線形代数II/抽象線形空間 のバックアップソース(No.4)

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[[線形代数Ⅱ]]

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* 「線形代数学」の意味 [#zb5eb4b1]

1年生の線形代数Iにおいて、「線形」の意味を教わった。

>関数 &math(f(\bm x)); が線形とは &math(f(a \bm x+b \bm y)=a f(\bm x)+b f(\bm y)); が成り立つこと

では「代数学」とは何だろうか?

小学生から大学1年生まで、様々な「数」を学んだ。

- &math(\mathbb N); 自然数 = 加算・乗算について閉じている
- &math(\mathbb Z); 整数  = 減算についても閉じている
- &math(\mathbb Q); 有理数 = 除算について「ほぼ」閉じている
- &math(\mathbb R); 実数  = 収束する有理数列の極限演算について閉じている
- &math(\mathbb C); 複素数 = 関数の求根操作について閉じている

知っての通り &math(\mathbb N \subset \mathbb Z \subset \mathbb Q \subset \mathbb R \subset \mathbb C);
であり、これまでの数学では新しい「演算」の導入により「数の集合」を拡大する方向で学んできた。

- 解析学は主に &math(\mathbb C); の上(あるいは &math(\mathbb C^n); の上)で
極限や微積分を扱う数学である

代数学は &math(\mathbb N, \mathbb Z, \mathbb Q, \mathbb R, \mathbb C); の系列から外れて、~
例えば、

>乗算は定義されるが加算は定義されない数の集合

などというように、「何らかの演算」が定義された「数の集合」を定め、
そこに現れる「構造」を研究する学問である。

これから学ぶ「ベクトル」も上で言う「数」の一員である。

* 代数学的構造の例:群 [#i1c86368]

ある「数」の集合 &math(\mathbb U); には演算 &math(*); が定義され、
&math(\mathbb U); は &math(*); について閉じているものとする。~
すなわち &math(x,y \in \mathbb U\rightarrow x*y\in \mathbb U); である。

さらにこの演算が次の性質を持つ時、
+ 結合法則 &math((a*b)*c=a*(b*c)); を満たす
+ &math(\mathbb U); には単位元 &math(1\in \mathbb U); が存在して、すべての &math(x \in \mathbb U); に対して &math(1*x=x*1=x); を満たす
+ すべての &math(x \in \mathbb U); に対して逆元 &math(y\in \mathbb U); が存在し、&math(x*y=y*x=1); を満たす

このような集合 &math(\mathbb U); は代数学において「群」と呼ばれる。

一見すると、&math(\mathbb U); を有理数 &math(\mathbb Q);、&math(*); を通常の乗算 &math(\times); と考えれば
「群の公理」を満たしそうに思えるが、&math(0\in \mathbb Q); が逆元を持たないため、
有理数 &math(\mathbb Q); は乗算 &math(\times); に対して群とはならない。

&math(\mathbb U); を有理数 &math(\mathbb Q); からゼロを除いた集合 &math(\mathbb Q-\{0\});、&math(*); を通常の乗算 &math(\times);、単位元を &math(1); とすれば、この集合は群を為す。

また、&math(\mathbb U); を整数 &math(\mathbb Z);、&math(*); を通常の加算 &math(+);、単位元を &math(0); と考えると、この場合も上記3つすべての条件を満たし、群を為す。

また、&math(\mathbb U); をゼロ以上の &math(k); の倍数 &math(\{\,nk\,|\,n\in \mathbb Z\ \wedge\ n\ge0\,\});、&math(*); を通常の加算 &math(+);、単位元を &math(0); と考えると、この場合も上記3つすべての条件を満たし、群を為す。

「群」の定義は上記の通り非常に単純であるが、
その数学的構造は非常に奥深く、群論だけで数学の1分野となる。~
応用理工では結晶学や分子振動における点群や、ゲージ理論などにおける対称性に関する議論に重要な応用がある。

* その他の代数的構造 [#udbe5ccb]

- 半群 = 群の公理の 1. のみを公理とする
- 群 = 上記参照
- 可換群 = 群の公理に交換律 &math(a*b=b*a); を加える
- 環 = 2つの演算 &math(+,*); を持ち、&math(+); に対して可換群、&math(*); に対して半群であり、分配法則 &math(a*(b+c)=a*b+a*c); が成立する
- 体 = 環でありかつ &math(*); に対しても、可換で、単位元を持ち、0 以外に対して逆元を持つ

これ以外にも数多くの代数的構造が研究されている。

このように、代数的構造は「数の集合」と「そこで定義される演算」の組み合わせに対して定義される。

例えば 有理数 &math(\mathbb Q); や実数 &math(\mathbb R);、複素数 &math(\mathbb C); は 
&math(+); に対して可換群であり、
&math(*); に対しても 0 を除いて可換群である。したがって上記の定義より、
&math(\mathbb Q, \mathbb R, \mathbb C); はこれらの演算に対して 体 を為す。~
そこでしばしば「有理体」などとも呼ばれる。

* 代数的構造の意味 [#i732e7d6]

「代数的構造」の優れた点は数学的に類似の構造を持つ対象を抜き出して、
それらをまとめて議論できる点にある。

「類似点」を公理の形で記し、公理のみを基に定理を導くことにより、
実際に適用される対象に依存せず、その対象の性質のみから結論を導ける。

* 線形空間 (あるいは ベクトル空間) [#ld04da61]

線形空間は「代数的構造」を表わしており、定義は次の通り。

まず、ある既知の「体」&math(K); を想定する。~
通常、&math(K); は実数 &math(\mathbb R); あるいは 複素数 &math(\mathbb C); に取られるが、必ずしもそうでなくても、ゼロ以外に対して自由に加減乗除が可能であるよう定義されていれば良い。ゼロによる除算は定義されない。

- 線形空間 &math(V); は集合であり、その元をベクトルと呼ぶ~
すなわち、&math(\bm x,\bm y\in V); の時 &math(\bm x,\bm y); はベクトル
- 2つのベクトルの間に「和」が定義され、&math(V); はベクトルの和に対して閉じている~
すなわち、任意の &math(\bm x,\bm y\in V); に対して &math(\bm x+\bm y\in V);
- &math(K); の元とベクトルとの間に「スカラー倍」が定義され、&math(V); はスカラー倍に対して閉じている~
すなわち、任意の &math(\bm x\in V); 任意の &math(a\in K); に対して &math(a\bm x\in V);
 
さらに、これらの「和」と「スカラー倍」に対して次の公理が成立する。~

+ 任意の &math(\bm x,\bm y,\bm z\in V); について &math((\bm x+\bm y)+\bm z=\bm x+(\bm y+\bm z)); → ベクトルの和に対する結合律
+ 任意の &math(\bm x,\bm y\in V); について &math(\bm x+\bm y=\bm y+\bm x); → ベクトルの和に対する交換律
+ ある &math(\bm 0\in V); があって、任意の &math(\bm x\in V); について &math(\bm x+\bm 0=\bm x); → ゼロ元の存在
+ &math(1\in K); について、任意の &math(\bm x\in V); について、&math(1\bm x=\bm x); → スカラーの単位元
+ 任意の &math(a,b\in K);、任意の &math(\bm x\in V); について、&math((a+b)\bm x=a\bm x+b\bm x); → 分配法則(1)
+ 任意の &math(a\in K);、任意の &math(\bm x,\bm y\in V); について、&math(a(\bm x+\bm y)=a\bm x+a\bm y); → 分配法則(2)

線形代数I で学んだ &math(n); 次元数ベクトル &math(\mathbb R^n); がこれらの公理を満たすことはほぼ自明である。

逆に、これらの公理を満たす集合 &math(V); を考えた時に、その構造がどこまで &math(\mathbb R^n); 
と似てくるかを考えるのが以下の目標となる。

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