量子力学Ⅰ/固有値と期待値 のバックアップ差分(No.1)

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[[量子力学I]]

* 線形代数との対応 [#w7165328]

** 確率密度・期待値 [#a7c68936]

#multicolumns
''[ベクトル]''

&math(\bm a);

''[ノルムの二乗]''

&math(\|\bm a\|^2=(\bm a,\bm a));

#multicolumns
''[波動関数]''

&math(\psi(\bm r,t));

''[全確率密度]''

&math(\iiint |\psi(\bm r,t)|^2d\bm r=\iiint \psi^*(\bm r,t)\psi(\bm r,t)d\bm r);

#multicolumns(end)
#multicolumns

''[規格化]''

&math(\bm e_a=\frac{1}{\|\bm a\|}\bm a);

#multicolumns

''[規格化]''

&math(\Psi(\bm r,t)=\left[\iiint |\psi(\bm r,t)|^2d\bm r\right]^{-1/2}\psi(\bm r,t));

#multicolumns(end)
#multicolumns

''[$A_H$を挟んだ内積]''

エルミートなので

&math((\bm a,A_H\bm a)=(A_H\bm a,\bm a));

#multicolumns

''[$\hat H$の期待値]''

&math(\overline E&=\iiint \psi^*(\bm r,t)\hat H\psi(\bm r,t)d\bm r\\
&=\iiint \big(\hat H\psi(\bm r,t)\big)^*\psi(\bm r,t)d\bm r\\);

#multicolumns(end)

** 演習:物理量を表わす演算子のエルミート性 [#qf83b503]

ここでは任意の &math(f(x)\in U); が境界条件 &math(f(a)=f(b)=0); 
を満たすような関数空間 &math(U); を考える。

&math(a=\infty,b=-\infty); と取れば、現実的な問題では常にこの境界条件は満たされる。

(1) 演算子 &math(\hat x:f(x)\mapsto xf(x)); のエルミート共役が &math(\hat x); 自身になること、
すなわち &math(\hat x); がエルミート演算子であることを示せ。
(座標 &math(x); は実数であることに注意せよ)

(2) &math(U); において、演算子 &math(\frac{d}{dx}); のエルミート共役が &math(-\frac{d}{dx});
となることを上記の境界条件を用いて示せ。部分積分を使うと良い。

(3) &math(U); において、演算子 &math(\hat p:f(x)\mapsto \frac{\hbar}{i}\frac{d}{dx}); 
のエルミート共役が &math(\hat p); 自身になること、すなわち &math(\hat p); 
がエルミート演算子であることを示せ。

(4) エルミート演算子 &math(\hat A,\hat B); の和 &math(\hat A+\hat B:f(x)\mapsto \hat Af(x)+\hat Bf(x)); がエルミート演算子となることを示せ。

(5) エルミート演算子 &math(\hat A,\hat B); の積 &math(\hat A\hat B:f(x)\mapsto \hat A\big(\hat Bf(x)\big)); がエルミート演算子となることを示せ。

このように、境界でゼロとなる空間において、
&math(\hat x,\hat p); の和や積で表せる任意の演算子がエルミートになることが分かった。
一般に、任意の物理量は &math(x,p); の関数として表わすことができるが、
テイラー展開などにより &math(x,p); の和や積で表わすことが可能である。
したがって、任意の物理量に対応する演算子はエルミートになる。

当然、ハミルトニアン &math(\hat H); もエルミートである。

** シュレーディンガー方程式・固有値 [#h29e3be1]

#multicolumns

''[ベクトル方程式]''

&math(i\hbar\frac{\PD}{\PD t}\bm a(t)=A_H(t)\bm a(t));

#multicolumns

''[シュレーディンガー方程式]''

&math(i\hbar\frac{\PD}{\PD t}\psi(\bm r,t)=\hat H(\hat{\bm r},\hat{\bm p},t)\psi(\bm r,t));

#multicolumns(end)
#multicolumns

''[固有値方程式]''

&math(E\bm a(t)=A_H\bm a(t));

#multicolumns

''[時間に依存しないシュレーディンガー方程式]''

&math(E\psi(\bm r,t)=\hat H(\hat{\bm r},\hat{\bm p},t)\psi(\bm r,t));

#multicolumns(end)
#multicolumns

''[$A_H$の固有値・固有関数]''

&math(E=E_1,E_2,\dots);

&math(\bm a=\bm a_1,\bm a_2,\dots);

#multicolumns

''[エネルギー固有値・固有関数]''

&math(E=E_1,E_2,\dots);

&math(\psi(\bm r,t)=\psi_1(\bm r,t),\psi_2(\bm r,t),\dots);

#multicolumns(end)
#multicolumns
''[対角化]''

&math(A_H\bm e_k=E_k\bm e_k); のとき、

&math((\bm e_i,A_H\bm e_j)=(A_H)_{ij}=E_j\delta_{ij});

すなわち &math(\{\bm e_k\}); を基底にとれば &math(A_H); は対角行列である。

#multicolumns
''[固有関数に対する期待値]''

&math(\hat H\psi_k=E_k\psi_k); のとき、

&math(\iiint \psi_i^*(\bm r,t)\hat H\psi_j(\bm r,t)d\bm r=E_j\delta_{ij});

#multicolumns(end)
#multicolumns

''[固有ベクトルによる展開]''

&math(\bm a=\sum_{k=1}^\infty c_k\bm e_k); ならば、

&math((\bm a,A_H\bm a)&=\sum_{k=1}^\infty |c_k|^2(\bm e_k,A_H\bm e_k)\\
&=\sum_{k=1}^\infty |c_k|^2E_k);

#multicolumns

''[固有関数による展開]''

&math(\Psi=\sum_{k=1}^\infty c_k\psi_k); ならば、

&math(\overline E&=\iiint \Psi^*(\bm r,t)\hat H\Psi(\bm r,t)d\bm r\\
&=\sum_{k=1}^\infty |c_k|^2E_k
);

#multicolumns(end)


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