量子力学Ⅰ/不確定性原理 のバックアップ差分(No.2)
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[[量子力学I/波動関数の解釈]] * 不確定性原理 [#q23b2625] 量子力学の重要な帰結として「不確定性原理」がある。 不確定性原理は例えば、&math(x); と &math(p_x); が同時に正確に定まるような状態は存在しない、という形で言い表せる。以下、この項では &math(p_x=p); と書き、一次元で考える。 上記を数学的に表わせば、&math(\sigma_x\cdot\sigma_p); に最小値があり、ある一定値以下にはならない、ということになる。 不確定性原理は例えば、「&math(x); と &math(p_x); が同時に正確に定まるような状態は存在しない」という形で言い表せる。 以下、この項では &math(p_x=p); と書き、一次元で考える。 得られる結果は次のようになる。 &math( \sigma_x\cdot\sigma_p = \ge \frac{\hbar}{2} ); &math(\sigma_x\cdot\sigma_p \ge \frac{\hbar}{2}); * 不確定性原理の導出 [#g5fe668e] 定義より、 &math(\sigma_x=\sqrt{\big\langle (x-\langle x\rangle)^2\big\rangle}); &math(\sigma_x=\sqrt{\big\langle (x-\langle x\rangle)^2\big\rangle}); &math(\sigma_p=\sqrt{\big\langle (p-\langle p\rangle)^2\big\rangle}); &math(\sigma_p=\sqrt{\big\langle (p-\langle p\rangle)^2\big\rangle}); より、 であるから、 &math( (\sigma_x\cdot\sigma_p)^2 =\sigma_x^2\sigma_p^2=\big\langle (x-\langle x\rangle)^2\big\rangle \big\langle (p-\langle p\rangle)^2\big\rangle ); 演算子 &math(\alpha=x-\langle x\rangle);、 &math(\beta=p-\langle p\rangle=-i\hbar\frac{d}{dx}-\langle p\rangle); を導入すると、 どちらもエルミートである。 &math( (\sigma_x\cdot\sigma_p)^2=\int \psi^*\alpha^2\psi\,dx\int \psi^*\beta^2\psi\,dx ); これは、 ここで &math(\alpha^*=\alpha); より、 &math(\int \psi^*(x\psi)\,d\bm r=\int (x\psi)^*\psi\,d\bm r); &math( \sigma_x^2=\int (\alpha\psi)^*(\alpha\psi)\,dx \int \psi^*\hat p\psi)\,d\bm r &=\int \psi^*(\frac{\hbar}{i}\frac{\PD}{\PD x}\psi)\,d\bm r\\ &=-\int \frac{\hbar}{i}\frac{\PD}{\PD x}\psi^*\psi\,d\bm r +\underbrace{\Big[\psi^*\psi\Big]_{-\infty}^{+\infty}}_{=0}\\ &=\int \hat p^*\psi^*\psi\,d\bm r\\ &=\int (\hat p\psi)^*\psi\,d\bm r\\ ); &math(\beta); についても、 より、&math(x,\hat p); がどちらもエルミートであることと、 定数もエルミートであること、エルミート同士の和がエルミートになること、から導かれる。 &math(\alpha,\beta); のエルミート性を用いることで、 &math( \int \psi^*\beta^2\psi\,dx &=\int \psi^*\left[-i\hbar\frac{d}{dx}-\langle p\rangle\right]^2\psi\,dx\\ &=\int -\hbar^2\psi^*\frac{d^2\psi}{dx^2} +2i\hbar\psi^*\langle p\rangle\frac{d\psi}{dx} +\langle p\rangle|\psi|^2\,dx\\ (\sigma_x\cdot\sigma_p)^2 &=\int \psi^*\alpha^2\psi\,dx\int \psi^*\beta^2\psi\,dx\\ &=\int (\alpha\psi)^*(\alpha\psi)\,dx\int (\beta\psi)^*(\beta\psi)\,dx\\ &=\int |\alpha\psi|^2\,dx\int |\beta\psi|^2\,dx\\ ); であり、 を得る。最後の積分を関数の内積として考えれば、それぞれ関数 &math(\alpha\psi); と &math(\beta\psi); のノルムの2乗を表わしている。 2つのベクトル &math(\bm x,\bm y); に対して一般に、 &math(|\bm x|^2|\bm y|^2\ge|(\bm x,\bm y)|^2); が成り立つから(シュバルツの不等式)、 &math( \int (\beta\psi)^*(\beta\psi)\,dx &=\int \left[+i\hbar\frac{d\psi^*}{dx}-\langle p\rangle\psi^*\right] \left[-i\hbar\frac{d\psi }{dx}-\langle p\rangle\psi \right]\,dx\\ &=\int \hbar^2\frac{d\psi^*}{dx}\frac{d\psi }{dx} -i\hbar\frac{d\psi^*}{dx}\langle p\rangle\psi +i\hbar\langle p\rangle\psi^*\frac{d\psi }{dx} +\langle p\rangle^2|\psi|^2 \,dx\\ (\sigma_x\cdot\sigma_p)^2 &\ge\left|\int (\alpha\psi)^*(\beta\psi)\,dx\right|^2\\ &=\left|\int \psi^*\alpha\beta\psi\,dx\right|^2\\ &=\left|\int \psi^*\left(\frac{\alpha\beta-\beta\alpha}{2}+\frac{\alpha\beta+\beta\alpha}{2}\right)\psi\,dx\right|^2\\ &=\frac{1}{4}\left|\int \psi^*(\alpha\beta-\beta\alpha)\psi\,dx\right|^2 +\frac{1}{4}\left|\int \psi^*(\alpha\beta+\beta\alpha)\psi\,dx\right|^2\\ ); 部分積分により、 と変形できる。最後の等式で落とした項は、 &math( \int\psi^*\frac{d^2\psi}{dx^2}\,dx = -\int\frac{d\psi^*}{dx}\frac{d\psi}{dx}\,dx +\underbrace{\left[\psi^*\frac{d\psi}{dx}\right]_{-\infty}^{+\infty}}_{=0} &\phantom{+} \frac{1}{4}\left(\int \psi^*(\alpha\beta-\beta\alpha)\psi\,dx\right)^* \left(\int \psi^*(\alpha\beta+\beta\alpha)\psi\,dx\right)\\ &+\frac{1}{4}\left(\int \psi^*(\alpha\beta+\beta\alpha)\psi\,dx\right)^* \left(\int \psi^*(\alpha\beta-\beta\alpha)\psi\,dx\right)\\ &=\frac{1}{4}\int \psi(\alpha^*\beta^*-\beta^*\alpha^*)\psi^*\,dx \int \psi^*(\alpha\beta+\beta\alpha)\psi\,dx\\ &+\frac{1}{4}\int \psi(\alpha^*\beta^*+\beta^*\alpha^*)\psi^*\,dx \int \psi^*(\alpha\beta-\beta\alpha)\psi\,dx\\ &=\frac{1}{2}\int \psi(\alpha^*\beta^*\psi^*)\,dx \int \psi^*(\alpha\beta\psi)\,dx -\frac{1}{2}\int \psi(\beta^*\alpha^*\psi^*)\,dx \int \psi^*(\beta\alpha\psi)\,dx\\ &=\frac{1}{2}\int (\alpha\beta\psi)^*\psi\,dx \int \psi^*(\alpha\beta\psi)\,dx -\frac{1}{2}\int (\beta\alpha\psi)^*\psi\,dx \int \psi^*(\beta\alpha\psi)\,dx\\ &=\frac{1}{2}\int (\beta\psi)^*(\alpha\psi)\,dx \int \psi^*(\alpha\beta\psi)\,dx -\frac{1}{2}\int (\alpha\psi)^*(\beta\psi)\,dx \int \psi^*(\beta\alpha\psi)\,dx\\ &=\frac{1}{2}\int \psi^*(\beta\alpha\psi)\,dx \int \psi^*(\alpha\beta\psi)\,dx -\frac{1}{2}\int \psi^*(\alpha\beta\psi)\,dx \int \psi^*(\beta\alpha\psi)\,dx\\ &=0 ); &math( \int\psi^*\frac{d\psi}{dx}\,dx = -\int\frac{d\psi^*}{dx}\psi\,dx +\underbrace{\Big[\psi^*\psi\Big]_{-\infty}^{+\infty}}_{=0} となって消える。 &math( (\alpha\beta-\beta\alpha)\psi &= x\frac{\hbar}{i}\frac{\PD}{\PD x}\psi-\frac{\hbar}{i}\frac{\PD}{\PD x}(x\psi)\\ &= x\frac{\hbar}{i}\frac{\PD}{\PD x}\psi-x\frac{\hbar}{i}\frac{\PD}{\PD x}(x\psi)-\frac{\hbar}{i}\psi\\ &= -\frac{\hbar}{i}\psi\\ ); であるから、 より、 &math( \int \psi^*\beta^2\psi\,dx=\int (\beta\psi)^*(\beta\psi)\,dx (\sigma_x\cdot\sigma_p)^2 &\ge\frac{1}{4}\left|\int \psi^*(i\hbar)\psi\,dx\right|^2 +\frac{1}{4}\left|\int \psi^*(\alpha\beta+\beta\alpha)\psi\,dx\right|^2\\ &\ge\frac{\hbar^2}{4} +\frac{1}{4}\left|\int \psi^*(\alpha\beta+\beta\alpha)\psi\,dx\right|^2\\ &\ge\frac{\hbar^2}{4} ); と書ける。すなわち、 すなわち、 &math(\sigma_x\cdot\sigma_p\ge\frac{\hbar}{2}); を得る。 ** 最小波束 [#y416874e] 2つの不等号で等号が成り立つ条件は、 + シュバルツの不等式で2つのベクトルが平行であること~ すなわち &math(\gamma); を定数として &math(\alpha\psi=\gamma\beta\psi); + &math(\int \psi^*(\alpha\beta+\beta\alpha)\psi\,dx=0); 1. より、 &math( (\sigma_x\cdot\sigma_p)^2=\int |\alpha\psi|^2\,dx\int |\beta\psi|^2\,dx (x-<x>)\psi=\gamma(\frac{\hbar}{i}\frac{\PD}{\PD x}-<p>)\psi ); 一般の &math(f,g); について、 &math( \int\Bigg|f-g\frac{\int fg^*dx}{\int|g|^2dx}\Bigg|^2dx\ge 0 \frac{\PD\psi}{\PD x}=\frac{i}{\hbar}\left(\frac{x-<x>}{\gamma}+<p>\right)\psi ); は積分の中が常に非負であるから必ず成立する。 等号はある定数 &math(\gamma); に対して &math(x); の全範囲において &math(f=\gamma g); となる場合のみ成り立つ。 &math( \int|f|^2\,dx -\int f^*g\,dx\frac{\int fg^*dx}{\int|g|^2dx} -\int fg^*\,dx\frac{\int f^*gdx}{\int|g|^2dx} +\int|g|^2\,dx\left(\frac{\int fg^*dx}{\int|g|^2dx}\right)^2 \ge 0 \psi(x,t)=\psi_0e^{\frac{i}{\hbar}\left(\frac{(x-<x>)^2}{2\gamma}+<p>x\right]} ); 両辺に &math(\int|g|^2dx\ge 0); を掛けて、 また、1. の式を 2. に代入すれば、 &math( \int|f|^2dx\int|g|^2dx -\int f^*g\,dx\int fg^*dx \underbrace{-\int fg^*dx\int f^*g\,dx +\left(\int fg^*dx\right)^2}_{=0} \ge 0 &math( 0&=\int \psi^*\frac{\alpha^2}{\gamma}\psi\,dx+\int (\beta\psi)^*\alpha\psi\,dx\\ &=\int \psi^*\frac{\alpha^2}{\gamma}\psi\,dx+\int (\frac{\alpha}{\gamma}\psi)^*\alpha\psi\,dx\\ &=\left(\frac{1}{\gamma}+\frac{1}{\gamma^*}\right)\int \alpha^2|\psi|^2\,dx\\ ); したがって、 &math(\int \alpha^2|\psi|^2\,dx>0); より、&math(1/\gamma+1/\gamma^*=0); すなわち &math(\gamma+\gamma^*=0); となり、&math(\gamma); は純虚数でなければならない。 &math(\int|f|^2dx\int|g|^2dx\ge\left|\int f^*g\,dx\right|^2); &math(x); の絶対値が大きいところで &math(\psi); が有限となるためには &math(\gamma); は負の虚数でなければならない。 実際、&math(\gamma=-2i\sigma_x^2/\hbar);、&math(\psi_0=1/\sqrt{2\pi\sigma_x^2}); とすることにより を得る。&math(f=\alpha\psi);、&math(g=\beta\psi); とすれば、 &math( (\sigma_x\cdot\sigma_p)^2 &\ge\left|\int (\alpha\psi)^*\beta\psi\,dx\right|^2\\ &=\left|\int \psi^*\alpha\beta\psi\,dx\right|^2 \psi(x,t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma_x^2}}\exp\left[\frac{(x-\langle x\rangle)^2}{4\sigma_x^2}+\frac{i\langle p\rangle}{\hbar}x\right] ); となる。ここで、&math(\alpha^*=\alpha); を用いた。 右辺は、 が得られ、この式は &math(\sigma_x^2 = \langle \alpha^2\rangle); を満足する、 規格化された波動関数を与える。
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