線形代数II/抽象線形空間/性質 のバックアップ(No.1)

ゼロ元はただ１つだけ存在する †

がどちらもゼロ元であったとすると、

&math( \bm 0&=\bm 0+\bm 0' & & (ゼロ元 \bm 0') \\

    &=\bm 0'+\bm 0 &        & (和の交換則)    \\
    &=\bm 0'       &        & (ゼロ元 \bm 0)

);

より、 が導かれる。

逆元はただ１つだけ存在する †

の逆元が、 の２つ存在したとすると、

&math( (-\bm x)&=(-\bm x)+\bm 0 && (ゼロ元) \\

       &=(-\bm x)+\{\bm x+(-\bm x)'\}   && (逆元 (-\bm x)') \\
       &=\{(-\bm x)+\bm x\}+(-\bm x)'   && (和の結合則)     \\
       &=\{\bm x+(-\bm x)\}+(-\bm x)'   && (和の交換則)     \\
       &=\bm 0+(-\bm x)'                && (逆元 (-\bm x))  \\
       &=(-\bm x)'+\bm 0                && (和の交換則)     \\
       &=(-\bm x)'                      && (ゼロ元)

);

引き算 †

について、 の逆元を とするとき、

として、ベクトルの引き算を導入できる。

x-x=0 †