復習：連立方程式と逆行列 のバックアップ差分(No.1)

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[[線形代数II]]

* 演習 [#h06d6faf]

(1)

次の連立方程式について、

&math(
\begin{cases}
ax+by=c\\
dx+ey=f
\end{cases}
);

 (a) ただ１つの解を持つような &math(a,b,c,d,e,f); を１つ答えよ~
 (b) 複数の解を持つような &math(a,b,c,d,e,f); を１つ答えよ~
 (c) １つも解が存在しないような &math(a,b,c,d,e,f); を１つ答えよ~


* 解答 [#zcc467ae]

(1)-(a)

規則性無く係数を選べばほぼ必ず解は１つに定まるが、分かりやすい形を答えるのであれば、
例えば &math(a=1,\ b=0,\ c=1,\ d=0,\ e=1,\ f=2); とすれば、

&math(
\begin{cases}
x+0y=1\\
0x+y=2
\end{cases}
);

&math(x=1,\ y=2); だけが解となる。

(1)-(b)

２つの式が独立な条件になっていないとき、解は無数に存在する。

たとえば、&math(a=b=c=d=e=f=1); とすれば、

&math(
\begin{cases}
x+y=1\\
x+y=1
\end{cases}
);

であるから、&math(y=s); と置けば 
&math(\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=s\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}+
\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix});

あるいは、&math(a=b=c=d=e=f=0); と置けば、任意の &math(x,y); が方程式の解となる。

(1)-(c)

絶対に成り立たない方程式を作ればいいから、

例えば &math(a=b=0,\ c=1); と置けば、

&math(
\begin{cases}
0x+0y=1\\
dx+ey=f
\end{cases}
);

となって、&math(d,e,f); によらず第１式を満たす &math(x,y); は存在しないから、
解なし、となる。

あるいは、&math(a=b=c=d=e=1,\ f=2); と置けば、

&math(
\begin{cases}
x+y=1\\
x+y=2
\end{cases}
);

となって、やはりこれらを同時に満たす &math(x,y); は存在しない。
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