量子力学Ⅰ/物理量の固有関数 のバックアップ差分(No.3)

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* 概要 [#hb80fac0]

いくつかの物理量演算子の固有関数は量子力学的にも、数学的にも非常に重要な物となる。

* ハミルトニアン [#a2d917ec]

** 演習：箱の中の自由粒子 = 実フーリエ級数 [#nc8789b3]
** 演習：箱の中の自由粒子 = 正弦級数 [#nc8789b3]

箱の中の自由粒子に対して、ハミルトニアンの固有関数は正弦波となることを見た。

　&math(\varphi_n(\bm r)=\sqrt\frac{2}{\,a\,}\sin(n\pi x/a));　ただし　&math(n=1,2,3,\dots);

この関数系は &math(\varphi(0)=\varphi(a)=0); という境界条件の下で正規直交完全系を為す。

(1) &math(n\ne m); のとき、&math(\int_0^a\varphi_n^*(x)\varphi_m(x)dx=0); を示せ。

(2) &math(n = m); のとき、&math(\int_0^a\varphi_n^*(x)\varphi_m(x)dx=1); を示せ。

(3) 以下、&math(a=1); とする。
(3) &math(a=1); のとき、

　&math(f(x)=\begin{cases}
x&(0<x<1/2)\\
x-1&(1/2<x<1)
\end{cases});

を &math(f(x)=\sum_{n=0}^\infty c_n\varphi_n(x)); の形に展開した際の係数 &math(c_n); を求めよ。
を &math(f(x)=\sum_{n=0}^\infty c_n\varphi_n(x)); の形に展開せよ。

*** 解説 [#mee554f5]

(3) の関数は下図で Target として示したように &math(x=1/2); に不連続点を持つが、
(3) の与式は下図で Target として示したように &math(x=1/2); に不連続点を持つが、
このような関数に対しても上記の無限級数は収束する。

この様子を見るために、展開係数を &math(n=4,16,64,256); 
までで打ち切った場合の関数形を同じグラフに重ねて示した。
までで打ち切った場合の関数形を示した。
次数が高くなるに従い、より正確に元の関数を表わしていることが分かる。

&attachref(sinusoidal-expansion.png,,66%);
&attachref(sinusoidal-expansion.png);

グラフからも分かるように、展開後の式は定義域を拡大すれば周期 &math(1); の周期関数となる。

上記の関数系は &math(f(na)=0); を満たす周期 &math(a); 
の周期関数について完全系をなすと考えることもできる。

** 完全な自由粒子 = 複素フーリエ変換 [#t51d2065]

運動量の固有関数と同じになる。
自由粒子のハミルトニアン演算子に対する固有値問題は、

　&math(-\frac{\hat p^2}{2m}\varphi(\bm r)=\varepsilon\varphi(\bm r));

であるが、これは運動量演算子の固有値問題

　&math(\hat{\bm p}\varphi(\bm r)=\hbar\bm k\varphi(\bm r));

が解ければ解けてしまうため、そちらで考えることにする。
* 運動量 = 複素フーリエ変換 [#p51bf984]

運動量に対する固有値問題は

　&math(\hat{\bm p}\varphi(\bm r)=\frac{\hbar}{i}\bm \nabla\varphi(\bm r)=\hbar\bm k\varphi(\bm r));

すなわち、

　&math(\bm \nabla\varphi(\bm r)=i\bm k\varphi(\bm r));

と書けて、この固有関数は

　&math(\varphi_{\bm k}(\bm r)=e^{i\bm k\cdot\bm r});

である。ただしこの関数のノルムは

　&math(
\iiint |\varphi_{\bm k}(\bm r)|^2\,d\bm r
&=\iiint |e^{i\bm k\cdot\bm r}|^2\,d\bm r\\
&=\iiint 1\,d\bm r\\
&=\infty\\
);

のように発散してしまい、規格化することができない。

直交関係についても

　&math(
\iiint \varphi_{\bm k'}^*(\bm r)\varphi_{\bm k}(\bm r)\,d\bm r
&=\iiint e^{i(\bm k-\bm k')\cdot\bm r}\,d\bm r\\
&=\begin{cases}
\infty&(\bm k'=\bm k)\\
有限だが不定&(\bm k'\ne\bm k)\\
\end{cases}
);

のように、あと一歩のところで(?)一筋縄ではいかない。

この発散や不定の原因は積分範囲が無限であることにあるため、
一旦積分範囲を有限にとって理解を深めることにする。

** 複素フーリエ展開 [#mbb2c546]

&math(-l/2\le x\le l); の範囲で任意の整数 &math(n); に対して

　&math(\varphi_n(x)=\frac{1}{\sqrt l}e^{i2n\pi x/l});

を定義すれば、

　&math(\int_{-l/2}^{l/2}\varphi_n^*(x)\varphi_m(x)\,dx
&=\frac{1}{\,l\,}\int_{-l/2}^{l/2}e^{i2\pi(m-n)x/l}\,dx\\
&=\delta_{nm});

このとき、同範囲で &math(\{\varphi_n(x)\}_{n=\dots,-2,-1,0,1,2,\dots}); 
は正規直交完全形となり、任意の関数 &math(f(x)); を、

　&math(f(x)=\sum_{n=-\infty}^\infty c_n\varphi_n(x)=\sum_{n=-\infty}^\infty c_ne^{i2n\pi x/l});

ただし、

　&math(c_n=\int_{-l/2}^{l/2}\varphi_n^*(x)f(x)\,dx=\frac{1}{\sqrt{l\,}}\int_{-l/2}^{l/2}e^{-i2n\pi x/l}f(x)\,dx);

と展開できる。

この展開は複素フーリエ級数展開と呼ばれ、広い範囲の応用がある。

** 実フーリエ級数展開 [#u6969274]

複素フーリエ級数展開において、
&math(f(x)); が実関数、つまり &math(f^*(x)=f(x)); である場合、
&math(\varphi_n^*(x)=\varphi_{-n}(x)); に注意して、

　&math(f^*(x)&=\sum_{n=-\infty}^\infty c_n^*\varphi_n^*(x)&\\
&=\sum_{n=-\infty}^\infty c_n^*\varphi_{-n}(x)&\\
&=\sum_{n'=-\infty}^\infty c_{-n'}^*\varphi_{n'}(x)\\
&=\sum_{n=-\infty}^\infty c_n\varphi_n(x)=f(x));

より、

　&math(c_n^*=c_{-n});

を得る。このとき、

　&math(f(x)
&=c_0\varphi_0(x)+\sum_{n=1}^\infty \Big(c_n\varphi_n(x)+c_{-n}\varphi_{-n}(x)\Big)\\
&=c_0\varphi_0(x)+\sum_{n=1}^\infty \Big(c_n\varphi_n(x)+c_n^*\varphi_n^*(x)\Big)\\
&=c_0\varphi_0(x)+\sum_{n=1}^\infty \mathrm{Re}\Big(c_n\varphi_n(x)\Big)\\
);

&math(c_n=a_n-ib_n); と置けば、

　&math(\mathrm{Re}\Big(c_n\varphi_n(x)\Big)
&=\frac{1}{\sqrt{l\,}}\mathrm{Re}\Big[(a_n-ib_n)\Big(\cos (2\pi n x/l)+i\sin(2\pi n x/l)\Big)\Big]\\
&=\frac{1}{\sqrt{l\,}}\Big(a_n\cos (2\pi n x/l)+b_n\sin(2\pi n x/l)\Big)\\
);

であるから、

　&math(f(x)
&=a_0\frac{1}{\sqrt{l\,}}+\sum_{n=1}^\infty \Big(a_n\frac{1}{\sqrt{l\,}}\cos (2\pi n x/l)+b_n\frac{1}{\sqrt{l\,}}\sin(2\pi n x/l)\Big)\\
);

と表せることになる。係数を調整して、

　&math(f(x)
&=a_0\sqrt{\frac{1}{l\,}}+\sum_{n=1}^\infty \Big(a_n\sqrt{\frac{2}{l\,}}\cos (2\pi n x/l)+b_n\sqrt{\frac{2}{l\,}}\sin(2\pi n x/l)\Big)\\
);

と書けば、ここに現れた &math(\sqrt{\frac{1}{l\,}},\sqrt{\frac{2}{l\,}}\cos (2\pi nx/l)\sqrt{\frac{2}{l\,}}\sin(2\pi nx/l)); は正規直交となるため((係数に現れた &math(\sqrt 2); の正体は、&math(\bigl\|\cos x\bigr\|^2=);&math(\bigl\|(e^{-x}+e^{x})/2\bigr\|^2=);&math(\bigl(\bigl\|e^{-x}\bigr\|^2+\bigl\|e^{x}\bigr\|^2\bigr)/4=);&math(1/2); に対する補正である))、

　&math(a_0=\int_{-l/2}^{l/2}\frac{1}{\sqrt{l\,}}f(x)\,dx);

　&math(a_n=\int_{-l/2}^{l/2}\frac{2}{\sqrt{l\,}}\cos(2\pi nx/l)f(x)\,dx);

　&math(b_n=\int_{-l/2}^{l/2}\frac{2}{\sqrt{l\,}}\sin(2\pi nx/l)f(x)\,dx);

のように係数を決定できる。

この展開は実フーリエ級数展開と呼ばれる。

** フーリエ変換 [#n5061b2e]

複素フーリエ展開において &math(l\to\infty); とすると &math(2\pi/l\to 0); であるから、
&math(\Delta k=2\pi/l,\ k=n\Delta k); と置けば、

　&math(
f(x)
&=\sum_{n=-\infty}^\infty c_n\frac{1}{\sqrt{l\,}}e^{i2\pi nx/l}\\
&=\sum_{n=-\infty}^\infty \frac{\sqrt{l\,}}{2\pi}c_ne^{in\Delta kx}\Delta k\\
&=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty \bigl(\sqrt{l\,}c_k\bigr)e^{ikx}dk
);

一方、

　&math(c_n&=\frac{1}{\sqrt{l\,}}\int_{-\infty}^\infty e^{-i2\pi nx/l}f(x)dx);

より、

　&math(\sqrt{l\,}c_k&=\int_{-\infty}^\infty e^{-ikx}f(x)dx);

そこで、&math(F(k)=\sqrt{\frac{l}{2\pi}}\,c_k); と書き直すと、

　&math(f(x)&=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty F(k)e^{ikx}dk);

　&math(F(k)&=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty e^{-ikx}f(x)dx);

を得る。

&math(f(x)); から &math(F(k)); への変換はフーリエ変換と呼ばれる。


* 位置 = ディラックのデルタ関数 [#g456c3f6]

* 角運動量 = 球面調和関数 [#b69ff060]

* 質問・コメント [#f67750b8]

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