2\phi}\phi(\bm q,\Omega)c_{\bm k,\omega}^\dagger c_{\bm k+\bm q,\omega+\Omega}
);

ただし、

(9.2)

&math(
\phi_{\bm q,\Omega}=\frac{\hbar}{V}\int d^3r \int dt e^{i\bm q\cdot\bm r}e^{-i\Omega t}\phi(\bm r,t)
);

&math(
\phi(\bm r,t)=\sum_{\bm q}\int\frac{d\Omega}{2\pi}e^{-i\bm q\cdot\bm r}e^{i\Omega t}\phi_{\bm q,\Omega}
);

これを用いれば (8.101) と同様に、

(9.3A)

&math(
G(\bm r,\tau,\bm r',\tau')=\Big\langle
T_Ce^{-\frac{i}{\hbar}\int_C d\tau''V_{H_i}(\tau'')}
c_{H_i}^\dagger(\bm r',\tau')
c_{H_i}(\bm r,\tau)
\Big\rangle
);

ただしやはり (8.101) と同様に、この書き換えにより

(9.3B)

&math(U_{C_\beta}=e^{-\beta H(\tau_0)});

ではなく

(9.3C)

&math(U_{C_\beta}=e^{-\beta H_\phi(\tau_0)});

に書き換わってしまっていることに注意が必要。

(8.105) と同様に、

(9.3D)

&math(
&G(\bm r,\tau,\bm r',\tau')=g(\bm r,\tau,\bm r',\tau')\\
&+
\int_Cd\tau_1\int d^3r_1g(\bm r,\tau,\bm r_1,\tau_1)\times
\frac{i}{\hbar}\Big\langle 
T_C\,e^{-\frac{i}{\hbar}\int_Cd\tau''H(\tau'')}
[H_\phi(\tau_1),c(\bm r_1,\tau_1)]c^\dagger(\bm r',\tau')\Big\rangle\\
);

(8.108) と同様にして、

&math(
[H_\phi(\tau_1),c(\bm r_1,\tau_1)]=-e\phi(\bm r_1,\tau_1) c(\bm r_1,\tau_1)
);

となるから、

&math(
&G(\bm r,\tau,\bm r',\tau')=g(\bm r,\tau,\bm r',\tau')\\
&-
\int_Cd\tau_1\int d^3r_1g(\bm r,\tau,\bm r_1,\tau_1)\times
\frac{i}{\hbar}\Big\langle 
T_C\,e^{-\frac{i}{\hbar}\int_Cd\tau''H(\tau'')}
e\phi(\bm r_1,\tau_1)c(\bm r_1,\tau_1)c^\dagger(\bm r',\tau')\Big\rangle\\
&=g(\bm r,\tau,\bm r',\tau')
+i\frac{e}{\hbar}\int_Cd\tau_1\int d^3r_1g(\bm r,\tau,\bm r_1,\tau_1)
\phi(\bm r_1,\tau_1) G(\bm r_1,\tau_1,\bm r',\tau')
);
Counter: 4284 (from 2010/06/03), today: 1, yesterday: 0