線形代数Ｉ/実対称行列の対角化 のバックアップ(No.1)
更新培風館「教養の線形代数（五訂版）」に沿って行っている授業の授業ノート（の一部）です。
実対称行列の対角化 †
実対称行列の固有値は必ず実数 †
準備：
任意の複素ベクトル に対して、 は実数であり、 。等号は の時のみ成り立つ。
&math( \because \bm z=\begin{bmatrix}z_1\\z_2\\\vdots\\z_n\end{bmatrix}, \bar{\bm z}=\begin{bmatrix}\bar z_1\\\bar z_2\\\vdots\\\bar z_n\end{bmatrix}, {}^t\!\bar{\bm z}=\begin{bmatrix}\bar z_1&\bar z_2&\cdots&\bar z_n\end{bmatrix} );
&math( {}^t\!\bar{\bm z} \bm z&=\bar z_1 z_1 + \bar z_2 z_2 + \dots + \bar z_n z_n\\ &=\|z_1\|^2 + \|z_2\|^2 + \dots + \|z_n\|^2 \in \mathbb R\\ );
右辺は明らかに非負で、ゼロになるのは の時のみである。
証明：
の時、
&math( &\lambda\,{}^t\!\bar{\bm z} \bm z= {}^t\!\bar{\bm z} (\lambda\bm z)= {}^t\!\bar{\bm z} (A \bm z)= {}^t\!\bar{\bm z} A \bm z= {}^t\!\bar{\bm z}\, {}^t\!A \bm z= {}^t\!\bar{\bm z}\, {}^t\!\bar A \bm z=\\ &{}^t\!(\bar A\bar{\bm z}) \bm z= \overline{{}^t\!(A{\bm z})} \bm z= \overline{{}^t\!(\lambda{\bm z})} \bm z= \overline{(\lambda{}^t\!\bm z)} \bm z= \bar\lambda\,{}^t\!\bar{\bm z} \bm z );
&math( (\lambda-\bar\lambda)\,{}^t\!\bar{\bm z} \bm z=0 );
の時、 より、 を得る。
複素内積、エルミート行列 †
実は、複素ベクトルを考える場合、内積の定義は ではなく、 を用いる。
そうすることで、 がノルムとして定義される。
このとき、 を満たすのは対称行列 ( ) ではなく、 エルミート行列 である。対称行列は実エルミート行列と言っても良い。
対称行列に限らず、エルミート行列はすべて固有値が実数となる。
対称行列では固有ベクトルも実数となる。
複素エルミート行列の場合、固有ベクトルは実数にはならない。
以下は実数の範囲のみを考える。
実対称行列では、異なる固有値に属する固有ベクトルは直交する †
かつ の時、
すなわち、
より、
を得る。
実対称行列の直交行列による対角化 †
(1) 固有値がすべて異なる場合、固有ベクトルは自動的に直交するので、 大きさが１になるように選ぶことにより ( )、
は直交行列となり、この を用いて、
を対角行列にできる。
(2) 固有値に重複がある場合にも、
対称行列では、重複する固有値に属する１次独立な固有ベクトルを重複度分だけ見つけることが常に可能
（証明は (定理6.8) にあるが、ここでは省略）
それらをグラム・シュミットの直交化法により正規直交化し、他の固有ベクトルと合わせれば、 やはり直交行列 が得られる。
例 †
まず固有値を求める
&math( |A-\lambda I|&=\begin{vmatrix}2-\lambda&1&1\\1&2-\lambda&1\\1&1&2-\lambda\end{vmatrix}\\ &=\begin{vmatrix}4-\lambda&4-\lambda&4-\lambda\\1&2-\lambda&1\\1&1&2-\lambda\end{vmatrix}\hspace{1cm}\leftarrow\text{２，３行目を１行目に加えた}\\ &=(4-\lambda)\begin{vmatrix}1&1&1\\1&2-\lambda&1\\1&1&2-\lambda\end{vmatrix}\\ &=(4-\lambda)\begin{vmatrix}1&0&0\\1&1-\lambda&0\\1&0&1-\lambda\end{vmatrix}\\ &=(1-\lambda)^2(4-\lambda)\\ );
ただし は２重解。
I. の時、
&math( (A-\lambda I)\bm x&= \begin{bmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}\\ );
掃き出せない をパラメータ と置けば
したがって、
&math( \begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}=s\begin{bmatrix}-1\\0\\1\end{bmatrix}+t\begin{bmatrix}0\\-1\\1\end{bmatrix} );
II. の時、
&math( (A-\lambda I)\bm x&= \begin{bmatrix}-2&1&1\\1&-2&1\\1&1&-2\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}\\ );
&math( &\begin{bmatrix}-2&1&1&0\\1&-2&1&0\\1&1&-2&0\end{bmatrix}\\ &\sim \begin{bmatrix}1&-2&1&0\\-2&1&1&0\\1&1&-2&0\end{bmatrix}\\ &\sim \begin{bmatrix}1&-2&1&0\\0&-3&3&0\\0&3&-3&0\end{bmatrix}\\ &\sim \begin{bmatrix}1&-2&1&0\\0&1&-1&0\\0&1&-1&0\end{bmatrix}\\ &\sim \begin{bmatrix}1&0&-1&0\\0&1&-1&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}\\ );
掃き出せない をパラメータ と置けば
したがって、
&math( \begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}=s\begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix} );
が実対称行列であるため、
および が確認できる。
同じ固有値 に属する と とは直交しないので、これらをシュミットの 直交化法により直交させる。
&math(\bm f_2&=\begin{bmatrix}0\\-1\\1\end{bmatrix}-\left(\bm e_1,\begin{bmatrix}0\\-1\\1\end{bmatrix}\right)\bm e_1\\ &=\begin{bmatrix}0\\-1\\1\end{bmatrix}-\frac{1}{2}\begin{bmatrix}-1\\0\\1\end{bmatrix}\\ &=\frac{1}{2}\begin{bmatrix}1\\-2\\1\end{bmatrix});
したがって、
と置けば、 は直交行列となる。
念のため確かめてみると、
&math({}^t\!RR&=\begin{bmatrix}-1/\sqrt 2&0&1/\sqrt 2\\1/\sqrt 6&-2/\sqrt 6&1/\sqrt 6\\1/\sqrt 3&1/\sqrt 3&1/\sqrt 3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-1/\sqrt 2&1/\sqrt 6&1/\sqrt 3\\0&-2/\sqrt 6&1/\sqrt 3\\1/\sqrt 2&1/\sqrt 6&1/\sqrt 3\end{bmatrix}\\ &=\begin{bmatrix}1/2+1/2&-1/\sqrt{12}+1/\sqrt{12}&-1/\sqrt{6}+1/\sqrt{6}\\-1/\sqrt{12}+1/\sqrt{12}&1/6+4/6+1/6&1/\sqrt{18}-2/\sqrt{18}+1/\sqrt{18}\\-1/\sqrt 6+1/\sqrt 6&1/\sqrt{18}-2/\sqrt{18}+1/\sqrt{18}&1/\sqrt 3+1/\sqrt 3+1/\sqrt 3\end{bmatrix}\\ &=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix});
で、直交行列の条件 を満たしていることが分かる。
この を使って、 は
の形に直交化される。