線形代数II/まとめ のバックアップ差分(No.1)

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[[線形代数Ⅱ]]

* 線形代数とは [#efa9142c]

ベクトル空間が持つ代数的構造を学ぶ

* ベクトル空間とは [#ne79752f]

適切に定義された「ベクトルの和」と「スカラー倍」に対して閉じた集合

２つの演算は、単位元を持つ、逆元を持つ、結合則、交換則、分配則が成り立つなど、
数ベクトルと同様の性質を持たなければならない。

* 部分空間とは [#jc55bc68]

あるベクトル空間 &math(V); の部分集合 &math(W); が、
「ベクトルの和」と「スカラー倍」に対して閉じていれば、
その集合 &math(W); もベクトル空間となる。

&math(W); を &math(V); の部分空間という。

* $n$ 次以下の $x$ の多項式 [#vd2de07f]

ある整数 &math(n); が与えられたとき、~
&math(n); 次以下の &math(x); の多項式の集合 &math(P(n)); は、~
多項式の和と定数倍に対してベクトル空間となる。

実係数多項式であれば &math(n+1); 次元実ベクトル空間に、~
複素係数多項式であれば &math(n+1); 次元複素ベクトル空間に、なる。

* 一次独立・従属 [#r07dc67d]

ベクトル &math(\bm x_1,\bm x_2,\dots,\bm x_n); の一次結合がゼロであること、すなわち
&math(\sum_{i=1}^n c_i\bm x_i=\bm 0); から、&math(c_1=c_2=\dots=c_n=0); を導けるなら、
これらのベクトルを一次独立と呼ぶ。

１つでも &math(0); でない &math(c_1,c_2,\dots,c_n); に対して一次結合がゼロになるなら一次従属と呼ぶ。

* 張る空間 [#u57cbbeb]

ベクトル &math(\bm x_1,\bm x_2,\dots,\bm x_n); が張る空間とは、
一次結合で表せるベクトルの集合のこと。名前から分かるとおり、
必ずベクトル空間となる。

&math([\bm x_1,\bm x_2,\dots,\bm x_n]=\set{\bm x|\bm x=\sum_{i=1}^n c_i\bm x_i})

* 張る空間の形 [#p044d497]

１つのベクトルが張る空間は通常直線的（１次元的）だが、
ゼロベクトルが張る空間は原点のみを含む集合となる。&math([\bm 0]=\set{\bm 0});

２つのベクトルが張る空間は通常平面的（２次元的）だが、
それらが一次従属だと直線や点になることもある。

３つのベクトルが張る空間は通常空間的（３次元的）だが、
それらが一次従属だと平面や直線、点になることもある。

* 基底・次元 [#mdf69272]

あるベクトル空間 &math(V); がベクトル &math(\bm x_1,\bm x_2,\dots,\bm x_n); で張られ
（&math(V=[\bm x_1,\bm x_2,\dots,\bm x_n]);）、なおかつこれらのベクトルが一次独立であるとき、
&math(\bm x_1,\bm x_2,\dots,\bm x_n); を &math(V); の基底と呼び、基底を構成するベクトルの数 &math(n); を &math(V); の次元と呼ぶ。&math(\dim V=n);
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