復習：ベクトルと図形 のバックアップ(No.5)

内容 †

• ベクトルに対応する点、点に対応するベクトル、ベクトルの長さ
• 内積と２つのベクトルのなす角
• ベクトルで表す直線や平面
• ベクトルの回転・反転を表す行列
• 複素ベクトルの内積

演習 †

(1)

平面上の三角形 の２辺が 、 で与えられるとき、 辺 の長さ および を求めよ。
また、これらを参考にして の に対する余弦定理を証明せよ。

(2)

空間内において、 ２点 &math(\mathrm A=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix},\ \mathrm B=\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix}); を通る直線、および、 点 を通り、直線 に垂直な平面を、ベクトルを用いたパラメータ表示で表せ。

(3)

空間内において、 方向の単位ベクトルを、 軸を回転軸として 軸方向に 回転し、さらに、 軸を回転軸として 軸方向から 軸方向へ 回転した後、 倍して得られるベクトルを答えよ。

(4)

任意の２次元複素ベクトル &math(\bm a=\begin{pmatrix} a+bi\\ c+di \end{pmatrix}); について、 となることを確かめよ。 ただし、 とする。

解答および解説 †

(1)

&math(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AC}}= |\overrightarrow{\mathrm{AB}}||\overrightarrow{\mathrm{AC}}|\cos\angle \mathrm{BAC}); より、

&math(\cos\angle \mathrm{BAC}= \frac{\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AC}}}{|\overrightarrow{\mathrm{AB}}||\overrightarrow{\mathrm{AC}}|}=\frac{1\cdot 3+2\cdot(-1)}{\sqrt{1^2+3^2}\sqrt{2^2+(-1)^2}} =\frac{1}{5\sqrt{2}});

の に対する余弦定理は、

&math( |\mathrm{AB}|^2+|\mathrm{AC}|^2-|\mathrm{AB}|\,|\mathrm{AC}|\cos\angle\mathrm{BAC} &=|\overrightarrow{\mathrm{BC}}|^2 );

であるが、

&math( (右辺)=|\overrightarrow{\mathrm{AC}}-\overrightarrow{\mathrm{AB}}|^2 );

であり、この右辺を展開すれば左辺が得られる。

(2)

直線は、

&math( \bm p&=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+s \overrightarrow{\mathrm{AB}}\\ &=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+s (\overrightarrow{\mathrm{OB}}-\overrightarrow{\mathrm{OA}})\\ &=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}+s\bigg (\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}\bigg)\\ &=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}-2\\-2\\-2\end{pmatrix}\\ );
&math( \phantom{\bm p}&=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}+s'\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\\ );

ただし、 は任意の実数パラメータ。

一方、平面を表すには と垂直な２つのベクトル、例えば

&math( \bm a=\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}, \bm b=\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix} );

を用いて(この２つのベクトル、暗算で見つけられますね？)次式を得る。

&math( \bm p=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\bm a+u\bm b =\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}

1. t\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}
2. u\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix} );

(3)

２次元で考えた場合、 平面上で 軸方向から 軸方向へ反時計回りに 回転する操作に対応する行列は &math( \begin{pmatrix} \cos\phi&-\sin\phi\\ \sin\phi&\cos\phi \end{pmatrix} ); であった。

この操作により、 が へ、 が へ、 それぞれ正しく移されることに注意せよ。

３次元空間で考えれば、同様の操作を表す行列は、 &math( \begin{pmatrix} \cos\phi&-\sin\phi&0\\ \sin\phi&\cos\phi&0\\ 0&0&0\\ \end{pmatrix} ); となる。

同様に、 平面上で 軸方向から 軸方向へ 回転する操作に対応する行列は、 &math(\begin{pmatrix} \cos\theta&0&\sin\theta\\ 0&0&0\\

• \sin\theta&0&\cos\theta \end{pmatrix}); となる。

この操作により、 が へ、 が へ、 それぞれ正しく移されることに注意せよ。

方向の単位ベクトル に これらの操作を続けて行い、最後に 倍した結果は、

&math( \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix}&=r\begin{pmatrix} \cos\phi&-\sin\phi&0\\ \sin\phi&\cos\phi&0\\ 0&0&1\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos\theta&0&\sin\theta\\ 0&1&0\\

• \sin\theta&0&\cos\theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\\ &=r\begin{pmatrix} \cos\phi&-\sin\phi&0\\ \sin\phi&\cos\phi&0\\ 0&0&1\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \sin\theta\\0\\\cos\theta \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} r\cos\phi\sin\theta\\ r\sin\phi\sin\theta\\ \cos\theta\\ \end{pmatrix} );

(4)

&math( |\bm a|^2&=(\bm a,\bm a)=\begin{pmatrix} a+bi\\ c+di \end{pmatrix}^\dagger\begin{pmatrix} a+bi\\ c+di \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} a-bi& c-di \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a+bi\\ c+di \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} (a-bi)(a+bi)+ (c-di)(c+di) \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} a^2-(bi)^2+ c^2-(di)^2 \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} a^2+b^2+c^2+d^2 \end{pmatrix}\\ &=a^2+b^2+c^2+d^2\in\mathbb{R} );

またこの結果から、 のどれか一つでもゼロで無い実数が含まれていれば となること、言い換えれば、 となるのは のときに限ることが分かる。

コメント・質問 †