線形代数II/抽象線形空間/性質 のバックアップ差分(No.2)

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[[線形代数Ⅱ/抽象線形空間]]

* 群の公理からいくつか簡単な定理を導く [#dd385483]
#contents

* 線形空間の公理から基本的な定理を導く [#dd385483]

以下に示すようなほぼ自明に見える線形空間の性質は、
公理から導かれる定理として証明される。

** 線形空間の公理 [#qe6be02b]

&math(
&\forall \bm x,\forall \bm y\in V, & \bm x+\bm y&=\bm y+\bm x &&\to ベクトル和に対する交換則 \\
&\forall \bm x,\forall \bm y,\forall \bm z\in V, & (\bm x+\bm y)+\bm z&=\bm x+(\bm y+\bm z) &&\to ベクトル和に対する結合則 \\
&\forall \bm x\in V,\exists\bm 0\in V, & \bm x+\bm 0&=\bm x　&&\to ゼロ元の存在\\
&1\in K, \forall \bm x\in V, & 1\bm x&=\bm x &&\to １倍\\
&\forall \bm x\in V,\exists (-\bm x)\in V, & \bm x+(-\bm x)&=\bm 0&&\to 逆元の存在\\
&\forall a,\forall b\in K, \forall \bm x\in V, & (a+b)\bm x&=a\bm x+b\bm x &&\to 分配則(1)\\
&\forall a\in K, \forall \bm x,\forall \bm y\in V, & a(\bm x+\bm y)&=a\bm x+a\bm y &&\to 分配則(2)\\
&\forall a,\forall b\in K,\forall \bm x\in V,&a(b\bm x)&=(ab)\bm x&&\to スカラー倍の結合則
);

** ゼロ元はただ１つだけ存在する [#j804864f]

&math(\bm 0,\bm 0'); がどちらもゼロ元であったとすると、

&math(
\bm 0&=\bm 0+\bm 0' &        & (ゼロ元 \bm 0') \\
     &=\bm 0'+\bm 0 &        & (和の交換則)    \\
     &=\bm 0'       &        & (ゼロ元 \bm 0)
);

より、&math(\bm 0=\bm 0'); が導かれる。

** 逆元はただ１つだけ存在する [#k19f92fe]

&math(\bm x); の逆元が、&math((-\bm x),(-\bm x)'); の２つ存在したとすると、

&math(
(-\bm x)&=(-\bm x)+\bm 0                 && (ゼロ元)         \\
        &=(-\bm x)+\{\bm x+(-\bm x)'\}   && (逆元 (-\bm x)') \\
        &=\{(-\bm x)+\bm x\}+(-\bm x)'   && (和の結合則)     \\
        &=\{\bm x+(-\bm x)\}+(-\bm x)'   && (和の交換則)     \\
        &=\bm 0+(-\bm x)'                && (逆元 (-\bm x))  \\
        &=(-\bm x)'+\bm 0                && (和の交換則)     \\
        &=(-\bm x)'                      && (ゼロ元)
);

** 引き算 [#ce28fbed]

&math(\bm x,\bm y\in V); について、&math(\bm y); の逆元を &math((-\bm y)); 
とするとき、
&math(\bm x,\bm y\in V); について、&math(\bm y); の逆元を &math((-\bm y)\in V); として、

&math(\bm x-\bm y\equiv \bm x+(-\bm y));
&math(\bm x-\bm y\equiv \bm x+(-\bm y)\in V);

として、ベクトルの引き算を導入できる。
のようにベクトルの引き算を導入する。

** x-x=0 [#f412ef86]

&math(\bm x-\bm x=\bm x+(-\bm x)=\bm 0);
&math(
\bm x-\bm x&=\bm x+(-\bm x) && (引き算の定義)\\
&=\bm 0 &&(逆元)
);

** -(-x)=x [#j0014658]

&math((-\bm x)+\bm x=\bm x+(-\bm x)=\bm 0); より、
&math(\bm x); の逆元の逆元は &math(\bm x);

** a+b=a+c → b=c [#dbff027d]

&math(\bm a+\bm b=\bm a+\bm c); の時、両辺から &math(\bm a); を引くと、

&math(
(左辺)-\bm a&=(\bm b+\bm a)-\bm a && (交換則)\\
&=\bm b+(\bm a-\bm a) && (結合則)\\
&=\bm b+\bm 0 && (引き算の性質) \\
&=\bm b && (ゼロ元)
);

同様に &math((右辺)-\bm a=\bm c); となって、

&math(\bm b=\bm c); を得る。

** (-x)=(-1)x [#vba03f70]

&math(
2\bm x+(-\bm x)&=(1+1)\bm x+(-\bm x) && (2=1+1)\\
&=(1\bm x+1\bm x)+(-\bm x) && (分配則) \\
&=(1\bm x+\bm x)+(-\bm x) && (１倍) \\
&=1\bm x+\{\bm x+(-\bm x)\} && (結合則) \\
&=1\bm x+\bm 0 && (逆元) \\
&=1\bm x && (ゼロ元) \\
&=\{2+(-1)\}\bm x && (1=2+(-1)) \\
&=2\bm x+(-1)\bm x && (分配則) \\
);

&math(\therefore (-\bm x) = (-1)\bm x );

** 0x = 0 [#vf4e783c]

&math(0\bm x=\{1+(-1)\}\bm x=\bm x+(-1)\bm x=\bm x+(-\bm x)=\bm 0);

* 質問・コメント [#k462edbe]

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