球対称井戸型ポテンシャル のバックアップ(No.2)

球形の箱の中の粒子 †

　&math( V(r)=\begin{cases} 0&(r<=a)\\ V_0&(r>a)\\ \end{cases} );

の場合には、 を考えるよりも をそのまま扱った方が都合がよい。

　

と置くことにより、箱の内部の方程式は

　&math( \frac{d^2R}{d\rho^2}+\frac{2}{\rho}\frac{dR}{d\rho}+\left\{1-\frac{l(l+1)}{\rho^2}\right\}R=0 );

となる。この解は球ベッセル関数 と呼ばれる。

　

　

　

　...

これらは にて有限値をとり、また分子の や の周期性を反映して となる根を無限個持つ。

１次元の箱形ポテンシャルのところで学んだのと同様に、 の場合には において が要求されるから、

　

により が決定される。

が有限の場合にも、 における位相が少しずれるものの、 外部の解と連続かつなめらかに接続する条件から が決定される。