量子力学Ⅰ/物理量の固有関数のバックアップ差分(No.2)

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[[量子力学Ⅰ]]

* その他のハミルトニアン [#a2d917ec]
#contents

** 演習：箱の中の自由粒子に対するハミルトニアン [#nc8789b3]
* 概要 [#hb80fac0]

*** 実数関数のフーリエ級数展開 [#k71a2cec]
いくつかの物理量演算子の固有関数は量子力学的にも、数学的にも非常に重要な物となる。

** 自由粒子 [#t51d2065]
* ハミルトニアン [#a2d917ec]

** 有限の井戸型ポテンシャル [#be673606]
** 演習：箱の中の自由粒子 = 実フーリエ級数 [#nc8789b3]

** 調和振動子 [#wde5a7d9]
箱の中の自由粒子に対して、ハミルトニアンの固有関数は正弦波となることを見た。

* 運動量 [#p51bf984]
　&math(\varphi_n(\bm r)=\sqrt\frac{2}{\,a\,}\sin(n\pi x/a));　ただし　&math(n=1,2,3,\dots);

** フーリエ変換 [#g7f98e1d]
この関数系は &math(\varphi(0)=\varphi(a)=0); という境界条件の下で正規直交完全系を為す。

** フーリエ級数展開 [#d1bda9c9]
(1) &math(n\ne m); のとき、&math(\int_0^a\varphi_n^*(x)\varphi_m(x)dx=0); を示せ。

* 位置 [#g456c3f6]
(2) &math(n = m); のとき、&math(\int_0^a\varphi_n^*(x)\varphi_m(x)dx=1); を示せ。

** ディラックのデルタ関数 [#y754227f]
(3) 以下、&math(a=1); とする。

* 角運動量 [#b69ff060]
　&math(f(x)=\begin{cases}
x&(0<x<1/2)\\
x-1&(1/2<x<1)
\end{cases});

** 球面調和関数 [#yf2e5c26]
を &math(f(x)=\sum_{n=0}^\infty c_n\varphi_n(x)); の形に展開した際の係数 &math(c_n); を求めよ。

*** 解説 [#mee554f5]

(3) の関数は下図で Target として示したように &math(x=1/2); に不連続点を持つが、
このような関数に対しても上記の無限級数は収束する。

この様子を見るために、展開係数を &math(n=4,16,64,256); 
までで打ち切った場合の関数形を同じグラフに重ねて示した。

&attachref(sinusoidal-expansion.png,,66%);

** 完全な自由粒子 = 複素フーリエ変換 [#t51d2065]

運動量の固有関数と同じになる。

* 運動量 = 複素フーリエ変換 [#p51bf984]

* 位置 = ディラックのデルタ関数 [#g456c3f6]

* 角運動量 = 球面調和関数 [#b69ff060]

* 質問・コメント [#f67750b8]

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