量子力学Ⅰ/不確定性原理 のバックアップ差分(No.1)
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[[量子力学I/波動関数の解釈]] * 不確定性原理 [#q23b2625] 量子力学の重要な帰結として「不確定性原理」がある。 不確定性原理は例えば、&math(x); と &math(p_x); が同時に正確に定まるような状態は存在しない、という形で言い表せる。以下、この項では &math(p_x=p); と書き、一次元で考える。 上記を数学的に表わせば、&math(\sigma_x\cdot\sigma_p); に最小値があり、ある一定値以下にはならない、ということになる。 得られる結果は次のようになる。 &math( \sigma_x\cdot\sigma_p = \ge \frac{\hbar}{2} ); * 不確定性原理の導出 [#g5fe668e] 定義より、 &math(\sigma_x=\sqrt{\big\langle (x-\langle x\rangle)^2\big\rangle}); &math(\sigma_p=\sqrt{\big\langle (p-\langle p\rangle)^2\big\rangle}); より、 &math( (\sigma_x\cdot\sigma_p)^2 =\sigma_x^2\sigma_p^2=\big\langle (x-\langle x\rangle)^2\big\rangle \big\langle (p-\langle p\rangle)^2\big\rangle ); 演算子 &math(\alpha=x-\langle x\rangle);、 &math(\beta=p-\langle p\rangle=-i\hbar\frac{d}{dx}-\langle p\rangle); を導入すると、 &math( (\sigma_x\cdot\sigma_p)^2=\int \psi^*\alpha^2\psi\,dx\int \psi^*\beta^2\psi\,dx ); ここで &math(\alpha^*=\alpha); より、 &math( \sigma_x^2=\int (\alpha\psi)^*(\alpha\psi)\,dx ); &math(\beta); についても、 &math( \int \psi^*\beta^2\psi\,dx &=\int \psi^*\left[-i\hbar\frac{d}{dx}-\langle p\rangle\right]^2\psi\,dx\\ &=\int -\hbar^2\psi^*\frac{d^2\psi}{dx^2} +2i\hbar\psi^*\langle p\rangle\frac{d\psi}{dx} +\langle p\rangle|\psi|^2\,dx\\ ); であり、 &math( \int (\beta\psi)^*(\beta\psi)\,dx &=\int \left[+i\hbar\frac{d\psi^*}{dx}-\langle p\rangle\psi^*\right] \left[-i\hbar\frac{d\psi }{dx}-\langle p\rangle\psi \right]\,dx\\ &=\int \hbar^2\frac{d\psi^*}{dx}\frac{d\psi }{dx} -i\hbar\frac{d\psi^*}{dx}\langle p\rangle\psi +i\hbar\langle p\rangle\psi^*\frac{d\psi }{dx} +\langle p\rangle^2|\psi|^2 \,dx\\ ); 部分積分により、 &math( \int\psi^*\frac{d^2\psi}{dx^2}\,dx = -\int\frac{d\psi^*}{dx}\frac{d\psi}{dx}\,dx +\underbrace{\left[\psi^*\frac{d\psi}{dx}\right]_{-\infty}^{+\infty}}_{=0} ); &math( \int\psi^*\frac{d\psi}{dx}\,dx = -\int\frac{d\psi^*}{dx}\psi\,dx +\underbrace{\Big[\psi^*\psi\Big]_{-\infty}^{+\infty}}_{=0} ); であるから、 &math( \int \psi^*\beta^2\psi\,dx=\int (\beta\psi)^*(\beta\psi)\,dx ); と書ける。すなわち、 &math( (\sigma_x\cdot\sigma_p)^2=\int |\alpha\psi|^2\,dx\int |\beta\psi|^2\,dx ); 一般の &math(f,g); について、 &math( \int\Bigg|f-g\frac{\int fg^*dx}{\int|g|^2dx}\Bigg|^2dx\ge 0 ); は積分の中が常に非負であるから必ず成立する。 等号はある定数 &math(\gamma); に対して &math(x); の全範囲において &math(f=\gamma g); となる場合のみ成り立つ。 &math( \int|f|^2\,dx -\int f^*g\,dx\frac{\int fg^*dx}{\int|g|^2dx} -\int fg^*\,dx\frac{\int f^*gdx}{\int|g|^2dx} +\int|g|^2\,dx\left(\frac{\int fg^*dx}{\int|g|^2dx}\right)^2 \ge 0 ); 両辺に &math(\int|g|^2dx\ge 0); を掛けて、 &math( \int|f|^2dx\int|g|^2dx -\int f^*g\,dx\int fg^*dx \underbrace{-\int fg^*dx\int f^*g\,dx +\left(\int fg^*dx\right)^2}_{=0} \ge 0 ); したがって、 &math(\int|f|^2dx\int|g|^2dx\ge\left|\int f^*g\,dx\right|^2); を得る。&math(f=\alpha\psi);、&math(g=\beta\psi); とすれば、 &math( (\sigma_x\cdot\sigma_p)^2 &\ge\left|\int (\alpha\psi)^*\beta\psi\,dx\right|^2\\ &=\left|\int \psi^*\alpha\beta\psi\,dx\right|^2 ); となる。ここで、&math(\alpha^*=\alpha); を用いた。 右辺は、
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