固有値と固有ベクトル のバックアップソース(No.3)
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[[線形代数I]] #contents * 固有値問題 [#z22bc852] ** Ax と x との関係 [#e1e409d3] 正方行列 &math(A); を考える。 通常、&math(A\bm x); は元のベクトル &math(\bm x); と必ずしも平行にならない。 &math(A\bm x \ne k\bm x); 例: &math( A=\begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} ); &math(\bm x_1=\begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix}); であれば &math(A\bm x_1=\begin{bmatrix} 7 \\ 5 \end{bmatrix}\ne k\bm x_1); しかし、&math(\bm x); をうまく選ぶと &math(A\bm x\parallel\bm x); となる場合がある。 &math(\bm x_2=\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}); であれば &math(A\bm x_2=\begin{bmatrix} 4 \\ 4 \end{bmatrix}=4\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}=4\bm x_2); &math(\bm x_3=\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}); であれば &math(A\bm x_3=\begin{bmatrix} 2 \\ -2 \end{bmatrix}=2\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}=2\bm x_3); これらのベクトルについては、&math(A\bm x); が元のベクトル &math(\bm x); と平行になっている。 ** 固有値問題 [#n8137cfa] 与えられた正方行列 &math(A); に対して、&math(\lambda);、&math(\bm x); が &math(A\bm x=\lambda\bm x); を満たすとき、 - &math(\lambda); を &math(A); の ''固有値'' ~ (ギリシャ文字の "ラムダ" で書くのが慣例) - &math(\bm x); を &math(A); の固有値 &math(\lambda); に属する ''固有ベクトル'' と呼ぶ。 ''固有値問題'' とは、~ 与えられた正方行列 &math(A); に対して、 固有値と固有ベクトルを(すべて)求める問題である。 ** どんな役にたつ? [#ueb1b3e3] この授業でもやるように、「行列の対角化」の基礎となる。~ → 行列の対角化は広い範囲の応用がある 特に量子力学では固有値、固有ベクトルが主要な役割を担う。 *** 注意 [#k93c0594] &math(\bm x=\bm o); とすると、 &math(A\bm o=\lambda \bm o=\bm o); は任意の &math(\lambda); に対して成り立ってしまう。 この ''自明な解'' &math(\bm x=\bm o); は固有ベクトルに含めない。 * 固有値問題の解法 [#z259e48c] まずは固有値を求めよう。 &math(A\bm x=\lambda \bm x); が成り立つとすれば、これに単位行列 &math(I); を掛けて、 &math(A\bm x=\lambda I \bm x); と書ける。すると、 &math(A\bm x-\lambda I \bm x=(A-\lambda I)\bm x=\bm o); が成立しなければならない。 行列 &math((A-\lambda I)); が正則である場合(逆行列を持つ場合)、 上式の左から逆行列を掛けると、 - (左辺)&math(=(A-\lambda I)^{-1}(A-\lambda I)\bm x=\bm x); - (右辺)&math(=(A-\lambda I)^{-1}\bm o=\bm o); となり、&math(\bm x=\bm o); が導かれてしまう。 すなわち、ある &math(\lambda); について行列 &math((A-\lambda I)); が正則になる時、 ''固有ベクトルは存在しない''。 したがって、正則でなくなるための条件 &math(|A-\lambda I|=0); が ''固有ベクトルが存在するための &math(\lambda); に対する必要条件'' であることが分かる。 固有値 &math(\lambda); が満たすこの方程式は ''「行列 &math(A); の固有方程式」'' と呼ばれる。 得られた &math(\lambda); に対して、&math(A\bm x=\lambda\bm x); を変形した &math((A-\lambda I)\bm x=\bm o); を &math(\bm x); について解けば固有ベクトルが求まる。 >下に見るように、固有方程式を満たす &math(\lambda); に対しては必ず &math(\bm x); を求められる。 > >→ 固有方程式は &math(\lambda); が固有値となるための必要十分条件である ** 手順をまとめると [#v62edec1] 固有値問題を解くための手順は次の通り: - 固有方程式 &math(|A-\lambda I|=0); から &math(\lambda); を(いくつか)求める - (個々の &math(\lambda); について) &math((A-\lambda I)\bm x=\bm o); を解いて &math(\bm x); を求める したがって、 - 一般には1つの行列 &math(A); が複数の固有値 &math(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3,\dots); を持つ(1つのこともある) - それぞれの固有値には、その固有値に属する固有ベクトルが(場合によっては複数)存在する -- &math(\lambda_1); → &math(\bm x_{\lambda_1}^{(1)}, \bm x_{\lambda_1}^{(2)}, \dots); -- &math(\lambda_2); → &math(\bm x_{\lambda_2}^{(1)}, \bm x_{\lambda_2}^{(2)}, \dots); -- : -- : ** 具体例 [#r11e6ae5] &math( A=\begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} ); のとき、 &math(A-\lambda I&= \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} - \lambda \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \\&= \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} \lambda & 0 \\ 0 & \lambda \end{bmatrix} \\&= \begin{bmatrix} 3-\lambda & 1 \\ 1 & 3-\lambda \end{bmatrix} ); &math( |A-\lambda I| &= \begin{vmatrix} 3-\lambda & 1 \\ 1 & 3-\lambda \end{vmatrix} \\&= (3-\lambda)^2-1^2 \\&= (3-\lambda+1)(3-\lambda-1) \\&= (4-\lambda)(2-\lambda) ); &math( \therefore \lambda=2,4 ); 固有ベクトルは &math(\lambda); のそれぞれの値に対して個別に求める。 ① &math(\lambda=2); の時 &math( (A-\lambda I)\bm x &= \begin{bmatrix} 3-2 & 1 \\ 1 & 3-2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \bm o = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} ); &math(\bm x); を求める手順は &math((A-\lambda I)); を係数行列とする 連立方程式を解くことに帰着する。 拡大係数行列を行に対する基本変形を用いて階段化すると、 &math( \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0\\ 1 & 1 & 0 \end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} ); &math(\therefore x+y=0); 掃き出せなかった列に対応する &math(y); をパラメータに置き、&math(y=s); とすれば、 &math(x=-s); &math(\therefore \bm x=s\begin{bmatrix}-1\\1\end{bmatrix}); 同様に、 ② &math(\lambda=4); の時 &math( (A-\lambda I)\bm x &= \begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \bm o ); &math( \begin{bmatrix} -1 & 1 & 0\\ 1 & -1 & 0 \end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} 1 & -1 & 0\\ 1 & -1 & 0 \end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} 1 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} ); &math(\therefore x-y=0); そこで &math(y=t); と置けば、 &math(x=t); &math(\therefore \bm x=t\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}); まとめると、&math(A); は、~ 固有値 &math(\lambda=2); とそれに属する固有ベクトル &math(\bm x=s\begin{bmatrix}-1\\1\end{bmatrix});~ 固有値 &math(\lambda=4); とそれに属する固有ベクトル &math(\bm x=t\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix});~ を持つ。ただし、&math(s,t); は任意の数を表すパラメータである。 ** 注意 [#w5ce0617] 固有方程式より &math((A-\lambda I)); が正則でない、すなわち &math(\mathrm{rank}\,(A-\lambda I)<n); が保証されている。 固有ベクトルを求める連立方程式は斉次であるため、 係数行列の rank は拡大係数行列の rank と一致することになり、 最後に得られる階段行列の最終行は必ず &math(0=0); の形になる。 すなわち &math(n); 列のうち掃き出せない列が必ず1列以上存在し、 解 &math(\bm x); はパラメータを含む形となる。 言い換えれば、無数の解が得られることになる。 これは、固有方程式が固有値の満たすべき必要条件であるだけでなく、 十分条件になっていることを表している(固有方程式を満たす &math(\lambda); は必ず固有値となる)。 注)固有方程式の解を用いたにもかかわらず、連立方程式が 無数の解を持つ形にならない場合には、 どこかで計算を間違えているため見直すべきである。 * 固有方程式が解を持たない場合 [#yddfdf2e] 固有方程式が解を持たない場合があるだろうか? 例: &math(A=\begin{bmatrix}\cos \theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix}); &math(\theta\ne n\pi); の時、&math(A); は回転を表すため、 任意のベクトルが元とは異なる方向へ向くことになる~ → すなわち、元のベクトルと平行にならない。~ → すると、固有ベクトルは1つも存在しないはず!~ → 固有値も存在しないはず! &math(|A-\lambda I|= \begin{vmatrix} \cos \theta-\lambda & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta -\lambda \end{vmatrix} =0 ); &math((\cos \theta-\lambda)^2+\underbrace{(\sin\theta)^2}_{>\,0}=0); &math(\sin\theta\ne 0); では、左辺第2項が正となるから、 この方程式を満たす &math(\lambda); は確かに存在しない・・・~ → 本当? いや、''複素数の範囲'' でなら存在する! &math((\cos \theta-\lambda)^2=-(\sin\theta)^2); &math(\cos \theta-\lambda=\pm i\sin\theta); &math(\lambda=\cos \theta \pm i\sin\theta); 2つの解が得られたので場合分けをして: ① &math(\lambda=\cos \theta + i\sin\theta); の時 &math((A-\lambda I)\bm x&= \begin{bmatrix} \cos \theta-\lambda & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta -\lambda \end{bmatrix} \bm x = \begin{bmatrix} -i\sin\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & -i\sin\theta \end{bmatrix} \bm x\\ &= \sin\theta \begin{bmatrix} -i & -1 \\ 1 & -i \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = 0 ); &math( \begin{bmatrix} -i & -1 & 0 \\ 1 & -i & 0 \end{bmatrix} ); 一行目に &math(i); を掛けてみる &math( = \begin{bmatrix} 1 & -i & 0 \\ 1 & -i & 0 \end{bmatrix} ); &math( = \begin{bmatrix} 1 & -i & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} ); &math(x-iy=0); より &math(y=s); と置けば、 &math(x=is); &math(\therefore \bm x=s\begin{bmatrix} i \\ 1 \end{bmatrix}); ② &math(\lambda=\cos \theta - i\sin\theta); の時 &math((A-\lambda I)\bm x&= \begin{bmatrix} i\sin\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & i\sin\theta \end{bmatrix} \bm x\\ &= \sin\theta \begin{bmatrix} i & -1 \\ 1 & i \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = 0 ); &math( \begin{bmatrix} i & -1 & 0 \\ 1 & i & 0 \end{bmatrix} ); 一行目に &math(i); を掛けて &math( = \begin{bmatrix} -1 & -i & 0 \\ 1 & i & 0 \end{bmatrix} ); &math( = \begin{bmatrix} 1 & i & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} ); &math(x+iy=0); より &math(y=t); と置けば、 &math(x=-it); &math(\therefore \bm x=t\begin{bmatrix} -i \\ 1 \end{bmatrix}); 確認してみる: &math(A\bm x= \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} is \\ s \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} is\cos \theta - s\sin\theta \\ is\sin\theta + s\cos\theta \end{bmatrix} = s(\cos \theta + i\sin\theta) \begin{bmatrix} i \\ 1 \end{bmatrix} ); &math(A\bm x= \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -it \\ t \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -it\cos \theta - t\sin\theta \\ -it\sin\theta + t\cos\theta \end{bmatrix} = t(\cos \theta - i\sin\theta) \begin{bmatrix} -i \\ 1 \end{bmatrix} ); (騙されたみたい、に感じるけれど)ちゃんとうまく行く。 * 固有方程式の解 [#nae31dc3] ** 固有方程式の次数 [#vbe8bfb8] 固有方程式 &math(|A-\lambda I|=0); は必ず &math(\lambda); の &math(n); 次方程式となる。 &math( \begin{vmatrix} a_{11} - \lambda & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22}-\lambda & & \vdots \\ \vdots & & \ddots & \\ a_{n1} & \cdots & & a_{nn}-\lambda \\ \end{vmatrix} ); なぜなら・・・ 行列式は各行、各列から重複の無いように &math(n); 個の要素を抜き出して積を作り、 そのような積を可能な限り集めて和にした物であった。 行列式 = Σ ( n 個の要素の積 )&math(=\sum_{(i_1,i_2,\dots,i_n)}\varepsilon (i_1,i_2,\dots,i_n) a_{1i_1}a_{2i_2}\dots a_{ni_n}); したがって、行列式は対角要素を全て掛け合わせた項 &math((a_{11}-\lambda)(a_{22}-\lambda)\dots(a_{nn}-\lambda)); を含んでいる。この項は &math(\lambda); の &math(n); 乗を含んでいる。 また他の項から、&math(\lambda); の &math(n); より大きな次数の項は出ない。 &math(|A-\lambda I|= (a_{11}-\lambda)(a_{22}-\lambda)\dots(a_{nn}-\lambda)+);(&math(\lambda);の&math(n);次以下の項) → &math(|A-\lambda I|=0); は &math(\lambda); の &math(n); 次方程式である。 ** 代数学の基本定理 [#keb73eae] &math(n); 次方程式は複素数の範囲に必ず &math(n); 個の解を持つ。 したがって、それらの解を &math(\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_n); とすれば、 &math(|A-\lambda I|=(\lambda_1-\lambda)(\lambda_2-\lambda)\dots(\lambda_n-\lambda)); と因数分解できる。 ** 重複解 [#ka476ac8] &math(n); 個の解、というのは重複解を個別に数えているので、 重複解がある場合には、 &math(|A-\lambda I|=(\lambda_1-\lambda)^3(\lambda_2-\lambda)(\lambda_2-\lambda)^2\dots(\lambda_m-\lambda)); などとなって、異なる解の個数 &math(m); は &math(m<n); となる。 ** 固有値の個数 [#m7713e11] 重複度を含めて必ず &math(n); 個の固有値が存在する。 ** 例 [#h0720927] &math(n); 次行列 &math( A=\begin{bmatrix} 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} ); について、 &math(|A-\lambda I| = (3-\lambda)(2-\lambda)(1-\lambda)^2); &math(\lambda = 3, 2, 1); の3つの異なる固有値が見つかる。 ただし、1 は2重解であるため重複度を含めると4つの固有値がある。
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