復習:連立方程式と逆行列 のバックアップ(No.1)

更新


線形代数II

演習

(1)

次の連立方程式について、

&math( \begin{cases} ax+by=c\\ dx+ey=f \end{cases} );

(a) ただ1つの解を持つような &math(a,b,c,d,e,f); を1つ答えよ~
(b) 複数の解を持つような &math(a,b,c,d,e,f); を1つ答えよ~
(c) 1つも解が存在しないような &math(a,b,c,d,e,f); を1つ答えよ~

解答

(1)-(a)

規則性無く係数を選べばほぼ必ず解は1つに定まるが、分かりやすい形を答えるのであれば、 例えば a=1,\ b=0,\ c=1,\ d=0,\ e=1,\ f=2 とすれば、

&math( \begin{cases} x+0y=1\\ 0x+y=2 \end{cases} );

x=1,\ y=2 だけが解となる。

(1)-(b)

2つの式が独立な条件になっていないとき、解は無数に存在する。

たとえば、 a=b=c=d=e=f=1 とすれば、

&math( \begin{cases} x+y=1\\ x+y=1 \end{cases} );

であるから、 y=s と置けば &math(\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=s\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}+ \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix});

あるいは、 a=b=c=d=e=f=0 と置けば、任意の x,y が方程式の解となる。

(1)-(c)

絶対に成り立たない方程式を作ればいいから、

例えば a=b=0,\ c=1 と置けば、

&math( \begin{cases} 0x+0y=1\\ dx+ey=f \end{cases} );

となって、 d,e,f によらず第1式を満たす x,y は存在しないから、 解なし、となる。

あるいは、 a=b=c=d=e=1,\ f=2 と置けば、

&math( \begin{cases} x+y=1\\ x+y=2 \end{cases} );

となって、やはりこれらを同時に満たす x,y は存在しない。


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