量子力学Ⅰ/物理量の固有関数 のバックアップ差分(No.10)

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* 概要 [#hb80fac0]

いくつかの物理量演算子の固有関数は量子力学的にも、数学的にも非常に重要な物となるため、
ここでまとめて学んでおこう。

** 目次 [#f67fcc4c]

[[量子力学Ⅰ]]

#contents

* ハミルトニアン [#a2d917ec]

** 演習:箱の中の自由粒子 = 正弦級数 [#nc8789b3]

箱の中の自由粒子に対して、ハミルトニアンの固有関数は正弦波となることを見た。

 &math(\varphi_n(\bm r)=\sqrt\frac{2}{\,a\,}\sin(n\pi x/a)); ただし &math(n=1,2,3,\dots);

この関数系は &math(\varphi(0)=\varphi(a)=0); という境界条件の下で正規直交完全系を為す。

(1) &math(n\ne m); のとき、&math(\int_0^a\varphi_n^*(x)\varphi_m(x)dx=0); を示せ。

(2) &math(n = m); のとき、&math(\int_0^a\varphi_n^*(x)\varphi_m(x)dx=1); を示せ。

(3) &math(a=1); のとき、

 &math(f(x)=\begin{cases}
x&(0<x<1/2)\\
x-1&(1/2<x<1)
\end{cases});

を &math(f(x)=\sum_{n=0}^\infty c_n\varphi_n(x)); の形に展開せよ。

*** 解説 [#mee554f5]

(3) の与式は下図で Target として示したように &math(x=1/2); に不連続点を持つが、
このような関数に対しても上記の無限級数は収束する。

この様子を見るために、展開係数を &math(n=4,16,64,256); 
までで打ち切った場合の関数形を示した。
次数が高くなるに従い、より正確に元の関数を表わしていることが分かる。

&attachref(sinusoidal-expansion.png);

グラフからも分かるように、展開後の式は定義域を拡大すれば周期 &math(1); の周期関数となる。

上記の関数系は &math(f(na)=0); を満たす周期 &math(a); 
の周期関数について完全系をなすと考えることもできる。

** 完全な自由粒子 = 複素フーリエ変換 [#t51d2065]

自由粒子のハミルトニアン演算子に対する固有値問題は、

 &math(\frac{\hat p^2}{2m}\varphi(\bm r)=\varepsilon\varphi(\bm r));

であるが、これは運動量演算子の固有値問題

 &math(\hat{\bm p}\varphi(\bm r)=\hbar\bm k\varphi(\bm r));

が解ければ

 &math(\frac{\hat p^2}{2m}\varphi(\bm r)=\frac{\hbar^2 k^2}{2m}\varphi(\bm r));

のように解けてしまうため、そちらで考えることにする。

すなわち、自由粒子に対しては運動量の固有関数はハミルトニアンの固有関数にもなっている。
このような固有関数を同時固有関数と呼ぶ((一般に、演算子 &math(\hat A,\hat B); が交換するとき &math(\hat A\hat B-\hat B\hat A=0); 一方の固有関数は両者の同時固有関数となる))。

* 運動量 = フーリエ変換 [#p51bf984]

運動量に対する固有値問題は

 &math(\hat{\bm p}\varphi(\bm r)=\frac{\hbar}{i}\bm \nabla\varphi(\bm r)=\hbar\bm k\varphi(\bm r));

すなわち、

 &math(\bm \nabla\varphi(\bm r)=i\bm k\varphi(\bm r));

と書けて、この固有関数は

 &math(\varphi_{\bm k}(\bm r)=e^{i\bm k\cdot\bm r});

である。ただしこの関数のノルムは

 &math(
\iiint |\varphi_{\bm k}(\bm r)|^2\,d\bm r
&=\iiint |e^{i\bm k\cdot\bm r}|^2\,d\bm r\\
&=\iiint 1\,d\bm r\\
&=\infty\\
);

のように発散してしまい、規格化することができない。

直交関係についても

 &math(
\iiint \varphi_{\bm k'}^*(\bm r)\varphi_{\bm k}(\bm r)\,d\bm r
&=\iiint e^{i(\bm k-\bm k')\cdot\bm r}\,d\bm r\\
&=\begin{cases}
\infty&(\bm k'=\bm k)\\
有限だが不定&(\bm k'\ne\bm k)\\
\end{cases}
);

のように、あと一歩のところで(?)一筋縄ではいかない。

この発散や不定の原因は積分範囲が無限であり、
固有値が連続であるところにある。
そこで一旦積分範囲を有限にとって理解を深めることにする。

** 複素フーリエ展開 [#mbb2c546]

&math(-l/2\le x\le l/2); の範囲に

 &math(\varphi_n(x)=\frac{1}{\sqrt l}e^{i2n\pi x/l});

を定義する。ただし、&math(n=\dots,-2,-1,0,1,2,\dots); は任意の整数である。

これらは、&math(\varphi(l)=\varphi(0)); を満たす周期 &math(l); の周期関数であり、
また、一次元運動量演算子の固有関数である。

このような境界条件を「周期的境界条件」と呼び、
数学的に扱いやすいために様々な問題を解く際に活用される。

さらにこの関数系は次の正規直交条件を満たす。

 &math(\int_{-l/2}^{l/2}\varphi_n^*(x)\varphi_m(x)\,dx
&=\frac{1}{\,l\,}\int_{-l/2}^{l/2}e^{i2\pi(m-n)x/l}\,dx\\
&=\delta_{nm});

この &math(\{\varphi_n(x)\}); は周期 &math(l); の周期関数の集合において正規直交完全系を為す。
すなわち周期 &math(l); の任意の周期関数 &math(f(x)); を、

 &math(f(x)=\sum_{n=-\infty}^\infty c_n\varphi_n(x)=\sum_{n=-\infty}^\infty c_ne^{i2n\pi x/l});

ただし、

 &math(c_n=\int_{-l/2}^{l/2}\varphi_n^*(x)f(x)\,dx=\frac{1}{\sqrt{l\,}}\int_{-l/2}^{l/2}e^{-i2n\pi x/l}f(x)\,dx);

と展開できる。

この展開は複素フーリエ級数展開と呼ばれ、量子力学以外でも広い範囲の応用がある。

** 実フーリエ級数展開 [#u6969274]

複素フーリエ級数展開において、
&math(f(x)); が実関数、つまり &math(f^*(x)=f(x)); である場合、
&math(\varphi_n^*(x)=\varphi_{-n}(x)); に注意して、

 &math(f^*(x)&=\sum_{n=-\infty}^\infty c_n^*\varphi_n^*(x)&\\
&=\sum_{n=-\infty}^\infty c_n^*\varphi_{-n}(x)&\\
&=\sum_{n'=-\infty}^\infty c_{-n'}^*\varphi_{n'}(x)\\
&=\sum_{n=-\infty}^\infty c_n\varphi_n(x)=f(x));

より、

 &math(c_n^*=c_{-n});

を得る。このとき、

 &math(f(x)
&=c_0\varphi_0(x)+\sum_{n=1}^\infty \Big(c_n\varphi_n(x)+c_{-n}\varphi_{-n}(x)\Big)\\
&=c_0\varphi_0(x)+\sum_{n=1}^\infty \Big(c_n\varphi_n(x)+c_n^*\varphi_n^*(x)\Big)\\
&=c_0\varphi_0(x)+\sum_{n=1}^\infty \mathrm{Re}\Big(c_n\varphi_n(x)\Big)\\
);

&math(c_n=a_n-ib_n); と置けば、

 &math(\mathrm{Re}\Big(c_n\varphi_n(x)\Big)
&=\frac{1}{\sqrt{l\,}}\mathrm{Re}\Big[(a_n-ib_n)\Big(\cos (2\pi n x/l)+i\sin(2\pi n x/l)\Big)\Big]\\
&=\frac{1}{\sqrt{l\,}}\Big(a_n\cos (2\pi n x/l)+b_n\sin(2\pi n x/l)\Big)\\
);

であるから、

 &math(f(x)
&=a_0\frac{1}{\sqrt{l\,}}+\sum_{n=1}^\infty \Big(a_n\frac{1}{\sqrt{l\,}}\cos (2\pi n x/l)+b_n\frac{1}{\sqrt{l\,}}\sin(2\pi n x/l)\Big)\\
);

と表せることになる。係数を調整して、

 &math(f(x)
&=a_0\sqrt{\frac{1}{l\,}}+\sum_{n=1}^\infty \Big(a_n\sqrt{\frac{2}{l\,}}\cos (2\pi n x/l)+b_n\sqrt{\frac{2}{l\,}}\sin(2\pi n x/l)\Big)\\
);

と書けば、ここに現れた &math(\sqrt{\frac{1}{l\,}},\sqrt{\frac{2}{l\,}}\cos (2\pi nx/l)\sqrt{\frac{2}{l\,}}\sin(2\pi nx/l)); は正規直交となるため((係数に現れた &math(\sqrt 2); の正体は、&math(\bigl\|\cos x\bigr\|^2=);&math(\bigl\|(e^{-x}+e^{x})/2\bigr\|^2=);&math(\bigl(\bigl\|e^{-x}\bigr\|^2+\bigl\|e^{x}\bigr\|^2\bigr)/4=);&math(1/2); に対する補正である))、

 &math(a_0=\int_{-l/2}^{l/2}\sqrt{\frac{1}{l\,}}f(x)\,dx);

 &math(a_n=\int_{-l/2}^{l/2}\sqrt{\frac{2}{l\,}}\cos(2\pi nx/l)f(x)\,dx);

 &math(b_n=\int_{-l/2}^{l/2}\sqrt{\frac{2}{l\,}}\sin(2\pi nx/l)f(x)\,dx);

のように係数を決定できる。

この展開は実フーリエ級数展開と呼ばれる。

** フーリエ変換 [#n5061b2e]

複素フーリエ展開において &math(l\to\infty); とすると &math(2\pi/l\to 0); であるから、
&math(\Delta k=2\pi/l,\ k=n\Delta k); と置けば、

 &math(
f(x)
&=\sum_{n=-\infty}^\infty c_n\frac{1}{\sqrt{l\,}}e^{i2\pi nx/l}\\
&=\sum_{n=-\infty}^\infty \frac{\sqrt{l\,}}{2\pi}c_ne^{in\Delta kx}\Delta k\\
&=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty \bigl(\sqrt{l\,}c_k\bigr)e^{ikx}dk
);

一方、

 &math(c_n&=\frac{1}{\sqrt{l\,}}\int_{-\infty}^\infty e^{-i2\pi nx/l}f(x)dx);

より、

 &math(\sqrt{l\,}c_k&=\int_{-\infty}^\infty e^{-ikx}f(x)dx);

そこで、&math(F(k)=\sqrt{\frac{l}{2\pi}}\,c_k); と書き直すと、

 &math(f(x)&=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty F(k)e^{ikx}dk);

 &math(F(k)&=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty e^{-ikx}f(x)dx);

を得る。

&math(f(x)); から &math(F(k)); への変換はフーリエ変換、~
&math(F(k)); から &math(f(x)); への変換は逆フーリエ変換と呼ばれる。

** ディラックのデルタ関数 [#o59eb6f4]

フーリエ変換の公式を逆フーリエ変換の公式に代入すれば、

 &math(
F(k)&=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty e^{-ikx}\left[\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty F(k')e^{ik'x}dk'\right]dx\\
&=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty e^{-ikx} F(k')e^{ik'x}dk'dx\\
&=\int_{-\infty}^\infty\underbrace{\left[\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty e^{i(k'-k)x} dx\right]}_{\delta(k'-k)}F(k')dk'\\
);

ここで、式中に示した括弧内を &math(\delta(k'-k)); と書けば、この関数 

 &math(\delta(k)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty e^{ikx} dx); 

は任意の &math(F(k)); に対して

 &math(F(0)=\int_{-\infty}^\infty\delta(k)F(k)dk);

を満たすことが分かる。

この関数の形状を思い浮かべるために、&math(x); の積分範囲を &math(\pm a); に制限した関数 &math(\delta_a(k)); を &math(a=10,50,200); についてプロットした。

 &math(\delta_a(k)=\frac{1}{2\pi}\int_{-a}^{a} e^{ikx} dx=\frac{\sin ak}{\pi k});

 &attachref(delta_function.png);

&math(k=0); においては、&math(x); の値によらず &math(e^{ikx}=1); となるため、
&math(a); に比例して &math(\delta_a(0)); は大きな値を取る。

&math(k\ne 0); では異なる &math(x); に対して &math(e^{ikx}); の位相が異なった物となるために
互いに打ち消し合い、積分範囲を増やしても値は大きくならない。

その結果、積分範囲 &math(a); を大きくしていくと共に &math(\delta_a(0)); は正の無限大に発散し、
&math(k\ne 0); においてはゼロの周りを振動する周期が無限小に短くなる。
このとき、ゼロを含まない任意の範囲 &math([k_1,k_2]); で &math(\delta(k)); 
の積分はゼロとなるため、実質的に &math(\delta(k)=0); と見なせる((上では同じ積分を不定であるとしたのにもかかわらず、ここではゼロになるとしていることに注意せよ。デルタ関数は &math(f(0)=\int_{-\infty}^\infty\delta(x)F(x)dx); のように積分して初めて意味を持つため「ゼロと見なして構わない」という意味である。))。

この &math(\delta(x)); はディラックのデルタ関数と呼ばれ、以下の性質を持つ。

 &math(f(0)=\int_{-\infty}^\infty\delta(x)f(x)dx);

 &math(f(x_0)=\int_{-\infty}^\infty\delta(x-x_0)f(x)dx);

 &math(\delta(x)=\begin{cases}0&(x\ne 0)\\+\infty&(x=0)\end{cases});

 &math(\delta(-x)=\delta(x));

 &math(\int_{-\infty}^x\delta(x')dx'=\theta(x)=\begin{cases}0&(x<0)\\1&(x>0)\end{cases});
  &math(\theta(x)); はステップ関数と呼ばれる

 &math(\delta(x)=\frac{d}{dx}\theta(x));

特に、

 &math(\delta(k-k')=\begin{cases}0&(k\ne k')\\+\infty&(k=k')\end{cases});

の性質はクロネッカーのデルタの連続変数版と見なせることに注意せよ。

** 運動量の固有関数の規格化 [#z1c11612]

運動量の固有関数を確率密度関数として規格化することはできないが、
上で見たとおり、

 &math(\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty e^{i(k'-k)x} dx=\delta(k'-k));

であるから、

 &math(\varphi_k(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{ikx});

と置くことにより、

 &math(\int_{-\infty}^\infty \varphi_k^*(x)\varphi_{k'}(x) dx=\delta(k'-k));

 &math(F(k)=\int_{-\infty}^\infty \varphi_k^*(x)f(x)dx);

 &math(f(x)=\int_{-\infty}^\infty F(k)\varphi_k(x)dk);

として、正規直交系としての規格化が可能である。

連続固有値の際の正規直交性はこのように、デルタ関数を用いて表わされることになる。
クロネッカーのデルタとデルタ関数との類似性に注目せよ。

3次元の場合には、

 &math(\varphi_{\bm k}(\bm r)=\frac{1}{\sqrt{8\pi^3}}e^{i\bm k\cdot \bm r});

と置けば、

 &math(\iiint \varphi_{\bm k}^*(\bm r)\varphi_{\bm k'}(\bm r) d\bm r=\delta^3(\bm k'-\bm k)
=\delta(k'_x-k_x)\delta(k'_y-k_y)\delta(k'_z-k_z));

 &math(F(\bm k)=\iiint \varphi_{\bm k}^*(\bm r)f(\bm r)d\bm r);

 &math(f(\bm r)=\iiint F(\bm k)\varphi_{\bm k}(\bm r)d\bm k);

となる。

* 位置 = ディラックのデルタ関数 [#g456c3f6]

位置の演算子は &math(\hat x:\varphi(x)\to x\varphi(x)); であるから、
その固有値問題は

 &math(x\varphi_\lambda(x)=\lambda\varphi_\lambda(x));

の形になる。変形して、

 &math((x-\lambda)\varphi_\lambda(x)=0);

より、&math(x\ne\lambda); において &math(\varphi_\lambda(x)=0); でなければならないことが分かる。

残るは &math(\varphi_\lambda(\lambda)); の1点の値のみであるから
この値は規格化によって決めれば良いのであるが、
運動量の場合と同様に、ここでも固有値が連続であるため
その規格化は正規直交条件により行うことになる。

正規直交性は、

 &math(\int_{-\infty}^\infty \varphi_{\lambda'}^*(x)\varphi_\lambda(x)dx=\delta(\lambda'-\lambda));

この関係は &math(\varphi_\lambda(x)=\delta(x-\lambda)); と置けば満たされる。

 &math(\int_{-\infty}^\infty \delta(\underbrace{x-\lambda'\rule[-2mm]{0mm}{1mm}}_{=\,x'})\delta(x-\lambda)dx
&=\int_{-\infty}^\infty \delta(x')\underbrace{\delta(x'+\lambda'-\lambda)}_{f(x')}dx'\\
&=\underbrace{\delta(\lambda'-\lambda)}_{f(0)}
);

このとき展開は、

 &math(f(x)=\int_{-\infty}^\infty f(x') \delta(x-x')dx');

となり、展開係数は &math(f(x)); 自身となる。


* 角運動量 = 球面調和関数 [#b69ff060]

古典論において、原点を中心とした角運動量は &math(\bm l=\bm r\times\bm p); として定義された。

量子論においても角運動量演算子は

 &math(
\hat{\bm l}&=\hat{\bm r}\times\hat{\bm p}\\
&=\begin{pmatrix}
yp_z-zp_y\\
zp_x-xp_z\\
xp_y-yp_x\\
\end{pmatrix}
=\frac{\hbar}{i}\begin{pmatrix}
y\frac{\PD}{\PD z}-z\frac{\PD}{\PD y}\\
z\frac{\PD}{\PD x}-x\frac{\PD}{\PD z}\\
x\frac{\PD}{\PD y}-y\frac{\PD}{\PD x}\\
\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}
\hat l_x\\
\hat l_y\\
\hat l_z\\
\end{pmatrix}
);

のように定義される。例えば

 &math(
&\hat l_x\hat l_y-\hat l_y\hat l_x\\
&=\big(y\hat p_z-z\hat p_y\big)\big(z\hat p_x-x\hat p_z\big)-\big(z\hat p_x-x\hat p_z\big)\big(y\hat p_z-z\hat p_y\big)\\
&=y\hat p_z(z\hat p_x)-\cancel{xy\hat p_z^2}-\cancel{z^2\hat p_x\hat p_y}+xz\hat p_y\hat p_z
-yz\hat p_x\hat p_z+\cancel{z^2\hat p_x\hat p_y}+\cancel{xy\hat p_z^2}-x\hat p_z(z\hat p_y)\\
&=y\hat p_x+\cancel{yz\hat p_x\hat p_z}+\cancel{xz\hat p_y\hat p_z}-\cancel{yz\hat p_x\hat p_z}-x\hat p_y-\cancel{xz\hat p_y\hat p_z}\\
&=-(x\hat p_y-y\hat p_x)\\
&=-\hat l_z
&=y\hat p_x(\hat p_zz-z\hat p_z)+x\hat p_y(z\hat p_z-\hat p_zz)\\
&=y\hat p_x(-i\hbar)+x\hat p_y(i\hbar)\\
&=i\hbar(x\hat p_y-y\hat p_x)\\
&=i\hbar\hat l_z
);

であるから、

 &math(
\begin{cases}
\hat l_x\hat l_y-\hat l_y\hat l_x=-\hat l_z\\
\hat l_y\hat l_z-\hat l_z\hat l_y=-\hat l_x\\
\hat l_z\hat l_x-\hat l_x\hat l_z=-\hat l_y\\
\hat l_x\hat l_y-\hat l_y\hat l_x=i\hbar\hat l_z\\
\hat l_y\hat l_z-\hat l_z\hat l_y=i\hbar\hat l_x\\
\hat l_z\hat l_x-\hat l_x\hat l_z=i\hbar\hat l_y\\
\end{cases}
);

また、

 &math(\hat l^2=\hat l_x^2+\hat l_y^2+\hat l_z^2);

に対して、

 &math(
\hat l^2\hat l_x-\hat l_x\hat l^2
&=\cancel{\hat l_x^3}+\hat l_x\hat l_y^2+\hat l_x\hat l_z^2
-\cancel{\hat l_x^3}-\hat l_y^2\hat l_x-\hat l_z^2\hat l_x\\
&=\big(\cancel{\hat l_y\hat l_x}-\cancel{\hat l_z}\big)\hat l_y
+\big(\cancel{\hat l_z\hat l_x}+\cancel{\hat l_y}\big)\hat l_z
-\hat l_y\big(\cancel{\hat l_x\hat l_y}+\cancel{\hat l_z}\big)
-\hat l_z\big(\cancel{\hat l_x\hat l_z}-\cancel{\hat l_y}\big)\\
&=0);

であるから、

 &math(
\begin{cases}
\hat l_x\hat l^2-\hat l^2\hat l_x=0\\
\hat l_y\hat l^2-\hat l^2\hat l_y=0\\
\hat l_z\hat l^2-\hat l^2\hat l_z=0\\
\end{cases}
);

すなわち、全角運動量の大きさの2乗と &math(z); 軸周りの角運動量との同時固有状態はあり得るが、
&math(x); 軸周りの角運動量と &math(y); 軸周りの角運動量の同時固有状態は存在しないことになる。

&math(\hat l^2); および &math(\hat l_z); の同時固有関数は球面調和関数と呼ばれるが、
詳細は [[量子力学Ⅰ/中心力場内の粒子]] にて学ぶ。

* 質問・コメント [#f67750b8]

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