線形代数Ｉ/実対称行列の対角化 のバックアップ差分(No.1)
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[[線形代数Ｉ]] #contents 培風館「教養の線形代数（五訂版）」に沿って行っている授業の授業ノート（の一部）です。 * 実対称行列の対角化 [#rae87767] ** 実対称行列の固有値は必ず実数 [#y13dad29] 準備： 任意の複素ベクトル &math(\bm z); に対して、&math({}^t\bar{\bm z}\bm z); は実数であり、 &math({}^t\bar{\bm z}\bm z\ge 0);。等号は &math(\bm z=\bm 0); の時のみ成り立つ。 &math( \because \bm z=\begin{bmatrix}z_1\\z_2\\\vdots\\z_n\end{bmatrix}, \bar{\bm z}=\begin{bmatrix}\bar z_1\\\bar z_2\\\vdots\\\bar z_n\end{bmatrix}, {}^t\!\bar{\bm z}=\begin{bmatrix}\bar z_1&\bar z_2&\cdots&\bar z_n\end{bmatrix} ); &math( {}^t\!\bar{\bm z} \bm z&=\bar z_1 z_1 + \bar z_2 z_2 + \dots + \bar z_n z_n\\ &=\|z_1\|^2 + \|z_2\|^2 + \dots + \|z_n\|^2 \in \mathbb R\\ ); 右辺は明らかに非負で、ゼロになるのは &math(\bm z=\bm 0); の時のみである。 証明： &math(A\bm z=\lambda \bm z); の時、 &math( &\lambda\,{}^t\!\bar{\bm z} \bm z= {}^t\!\bar{\bm z} (\lambda\bm z)= {}^t\!\bar{\bm z} (A \bm z)= {}^t\!\bar{\bm z} A \bm z= {}^t\!\bar{\bm z}\, {}^t\!A \bm z= {}^t\!\bar{\bm z}\, {}^t\!\bar A \bm z=\\ &{}^t\!(\bar A\bar{\bm z}) \bm z= \overline{{}^t\!(A{\bm z})} \bm z= \overline{{}^t\!(\lambda{\bm z})} \bm z= \overline{(\lambda{}^t\!\bm z)} \bm z= \bar\lambda\,{}^t\!\bar{\bm z} \bm z ); &math( (\lambda-\bar\lambda)\,{}^t\!\bar{\bm z} \bm z=0 ); &math(\bm z\ne \bm 0); の時、&math({}^t\!\bar{\bm z} \bm z\ne 0); より、 &math(\lambda=\bar \lambda); を得る。 *** 複素内積、エルミート行列 [#pa4e9431] 実は、複素ベクトルを考える場合、内積の定義は &math((\bm x,\bm y)={}^t\bm x\bm y); ではなく、 &math((\bm x,\bm y)={}^t\bar{\bm x}\bm y); を用いる。 そうすることで、&math(|z|^2=(\bm z,\bm z)\ge 0); がノルムとして定義される。 このとき、&math((A\bm x,\bm y)=(\bm x,A\bm y)); を満たすのは対称行列 (&math(A={}^tA);) ではなく、 エルミート行列 &math(A={}^t\!\bar A); である。対称行列は実エルミート行列と言っても良い。 対称行列に限らず、エルミート行列はすべて固有値が実数となる。 対称行列では固有ベクトルも実数となる。~ 複素エルミート行列の場合、固有ベクトルは実数にはならない。 以下は実数の範囲のみを考える。 ** 実対称行列では、異なる固有値に属する固有ベクトルは直交する [#o90f751d] &math(A\bm x=\lambda \bm x, A\bm y=\mu \bm y); かつ &math(\lambda\ne\mu); の時、 &math(\lambda(\bm x,\bm y)=(\lambda\bm x,\bm y)=(A\bm x,\bm y)=(\bm x,\,{}^t\!A\bm y)=(\bm x,A\bm y)=(\bm x,\mu\bm y)=\mu(\bm x,\bm y)); すなわち、 &math((\lambda-\mu)(\bm x,\bm y)=0); &math(\lambda-\mu\ne 0); より、 &math((\bm x,\bm y)=0); を得る。 ** 実対称行列の直交行列による対角化 [#rf85899c] (1) 固有値がすべて異なる場合、固有ベクトルは自動的に直交するので、 大きさが１になるように選ぶことにより (&math(\bm r_k=\frac{1}{|\bm p_k|}\bm p_k);)、 &math(R=\Bigg[\bm r_1\ \bm r_2\ \dots\ \bm r_n\Bigg]); は直交行列となり、この &math(R); を用いて、 &math(R^{-1}AR); を対角行列にできる。 (2) 固有値に重複がある場合にも、 対称行列では、重複する固有値に属する１次独立な固有ベクトルを重複度分だけ見つけることが常に可能~ （証明は (定理6.8) にあるが、ここでは省略） それらをグラム・シュミットの直交化法により正規直交化し、他の固有ベクトルと合わせれば、 やはり直交行列 &math(R); が得られる。 *** 例 [#udc7f9ee] &math(A=\begin{bmatrix}2&1&1\\1&2&1\\1&1&2\end{bmatrix}); まず固有値を求める &math( |A-\lambda I|&=\begin{vmatrix}2-\lambda&1&1\\1&2-\lambda&1\\1&1&2-\lambda\end{vmatrix}\\ &=\begin{vmatrix}4-\lambda&4-\lambda&4-\lambda\\1&2-\lambda&1\\1&1&2-\lambda\end{vmatrix}\hspace{1cm}\leftarrow\text{２，３行目を１行目に加えた}\\ &=(4-\lambda)\begin{vmatrix}1&1&1\\1&2-\lambda&1\\1&1&2-\lambda\end{vmatrix}\\ &=(4-\lambda)\begin{vmatrix}1&0&0\\1&1-\lambda&0\\1&0&1-\lambda\end{vmatrix}\\ &=(1-\lambda)^2(4-\lambda)\\ ); &math(\lambda=1,4); ただし &math(1); は２重解。 I. &math(\lambda=1); の時、 &math( (A-\lambda I)\bm x&= \begin{bmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}\\ ); &math(\therefore x+y+z=0); 掃き出せない &math(y,z); をパラメータ &math(s,t); と置けば &math(x=-s-t); したがって、 &math( \begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}=s\begin{bmatrix}-1\\0\\1\end{bmatrix}+t\begin{bmatrix}0\\-1\\1\end{bmatrix} ); II. &math(\lambda=4); の時、 &math( (A-\lambda I)\bm x&= \begin{bmatrix}-2&1&1\\1&-2&1\\1&1&-2\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}\\ ); &math( &\begin{bmatrix}-2&1&1&0\\1&-2&1&0\\1&1&-2&0\end{bmatrix}\\ &\sim \begin{bmatrix}1&-2&1&0\\-2&1&1&0\\1&1&-2&0\end{bmatrix}\\ &\sim \begin{bmatrix}1&-2&1&0\\0&-3&3&0\\0&3&-3&0\end{bmatrix}\\ &\sim \begin{bmatrix}1&-2&1&0\\0&1&-1&0\\0&1&-1&0\end{bmatrix}\\ &\sim \begin{bmatrix}1&0&-1&0\\0&1&-1&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}\\ ); &math(\therefore \begin{cases}x-z=0\\y-z=0\end{cases}); 掃き出せない &math(z); をパラメータ &math(s); と置けば &math(x=y=s); したがって、 &math( \begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}=s\begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix} ); &math(A); が実対称行列であるため、 &math(\begin{bmatrix}-1\\0\\1\end{bmatrix}\perp\begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix}); および &math(\begin{bmatrix}0\\-1\\1\end{bmatrix}\perp\begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix}); が確認できる。 同じ固有値 &math(\lambda=1); に属する &math(\begin{bmatrix}-1\\0\\1\end{bmatrix}); と &math(\begin{bmatrix}0\\-1\\1\end{bmatrix}); とは直交しないので、これらをシュミットの 直交化法により直交させる。 &math(\bm f_1=\begin{bmatrix}-1\\0\\1\end{bmatrix}); &math(\bm e_1=\frac{1}{|\bm f_1|}\bm f_1=\frac{1}{\sqrt 2}\begin{bmatrix}-1\\0\\1\end{bmatrix}); &math(\bm f_2&=\begin{bmatrix}0\\-1\\1\end{bmatrix}-\left(\bm e_1,\begin{bmatrix}0\\-1\\1\end{bmatrix}\right)\bm e_1\\ &=\begin{bmatrix}0\\-1\\1\end{bmatrix}-\frac{1}{2}\begin{bmatrix}-1\\0\\1\end{bmatrix}\\ &=\frac{1}{2}\begin{bmatrix}1\\-2\\1\end{bmatrix}); &math(\bm e_2=\frac{1}{|\bm f_2|}\bm f_2=\frac{1}{\sqrt 6}\begin{bmatrix}1\\-2\\1\end{bmatrix}); &math(\bm f_3=\begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix}); &math(\bm e_3=\frac{1}{|\bm f_3|}\bm f_3=\frac{1}{\sqrt 3}\begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix}); したがって、 &math(R=\begin{bmatrix}-1/\sqrt 2&1/\sqrt 6&1/\sqrt 3\\0&-2/\sqrt 6&1/\sqrt 3\\1/\sqrt 2&1/\sqrt 6&1/\sqrt 3\end{bmatrix}); と置けば、&math(R); は直交行列となる。 念のため確かめてみると、 &math({}^t\!RR&=\begin{bmatrix}-1/\sqrt 2&0&1/\sqrt 2\\1/\sqrt 6&-2/\sqrt 6&1/\sqrt 6\\1/\sqrt 3&1/\sqrt 3&1/\sqrt 3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-1/\sqrt 2&1/\sqrt 6&1/\sqrt 3\\0&-2/\sqrt 6&1/\sqrt 3\\1/\sqrt 2&1/\sqrt 6&1/\sqrt 3\end{bmatrix}\\ &=\begin{bmatrix}1/2+1/2&-1/\sqrt{12}+1/\sqrt{12}&-1/\sqrt{6}+1/\sqrt{6}\\-1/\sqrt{12}+1/\sqrt{12}&1/6+4/6+1/6&1/\sqrt{18}-2/\sqrt{18}+1/\sqrt{18}\\-1/\sqrt 6+1/\sqrt 6&1/\sqrt{18}-2/\sqrt{18}+1/\sqrt{18}&1/\sqrt 3+1/\sqrt 3+1/\sqrt 3\end{bmatrix}\\ &=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}); で、直交行列の条件 &math({}^t\!R=R^{-1}); を満たしていることが分かる。 この &math(R); を使って、&math(A); は &math(R^{-1}AR=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&4\end{bmatrix}); の形に直交化される。 * 質問・コメント [#jd6479a8] #article_kcaptcha
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