量子力学Ⅰ/物理量の固有関数 のバックアップ(No.3)

更新


量子力学Ⅰ

概要

いくつかの物理量演算子の固有関数は量子力学的にも、数学的にも非常に重要な物となる。

ハミルトニアン

演習:箱の中の自由粒子 = 正弦級数

箱の中の自由粒子に対して、ハミルトニアンの固有関数は正弦波となることを見た。

  \varphi_n(\bm r)=\sqrt\frac{2}{\,a\,}\sin(n\pi x/a)  ただし  n=1,2,3,\dots

この関数系は \varphi(0)=\varphi(a)=0 という境界条件の下で正規直交完全系を為す。

(1) n\ne m のとき、 \int_0^a\varphi_n^*(x)\varphi_m(x)dx=0 を示せ。

(2) n = m のとき、 \int_0^a\varphi_n^*(x)\varphi_m(x)dx=1 を示せ。

(3) a=1 のとき、

 &math(f(x)=\begin{cases} x&(0<x<1/2)\\ x-1&(1/2<x<1) \end{cases});

f(x)=\sum_{n=0}^\infty c_n\varphi_n(x) の形に展開せよ。

解説

(3) の与式は下図で Target として示したように x=1/2 に不連続点を持つが、 このような関数に対しても上記の無限級数は収束する。

この様子を見るために、展開係数を n=4,16,64,256 までで打ち切った場合の関数形を示した。 次数が高くなるに従い、より正確に元の関数を表わしていることが分かる。

sinusoidal-expansion.png

グラフからも分かるように、展開後の式は定義域を拡大すれば周期 1 の周期関数となる。

上記の関数系は f(na)=0 を満たす周期 a の周期関数について完全系をなすと考えることもできる。

完全な自由粒子 = 複素フーリエ変換

自由粒子のハミルトニアン演算子に対する固有値問題は、

  -\frac{\hat p^2}{2m}\varphi(\bm r)=\varepsilon\varphi(\bm r)

であるが、これは運動量演算子の固有値問題

  \hat{\bm p}\varphi(\bm r)=\hbar\bm k\varphi(\bm r)

が解ければ解けてしまうため、そちらで考えることにする。

運動量 = 複素フーリエ変換

運動量に対する固有値問題は

  \hat{\bm p}\varphi(\bm r)=\frac{\hbar}{i}\bm \nabla\varphi(\bm r)=\hbar\bm k\varphi(\bm r)

すなわち、

  \bm \nabla\varphi(\bm r)=i\bm k\varphi(\bm r)

と書けて、この固有関数は

  \varphi_{\bm k}(\bm r)=e^{i\bm k\cdot\bm r}

である。ただしこの関数のノルムは

 &math( \iiint |\varphi_{\bm k}(\bm r)|^2\,d\bm r &=\iiint |e^{i\bm k\cdot\bm r}|^2\,d\bm r\\ &=\iiint 1\,d\bm r\\ &=\infty\\ );

のように発散してしまい、規格化することができない。

直交関係についても

 &math( \iiint \varphi_{\bm k'}^*(\bm r)\varphi_{\bm k}(\bm r)\,d\bm r &=\iiint e^{i(\bm k-\bm k')\cdot\bm r}\,d\bm r\\ &=\begin{cases} \infty&(\bm k'=\bm k)\\ 有限だが不定&(\bm k'\ne\bm k)\\ \end{cases} );

のように、あと一歩のところで(?)一筋縄ではいかない。

この発散や不定の原因は積分範囲が無限であることにあるため、 一旦積分範囲を有限にとって理解を深めることにする。

複素フーリエ展開

-l/2\le x\le l の範囲で任意の整数 n に対して

  \varphi_n(x)=\frac{1}{\sqrt l}e^{i2n\pi x/l}

を定義すれば、

 &math(\int_{-l/2}^{l/2}\varphi_n^*(x)\varphi_m(x)\,dx &=\frac{1}{\,l\,}\int_{-l/2}^{l/2}e^{i2\pi(m-n)x/l}\,dx\\ &=\delta_{nm});

このとき、同範囲で \{\varphi_n(x)\}_{n=\dots,-2,-1,0,1,2,\dots} は正規直交完全形となり、任意の関数 f(x) を、

  f(x)=\sum_{n=-\infty}^\infty c_n\varphi_n(x)=\sum_{n=-\infty}^\infty c_ne^{i2n\pi x/l}

ただし、

  c_n=\int_{-l/2}^{l/2}\varphi_n^*(x)f(x)\,dx=\frac{1}{\sqrt{l\,}}\int_{-l/2}^{l/2}e^{-i2n\pi x/l}f(x)\,dx

と展開できる。

この展開は複素フーリエ級数展開と呼ばれ、広い範囲の応用がある。

実フーリエ級数展開

複素フーリエ級数展開において、 f(x) が実関数、つまり f^*(x)=f(x) である場合、 \varphi_n^*(x)=\varphi_{-n}(x) に注意して、

 &math(f^*(x)&=\sum_{n=-\infty}^\infty c_n^*\varphi_n^*(x)&\\ &=\sum_{n=-\infty}^\infty c_n^*\varphi_{-n}(x)&\\ &=\sum_{n'=-\infty}^\infty c_{-n'}^*\varphi_{n'}(x)\\ &=\sum_{n=-\infty}^\infty c_n\varphi_n(x)=f(x));

より、

  c_n^*=c_{-n}

を得る。このとき、

 &math(f(x) &=c_0\varphi_0(x)+\sum_{n=1}^\infty \Big(c_n\varphi_n(x)+c_{-n}\varphi_{-n}(x)\Big)\\ &=c_0\varphi_0(x)+\sum_{n=1}^\infty \Big(c_n\varphi_n(x)+c_n^*\varphi_n^*(x)\Big)\\ &=c_0\varphi_0(x)+\sum_{n=1}^\infty \mathrm{Re}\Big(c_n\varphi_n(x)\Big)\\ );

c_n=a_n-ib_n と置けば、

 &math(\mathrm{Re}\Big(c_n\varphi_n(x)\Big) &=\frac{1}{\sqrt{l\,}}\mathrm{Re}\Big[(a_n-ib_n)\Big(\cos (2\pi n x/l)+i\sin(2\pi n x/l)\Big)\Big]\\ &=\frac{1}{\sqrt{l\,}}\Big(a_n\cos (2\pi n x/l)+b_n\sin(2\pi n x/l)\Big)\\ );

であるから、

 &math(f(x) &=a_0\frac{1}{\sqrt{l\,}}+\sum_{n=1}^\infty \Big(a_n\frac{1}{\sqrt{l\,}}\cos (2\pi n x/l)+b_n\frac{1}{\sqrt{l\,}}\sin(2\pi n x/l)\Big)\\ );

と表せることになる。係数を調整して、

 &math(f(x) &=a_0\sqrt{\frac{1}{l\,}}+\sum_{n=1}^\infty \Big(a_n\sqrt{\frac{2}{l\,}}\cos (2\pi n x/l)+b_n\sqrt{\frac{2}{l\,}}\sin(2\pi n x/l)\Big)\\ );

と書けば、ここに現れた \sqrt{\frac{1}{l\,}},\sqrt{\frac{2}{l\,}}\cos (2\pi nx/l)\sqrt{\frac{2}{l\,}}\sin(2\pi nx/l) は正規直交となるため*1係数に現れた \sqrt 2 の正体は、 \bigl\|\cos x\bigr\|^2= \bigl\|(e^{-x}+e^{x})/2\bigr\|^2= \bigl(\bigl\|e^{-x}\bigr\|^2+\bigl\|e^{x}\bigr\|^2\bigr)/4= 1/2 に対する補正である

  a_0=\int_{-l/2}^{l/2}\frac{1}{\sqrt{l\,}}f(x)\,dx

  a_n=\int_{-l/2}^{l/2}\frac{2}{\sqrt{l\,}}\cos(2\pi nx/l)f(x)\,dx

  b_n=\int_{-l/2}^{l/2}\frac{2}{\sqrt{l\,}}\sin(2\pi nx/l)f(x)\,dx

のように係数を決定できる。

この展開は実フーリエ級数展開と呼ばれる。

フーリエ変換

複素フーリエ展開において l\to\infty とすると 2\pi/l\to 0 であるから、 \Delta k=2\pi/l,\ k=n\Delta k と置けば、

 &math( f(x) &=\sum_{n=-\infty}^\infty c_n\frac{1}{\sqrt{l\,}}e^{i2\pi nx/l}\\ &=\sum_{n=-\infty}^\infty \frac{\sqrt{l\,}}{2\pi}c_ne^{in\Delta kx}\Delta k\\ &=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty \bigl(\sqrt{l\,}c_k\bigr)e^{ikx}dk );

一方、

  c_n&=\frac{1}{\sqrt{l\,}}\int_{-\infty}^\infty e^{-i2\pi nx/l}f(x)dx

より、

  \sqrt{l\,}c_k&=\int_{-\infty}^\infty e^{-ikx}f(x)dx

そこで、 F(k)=\sqrt{\frac{l}{2\pi}}\,c_k と書き直すと、

  f(x)&=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty F(k)e^{ikx}dk

  F(k)&=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty e^{-ikx}f(x)dx

を得る。

f(x) から F(k) への変換はフーリエ変換と呼ばれる。

位置 = ディラックのデルタ関数

角運動量 = 球面調和関数

質問・コメント





*1 係数に現れた \sqrt 2 の正体は、 \bigl\|\cos x\bigr\|^2= \bigl\|(e^{-x}+e^{x})/2\bigr\|^2= \bigl(\bigl\|e^{-x}\bigr\|^2+\bigl\|e^{x}\bigr\|^2\bigr)/4= 1/2 に対する補正である

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